2019级第12次课第二节函数的求导法则ppt课件

1、上一页下一页返回第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则一、函数的和、差、积、商和求导一、函数的和、差、积、商和求导法则法则二、反函数的导数二、反函数的导数三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题五、双曲函数与反双曲函数的导数五、双曲函数与反双曲函数的导数上一页下一页返回一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()

2、()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu上一页下一页返回证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .上一页下一页返回hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()

3、()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf上一页下一页返回推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf上一页下一页返回例题分析例题分析例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xx

4、xx 上一页下一页返回例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tanxx2 .csc)(cot2xx 同理可得同理可得上一页下一页返回例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.的导数的导数求求shxy 解解 )(21)( xxeeshxy)(21xxee .chx 同理可得同理可得s

5、hxchx )(xchthx21)( 上一页下一页返回例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 上一页下一页返回,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf上一页下一页返回二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间

6、在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.上一页下一页返回证证,xIx 任任取取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 上一页下一页返回例例7 7.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx, 0co

7、s)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc上一页下一页返回例例8 8.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内内有有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 上一页下一页返回三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,

8、)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(链式法则链式法则)上一页下一页返回证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00

9、 xuf 上一页下一页返回推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 上一页下一页返回例例1010.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例1111.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222

10、222121xaaxaxxa .22xa )0( a上一页下一页返回例例1212.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1313.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 上一页下一页返回四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxx

11、xcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( xx1)(ln 上一页下一页返回2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，那么可导，那么（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 上一页下一页返回3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()

12、()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数. .上一页下一页返回例例1414.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 上一页下一页返回例例1515.)(sin的的导导数数求求函函数数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 上一页下一页返回五、双曲函数与反双曲函数的导数五、双曲函数与反双曲函数的导数chxshx )(shxchx )(chxshxthx xchxshxchthx222)( 即即xchthx21)( 上一页下一页返回同理同理)11(1122xxxx 211x 112 x211x )1ln(2xxarshx 221)1()(xxxxshxar )( archx)( thxar上一页下一页返回例例1616.)arctan(的的导导数数求求函函