2019竞赛不定积分ppt课件

1、数学竞赛讲座数学竞赛讲座南理工数学系南理工数学系 刘德钦刘德钦学好数学学好数学,要记住三个字要记住三个字:.熟熟,练练,化化. _华罗庚华罗庚_解题是一种本领解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的无论是从别人那里学来或听来的,只要经只要经过你自己的体验过你自己的体验,它对你来讲可以成为一种楷模它对你来讲可以成为一种楷模,当你当

2、你在碰见别的类似的问题时在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。它就是可供你仿照的模型。 _乔冶乔冶.波利亚波利亚_不定积分第第 一一 讲讲注注: : 不定积分是计箅定积分、重积分、线不定积分是计箅定积分、重积分、线面积分的一种工具面积分的一种工具, ,为解微分方程服务为解微分方程服务. .一一. 基本概念基本概念1 1、原函数与不定积分、原函数与不定积分(1) 定义: 假假设设CxFdxxf )()( )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( ( )( )( ).xaxf t dtf x其中就是的一个原函数同步同步:p922. 性质和公式:同步同步:93二二. . 积分

3、法积分法(1) 由定义直接利用基本积分表与积分的由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法性质求不定积分的方法.同步同步93:2 2、基本积分表、基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot

4、 dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17(同步同步:p374 Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22221(22)arcsinxdxCaaxCaxaxadxax ln211)21(22.1( )xf x dx已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx,求例:( )( )( )( ).xf x dxxdf xxf xf x dx解(1 sin )ln (1 sin )ln.xxxxx c 1.基本概念题基本概念题)( xF)(x

5、f0 x2)2(sin()()(xxFxf例例2 2 函数函数为的原函数，当时，有且 ,(0)1F,( )0,F x )(xf，求. )()(xfxFxxFxF2sin)()(2解：因解：因，所以cxxxFxdxdxxFxF4sin41)(2sin)()(221)0(F1c14sin41)(xxxF而由得，从而故14sin4124cos1)()(xxxxFxf 21c o s 4( s in2)2xx ( ) ( )fxxdx )()(xuduuf （凑微分法）（凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf( )( ( )F uc

6、Fxc ( )( )fx dx(2) (2) 换元法换元法: :第一类换元第一类换元同步同步:p95;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf .)(. 9dxbaxf .)()(.10dxxfxf 11. ();xxf ee dx第一类换元法第一类换元法凑微分常见类型凑微分常见类型:15.(1ln )( ln )x dxd xx21117.(1)()dxd xxx16.(1)xxx

7、 e dxdxe242ln(1)( )0,),( )2,xtf xfxtt设在上导例且3可(0)0,( ).ff x求22:ln(1)1xxtet 解 由422 222(1)11( ).xtttefx 故22( )( )(1)2xxef xfx dxedxxc211(0)0,( ).222xefcf xx由),( ).sin1xxxIf x dxxx2练习 (2004考研题) 设f(sin求2:sin ,sin,arcsin,arcsin( ),( ).uxxuxuuarcain xf uf xux 解令arcsin2 arcsin1.1xIdxxdxx 2 1arcsin2.xxxc 2 1

8、arcsin2.Ixxxc sin222sin.4xxexdxe求例sin2sin2221sin 2(sin22 ) .4xxxxedxedxxe原式sin222sinxxexdx原式2cos21sin2xxdxdx 1sin2()22xdx 1(sin22 )4dxx sin221.4xxec二二. . 积分法积分法第二类换元法第二类换元法( )1(2)( )( ( ) ( )( )( ).xtf x dxftt dtF tcFxc1( )x同步同步:p95常用代换常用代换:1.() ,.taxbR.sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换13.xt倒置代换 令

