第一部分微分方程的基本概念教学ppt课件

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第一节第一节 微分方程的根本概念微分方程的根本概念 一、问题的提出一、问题的提出 二、微分方程的定义二、微分方程的定义 三、主要问题三、主要问题求方程的解求方程的解 四、小结四、小结 思索题思索题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲

2、线方程为所求曲线方程为一、问题的提出上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 2 2 列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以 2020 米米/ /秒的速度行驶秒的速度行驶, ,当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问开始制动问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？行驶了多少路程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 上页上页下页下

3、页返回返回上页上页下页下页返回返回代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502 . 02米米 s开场制动到列车完全停住共需开场制动到列车完全停住共需上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 本质本质: : 联络自变量联络自变量, ,未知函数以及未知

4、函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .分类分类1: 1: 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶(n)(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回分

5、类分类3: 3: 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类4: 4: 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题-求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有恣

6、意常数微分方程的解中含有恣意常数, ,且恣且恣意常数的个数与微分方程的阶数一样意常数的个数与微分方程的阶数一样. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(2)(2)特解特解: : 确定了通解中恣意常数以后的解确定了通解中恣意常数以后的解. ., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;cossin21xCxCy 通通解解解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定恣意常数的条件用来确定恣意常数的条件. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回过定点的积分曲线过定

7、点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222k

8、tCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回微分方

9、程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题； 积分曲线积分曲线四、小结本节根本概念：本节根本概念：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思索题思索题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思索题解答思索题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含恣意常数中不含恣意常数,故为微分方程的特解故为微分方程的特解.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三三、设设曲曲线线

10、上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, ,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一一、 填填空空题题: : 1 1、022 yxyyx是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程；3 3、 2sin dd是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程；4 4、一一个个二二阶阶微微分分方方程程的的通通解解应应含含有有_ _ _ _ _个个任任意意常常数数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21CxCy 所含的参数所含的参数, ,使使 其满足初始条件其满足初始条件1 xy, ,0 xy. .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx,