三角函数图像及性质的总结

1、第三节 三角函数的图像与性质复习要求:1,理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 2,理解周期函数、最小正周期的概念3,学会用五点法画图知识点:1.正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质 3.函数 B x A y += sin( , (其中 00>>A最大值是 B A +,最小值是 A B -,周期是 2=T ,频率是 2=f ,相位是 +x ,初相是 ;其图象的对称轴是直线 (2Z k k x +=+,凡是该图象与直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。4.由 y =sin x 的图象变换出 y =sin(x + 的图象一般有两个途径,只 有区别开这两个途径

2、,才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现 x 而言,即图象变换要看“变量” 起多大变化,而不是“角变化”多少。途径一:先平移变换再周期变换 (伸缩变换 先将 y =sin x 的图象向左 (>0 或向右 (<0=平移|个单位,再将 图象上各点的横坐标变为原来的1倍 (>0 ,便得 y =sin(x + 的图象。 途径二:先周期变换 (伸缩变换 再平移变换。先将 y =sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 1倍 (>0 ,再沿 x 轴向左 (>0 或向右 (<0=平移 |个单位,便得 y =sin(x

3、 + 的图象。5.由 y =A sin(x + 的图象求其函数式:给出图象确定解析式 y =A sin (x +的题型,有时从寻找“五点”中的第 一零点(-, 0作为突破口,要从图象的升降情况找准 . 第一个零点的位置。6.对称轴与对称中心: sin y x =的对称轴为 2x k =+,对称中心为 (,0 k k Z ; cos y x =的对称轴为 x k =,对称中心为 2(,0k +; 对于 sin( y A x =+和 cos( y A x =+来说,对称中心与零点相联系,对 称轴与最值点联系。7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式, 要特别注意 A 、 的

4、正负 , 并 且在同一单调区间;8.求三角函数的周期的常用方法:经过恒等变形化成“ sin( y A x =+、 cos( y A x =+”的形式,在利用 周期公式,另外还有图像法和定义法。 9.五点法作 y =A sin (x +的简图: 五点取法是设 x =x +,由 x 取 0、 2、 、23、 2来求相应的 x 值及对 应的 y 值,再描点作图。典型例题 : 例 1. (2000全国, 5函数 y =-xcosx 的部分图象是( 解析:因为函数 y =-xcosx 是奇函数, 它的图象关于原点对称, 所以排除 A 、 C ,当 x (0, 2时, y =-xcosx <0。答案

5、为 D 。例 2.试述如何由 y=31sin (2x+3的图象得到 y=sinx的图象。 解析:y=31sin (2x+3(纵坐标不变 倍横坐标扩大为原来的 3sin 312+=x yxy sin 313=纵坐标不变 个单位xy sin 3=横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案:(1先将 y=31sin (2x+3的图象向右平移 6个单位,得 y=31sin2x 的图象; (2再将 y=31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2倍(纵坐标不变 ,得 y=31sinx 的图象;(3再将 y=31sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3倍(横坐标不变 ,即可得到 y=sinx的图象。例

6、3 (2002全国文 5,理 4在(0, 2内,使 sinx >cosx 成立的 x 取值范 围为( A . (4, 2(, 45 B. (4, C . (4, 45 D. (4, (45, 23解析:C ;解法一:作出在(0, 2区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标4和 45,由图可得 C 答案。例 4 解 :解法一:4341sin sin 1sin sin 22+=+=x x x x y 213(sin24x =-+max min 33, 4y y =解法二:令 sin t x =1,1t -22max min 1, 1,113( 1, (1 1, (2433, 4y t

7、t t f t t t f f y y =-+-=-+-=令 则 例 5 (1求函数 ( f x 的最小值(2若 111( , , , sin 263f =- 求 的值 (1所以 (2sin 6f x x =+ 的周期是 221T =(2 巩固练习:1 _ 2函数 (2tan 34f x x =+ 的最小正周期是什么 _3使等式sin 1x a =+有意义的 a的取值范围是 _æ xö f ( x ) = 3 sin ç ÷ è 2 ø 的最小正周期是_ 4 函数 3 1 b =_ y = - sin 2 x + 2b 4 ，则 4

8、5 函数 的最大值是 6 求下列函数的单调增区间 pö æ y = sin ç 2 x + ÷ 6ø è （1） 7 求函数 æx pö y = cos ç + ÷ è3 4ø （2 y = cos2 x + sin 2x + sin 2 x 的最值和最小正周期 第四节 已知三角函数求值和解三角形 复习要求 1 了解反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的概念 2 理解正弦定理、余弦定理 3 能用正弦定理和余弦定理解决与三角形有关的实际问题 知识点： 名称 定义及主值区间 反正弦

9、函数 反余弦函数 y = cos x 反正切函数 y = tan x y = sin ( x ) x Î0, p x Î0, p 的函数 的函数 æ p pö x Îç - , ÷ è 2 2 ø 的函 数 表示 y = arcsin x y = arccos x y = arctan x 定义域 值域 xÎ-1,1 é p pù y Î ê- , ú ë 2 2û xÎ-1,1 é p pù y

10、 Î ê- , ú ë 2 2û xÎR æ p pö y Îç - , ÷ è 2 2ø 图像 2 反三角函数的基本运算法则 （ ） （1） sin ( arcsin x ) = x - 1 £ x £ 1 tan ( arctan x ) = x ( x Î R) pö æ p arcsin ( sin x ) = x ç - £ x £ ÷ 2ø è

11、2 （2 arccos ( cos x ) = x (0 £ x £ p ) 3 正弦定理、余弦定理 a b c = = = 2R 正弦定理: sinA sinB sinC (其中 2R 是三角形外接圆直径） a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A 余弦定理: b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC 4 定理的变式： a = 2 R sin A b = 2 R sin B cosA = b2 + c2 - a 2 2bc c = 2 R sin C 5 可解斜三角形的类型 已知三边， ；两边

12、和一角，一边和两角，其中两边和一角要特别注意，可能有解， 也可能无界 6 三角形面积公式： 1 1 1 1 1 1 SV = aha = bhb = chc = ab sinC = bc sin A = ac sin B 2 2 2 2 2 2 经典例题: 例 1 （12 年江苏高考）在 DABC中，a = 30, b = 20,sin A = 3 ，则cos2B= 2 _ 解:在三角形 ABC 中，由 sin B = b sin A 3 = a 3 1 3 a = 30, b = 20,sin A = 3 a b 且 = 2 sin A sinB cos 2 B = 1 - 2sin 2 B

13、 = 例 2（11 年江苏高考）设 a, b, c 分别是三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 所对应的 边，S 是三角形的面积，已知 a = 4, b = 5,S = 5 3 (1求角 C (2求 c 边的长度 解： 1 1 3 由题意得： S = 2 ab sinC,即 2 ´ 4 ´ 5sin C = 5 3, 所以sinC = 2 （1） ，所以 ÐC = 600 或者1200 （2）当 ÐC = 600时，c2 = a2 + b2 - 2ab cos C =16+25-2*4*5*0.5=21 所以 c = 21 ÐC = 1200 , c2 = a 2 + b2 - 2ab cos C 当 æ1ö = 16 + 25 - 2 ´ 4 ´ 5 ´ ç ÷ = 61 è2ø 所以 c = 61 巩固练习： 1 在三角形 ABC 中，已知 A 105 o a = 5 2, c = 10, A = 30o , 则B等于 D 15 o （） B 60 o C 15 o 或 105 o o 2 已知三角形 ABC 中， A = 45 , b = 4, c = 2，则sin B的值是 （） 3 10 A 10 B -