9、221( ),( )nf xnaxx g x(1)如被积函数为偶数,g(x)=用倒代换方便.第二类换元法第二类换元法(2)设设m,n为被积函数的分子为被积函数的分子,分母关于分母关于()xa的最高次数的最高次数,当当1,nm时时,可用倒代换法可用倒代换法.42.1dxIxx求1321xtt dtIt解练习练习:2221(1).21t dtt211utuduu 121dxx x练:求211:,xdxdttt 解 令5612621611( )t dtdttt 原式6611arcsin().6cx61arcsin6tc 22(2001(1)1).2dxIxx例5 考研题求tan2cos.1sinxu

10、uduIu解2sinarctan(sin ).1sinduucu2.1xarctancxx21xu(3) (3) 分部积分法分部积分法udvuvvdu选择选择u u的有效方法的有效方法: :(1)-对数函数；被积函数为多项式与对数函数乘积对数函数；被积函数为多项式与对数函数乘积(2)-反三角函数；被积函数为多项式与反三角函数乘积反三角函数；被积函数为多项式与反三角函数乘积选选v-指数函数；被积函数为多项式指数函数；被积函数为多项式(或三角函数或三角函数)与与指数函数乘积指数函数乘积4. 三类函数的积分:同步同步:p1041( ),( ),fxuxf u解令则1( )( )( )( )fx dx

11、udf uuf uf u du( ),( )( ),( )f xf xF xf x设可导的一个原函数为的 例6 1( ).fx dx11( )( )( )( ).uf uF uCxfxF fxC1( )fx反函数存在,试求1( )1000( )d ( )( )df xxttxf xfxx(1)111 (1) 0 220000( )d( )d( )2( )dffttx fxxx f xxf xx102( )d .xf xx1( )00( )ddf xttx 1( )1000( )dd2( )d .f xttxxf xx ( ) ( ), (1)0,:xyf xf设为可微函数的反函数且证明2(20

12、01,2005(2)arctan.xxedxe练习 考研题) 求I=22221:arctanarctan2(1)xxxxxxxdee deeeee-1解I=22111arctanarctan.222xxxxeeeec22222211() (1)(1)1xxetxxdedtdteettttcos.xdx求,2xtdxtdt 解: 2 sin2cos.tttc(2019考研题考研题)2costtdt解:原式2sintdt2 sin2 sintttdt2sin2cos.xxxc2222tan.sincosxdxaxbx例求82222222tantantan1tan2tanxdxbaxdxbax解:原

13、式22221lntan.2baxCa三角函数积分题三角函数积分题三角函数公式三角函数公式1.1sincosdxxx例求9212cos(1 tan )22dxxx原式ln 1tan.2xC2:1sincos2sincos2cos222xxxxx解1.2sincosdxxx1tan.282xC(cos()coscossinsin)1.:练习求1.:练习求1.2sincosdxxx12 1cos4dxx解原式2112 2cos28dxx1tan.282xC(cos()coscossinsin)21sin cossin2xxdxdx解22sin cos1sin.2sinxxxdxx221 sintan

14、1 sin.xarcxC2.:练习求2221 sinsin2(2sin)xdxx解析原式222(1sin)1tdttxttantarctC 22sin cos1sin.2sinxxxdxx求221 sintan1 sin.xarcxC2.:练习求cos.cossinxdxaxbx解解 令令cos( cossin )( cossin )xA axbxB axbx 1AaBb比较两边cosx的系数:0-Ab Ba比较两边sinx的系数:2222,abABabab22cos1ln( cossin ).sincosxdxaxbaxbxcaxbxab11sincos.sincosaxbxdxaxbx同样

15、讨论,sin ,cosxx分子 分母为的线性组合的积分例例 11 求求复习大全复习大全:p85 例例32称为依分母分解法称为依分母分解法例12求4sec.x tg xx dx解分部积分得444111secsecsec444xdxxxx dx原式4211sec144xxtg x dtg x43111sec.4412xxtgxtg xC三个以上乘积因子的积分若用分部三个以上乘积因子的积分若用分部,一项为原一项为原 来的因子来的因子,另一项为若干个因子乘积另一项为若干个因子乘积.被积函数为三个因子乘积形式被积函数为三个因子乘积形式1.(1)xxIdxxxe练求习lnln 1.xxxexec1.(1)

