2019年高考数学函数的最大值与最小值复习ppt课件

1、, 0)(xf, 0)(xf是增函数；则)(xf, 0)(xf若恒有若恒有是减函数；则)(xf.)(是常数则xf1、函数、函数yf(x)在某个区间内可导，在某个区间内可导，2、对于可导函数、对于可导函数)(xfy 两侧的导数异号0 x是极值点0 x 0 xf注意：注意： 函数在极值点处连函数在极值点处连续续导数为导数为0的点不一定是极值点的点不一定是极值点？但不一定可导但不一定可导一、复习与引入一、复习与引入3.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方值的方 法是法是: 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是

2、极大值是极大值; 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极小值是极小值.0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf4.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到取到.5.在某些问题中在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个值最小,而不是极值而不是极值.二、新课二、新课函数的最值函数的最值x xX2X2o oa aX3X3b bx x

3、1 1y y 观察右边一观察右边一个定义在区间个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 设函数设函数f(x)是定义在是定义在a,b上的函数上的函数,在在(a,b)内可导内可导,则求则求f(x)在在a,b上的最大值与最小值

4、的步骤如下：上的最大值与最小值的步骤如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)作比较作比较,其中其中最大的一个为最大值最大的一个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值. 求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概是一个局部概 念念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念

5、.(2)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且并且 极大值极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除端点但除端点 外在区间内部的最大值外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则一定是极大值则一定是极大值 (或极小值或极小值).(3)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函数的最则在确定函数的最 值时值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比

6、较函数在定义域内各不可导的点处的值还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(4)在解决实际应用问题中在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个如果函数在区间内只有一个 极值点极值点(这样的函数称为单峰函数这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的不必再与端点的 函数值进行比较函数值进行比较.三、例题选讲三、例题选讲例例1:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大值与最小上的最大值与最小 值值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y当当x变化时变化时, 的变

7、化情况如下表的变化情况如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.例例2:求函数求函数 在区间在区间-1,3上的最大值与上的最大值与 最小值最小值.165)(22 xxxxf解解:.)1()12(5)(222 xxxxf令令 ,得得0)( xf.3 , 1,21,212121 xxxx且且相应的函数值为相应的函数值为:.2257)21 (,2257)21 ( ff又又f(x)在区间端点的函数值为在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(

8、3)=0比较得比较得, f(x)在点在点 处取得最大值处取得最大值在点在点 处取得最小值处取得最小值211 x;2257 212 x.2257 四、应用四、应用1.实际问题中的应用实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的常常会遇到求函数的最大最大(小小)值的问题值的问题.建立目标函数建立目标函数,然后利用导数的方法然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个

9、有时会遇到函数在区间内只有一个点使点使 的情形的情形,如果函数在这个点有极大如果函数在这个点有极大(小小)值值,那么不与端点值比较那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大也可以知道这就是最大(小小)值值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间这里所说的也适用于开区间或无穷区间.0)( xf满足上述情况的函数我们称之为满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数单峰函数”.例例1:在边长为在边长为60cm的正的正 方形铁皮的四角切去相等方形铁皮的四角切去相等的正方形的正方形,再把它的边沿虚再把它的边沿虚线折起线折起(如图如图),做成一个无做成一个无盖的方底箱子盖的方底箱子,箱底边长为箱底边长为多少时多少时

10、,箱子的容积最大箱子的容积最大?最大容积是多少最大容积是多少?解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子箱子的容积很小的容积很小,因而因而,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.例例3、已知某商品生产成本、已知某商品生产成本C与

11、产量与产量q的函的函数关系式为数关系式为C=100+4q , 价格价格p与产量与产量q的函的函数关系式为数关系式为 ，求产量，求产量q为何值为何值时时,利润利润L最大。最大。qp8125 利润利润L等于收入等于收入R减去成本减去成本C,而收入而收入R等等于产量乘价格于产量乘价格.由此可得出利润由此可得出利润L与产量与产量q的函数的函数关系式关系式,再用导数求最大利润再用导数求最大利润.分析分析:28125)8125(qqqqqpR解：收入)2000(1002181)4100(812522qqqqqqCRL）（利润2141qL8402141qqL解得：令最大是利润为答：产量极大值就是最大值取到极

12、大值，并且这个处，因此在时，当时，当LqLqLqLq8484084, 084五、小结五、小结1.求在求在a,b上有定义上有定义,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上的最值的上的最值的步骤步骤: (1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值; (2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个其中最大的一个 是最大值是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.2.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念要正确区分极值与最值这两个概念.(2)一旦给出的函数在一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话上有个别不可导点的话,要把这些点的要把这些点的函数值与各极值和函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较放在一起比较.3.应用问题要引起重视应用问题要引起重视.在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大在实际问题中如果可以