《信号检测与估计》第九章习题解答

1、信号检测与估计第九章习题解答9.1 接收信号(t n t A t x +=0sin ,其中(t n 是高斯白噪声,在(20,均匀分布,现在需求振幅A 的最大似然估计量。由于的先验知识已知,故可先对求平均得到(A x f ,试问要求振幅A 的最大似然估计量必须解什么样的方程? 解:接收信号(t x 的似然函数为(+=T TT TTdt t A dt t t x A dt t x N dtt A t t Ax t xN dtt A t x N FeFeFeA x f 0002200200022020200sin sin 21sin sin 21sin 1,由于(=+=+TTT dt t dt t

2、0000222cos 121sin ,得到 (020000202sin 21,N TA dt t t x N A dtt x N e eFeA x f T T+=对积分,得到(d eeFed e e Fed f A x f A x f dt t t t x N A N T A dt t x N dt t t x N A N T A dt t x N TTTT+=20cos cos sin sin 22120sin 2212000000202000020202121,令(cos cos 00z dt t t x x Tc =,(sin sin 00z dt t t x x Ts =,得到222s

3、 cx x z +=,csx x arctg = (=+0020cos 220cos cos sin sin 220cos sin 220cos cos sin sin 22212121210000N Az I d ed ed e d eN Azz z N Ax x N Adt t t t x N A c s T 上式中,(cos exp 21020x I d x =为零阶修正贝塞尔函数。得到(=+002120cos cos sin sin 221221020200002020N Az I eFed eeFeA x f N TA dt t x N dt t t t x N A N T A dt

4、 t x N TTT(0>z (+=00020202ln 21ln ln N Az I N TA dt t x N F A x f T 振幅A 的最大似然估计量必须满足下列方程(02ln ln 000=AA AA N ATA N Az I AA x f9.2 接收信号(t n t A t x +=0cos 1,其中(t n 是功率谱密度为2N 的高斯白噪声。求信号时延的Bayes 估值。0、A 皆为已知常量。 解:略9.3 接收信号(t n t s t x +=,其中是信号(t s 到达的时延,(t n 是功率谱密度为2N 的高斯白噪声,(t s 的表达式为(+<+<+=00

5、000000122cos 122212cos 1m t m t A m t m A m t m t A t s ( 试证明时延的无偏估计量的方差为(202/243N E m+。其中E 为信号能量。 解:略9.4 接收信号(t n t s t x +=,(t s 的到达有时延,求时延的无偏估计量的最小方差。其中(t n 是功率谱密度为2N 的高斯白噪声,(t s 如图题9.4所示。 解:由(t s 信号图可知,梯形信号由宽度为的上升沿、下降沿和宽度为L 的平顶三部分组成,表达式为(+>+=2022222222L t L t L L t A L t L A L t L L t A t s (

6、t x 的似然函数为图题9.4(=2/2/21T T dtt s t x N Fex f 上式中,+=22LT (=2/2/21ln ln T T dt t s t x N F x f (=2/2/02ln T T dt t s t s t x N x f 根据克拉美罗不等式,时延的无偏估计量的最小方差为(=22/2/0221ln 1T T dt t s t s t x N E x f E Var (由于(t n t s t x =,代入上式得(dt t s N dudtu s u t N t s N dudt u s u n t n E t s N du u s u n dt t s t n E N dt t s t n N E dt t s t s t x N E T T T T T T T T T T T T T T T T T T =2/2/22/2/2/2/0202/2/2/2/202/2/2/2/2022/2/022/2/02244422 不是一般性,令0=得到(=+=+022/2/202/2/202/2/22/2/2022/2/042222222N A L t A t