16、xxIdxxxe练求习(1)1(1)xxxx eIdxxexe解法1(1)xxxdxexexe11()1xxxdxexexelnln 1.xxxexec11(1).xxxxdtxetdtx e dxdxxxe 解法2 令111()(1)1Idtdtt tttlnln 1.xxxexec1()(1)xxxeex解法2(2001,2005(2)arctan.xxedxe练习 考研题) 求I=22221:arctanarctan2(1)xxxxxxxdee deeeee-1解I=22111arctanarctan.222xxxxeeeec22222211() (1)(1)1xxetxxdedtdte

17、etttt25613xIdxxx例1求321(26)82:613xIdxxx解221(26)28613(3)4xdxdxxxx213ln6134arctan.22xxxc(造一个分子是分母的造一个分子是分母的导数导数.)有理函数积分有理函数积分:练练1 3233(1) (13 )xxxx求211ln 13.32(1)xcx 32333131(1) (13 )xxxxdxxx 练练:2000年年 竞赛竞赛 1454.(1)xdxx 求1454.(1)xdxx 提示:105541.5(1)xdxx51021,(1)xtxt 令1425441(1).(1)5xtdxdtxt5105 3(133.15

18、(1)xxcx 例例1414.)1(arctan22 dxxxx xdxxxarctan)111(22 xxdxxdxxxarctanarctan)1(arctan12 xxdxxdxxxarctanarctan)1(21arctan1222.)1ln(21ln)(arctan21arctan122cxxxxx (97考研题考研题)211ln(1)d =ln(1) d1xxtxt22ln(1)11 d .111ttttt而2211112d( ) d(1)(1)411(1)ttttttt1 ln(1)d (0).xx xx计算不定积分例例15 09考研考研211 , ,1xtxxt解 设则11l

19、n(1)ln(1),42(1)ttCt1=4所以21ln(1)111ln(1) dln1412(1)xttxCxttt111ln(1)ln( 1)221xxxxxCxxx21111ln(1)ln( 1).222xxxxxxxCx三三.几种常见技巧几种常见技巧:1. 循环现象循环现象:arctan23(1)xxeIdxx求例1arctan2:1xxIdex解arctanarctanarctan3222211(1)xxxxexeedxxxxarctan211.21xxIecxarctanarctan32221(1)xxxeedxxxarctan21xd ex22(1tan ).xex dx例2求2

20、2(1tan2tan )xexx dx原式222sec2tanxxexdxexdx222tan2tan2tanxxxexexdxexdx2tan.xexC解方法评注本题中2tanxexdx的原函数无法求出,必须从,.另一积分入手 分部积分后将其不可积出的积分消去22tan2tanxxe dxexdx2. 折项抵消法折项抵消法:注注: 遇到不可积的积分只能采用折项抵消法遇到不可积的积分只能采用折项抵消法sincos,xexxdxdxdxxxx221,sin,lnxdxedxx dxx1.xe dx方法方法2 待定函数法待定函数法222:(1tan )( ).xxex dxF x ec解令222(

21、1tan )( )2 ( )xxexF xF x e则212tantan( )2 ( )xxF xF x2sec2tan( )2 ( )xxF xF x2,( )sec,( )tanF xx F xx显然时上式成立222(1tan )tan.xxex dxexc 待定函数法待定函数法:11(1).xxIxedxx 练求:111:(1)( ).xxxxIxedxF x ecx 解令两边求导两边求导11211(1)( )( )(1)xxxxxeF xF xexx211(1)( )( )(1)xF xF xxx,( )1,( )F xF xx显然且时上式成立111(1).xxxxIxedxxecx 111:().xxIxedxx 练法2求1121(1).xxxxIedxxedxx11xxxxedxxde1111.xxxxxxxxedxxeedxxec211:()1)xxx (注