2019年微积分第三章复习ppt课件

1、总复习总复习主讲：田长明主讲：田长明第三章第三章 导数与微分导数与微分 1. 掌握导数的定义，会用定义求函数的导数，会讨论 分段函数在分段点的可导性。 0 xfxxfxxfxyxx0000limlim 2、 熟记可导与连续的关系 可导必然连续，但连续不一定可导，不连续一定不可导.x)0()x0(lim)0(0fffx00lim20 xxx 例题 1 讨论函数yx|x|在点x0处的连续性和可导性 ) 0() 0(ff 函数yx|x|在点x0处可导 x)0()x0(lim)0(0fffx00lim20 xxx解 xffxxxf00limlim0 x0 x在点x0处的连续性。0)1ln(lim)(l

2、im00 xxfxx0)11(lim)(lim00 xxxfxxxfxffx)0()0(lim)0(010)1ln(lim0 xxxxfxffx) 0 ()0 (lim) 0 (0 xxxx011lim01112lim0 xxx1)0()0(ff10 1101 )1ln()(xxxxxxf例2、 设讨论f(x)在x0处的连续性与可导性 解 所以f(x)在x0处连续 ) 0(0)(lim0fxfx所以f(x)在x0处可导 1)0( f2.熟记导数的几何意义，会求切线方程和法线方程。 000 xxxfyy切线方程为 0001xxxfyy法线方程为2当时，导数不存在，这时切线MT垂直于x轴.0yy

3、法线方程为：0 xx 切线方程为：例例3、 求在抛物线求在抛物线yx2上点上点x3处的切线方程和法线方处的切线方程和法线方程程 62|33xxxy 所求切线的方程为 (y9)6(x3) 即6x y90 解 当x3时 y329 故切点为(3, 9) ，所求切线的斜率为 所求法线的方程为 0576,3x619yyx即4、 熟练掌握求导的基本方法熟练掌握求导的基本方法（1导数的四则运算法则 ：（2反函数的导数 ：（3复合函数的导数：（4隐函数求导法 ：（5对数求导法 ：（6参数方程 所确定的函数的导数 ： .ttdxdy ,tytx. xuxuyy 例例4、求下列各函数的导数、求下列各函数的导数 (

4、1) yxnln x )(lnln)(xxxxynn解解 ) 1ln(1ln11xnxxxxnxnnn)1 (11)1 (11xxxxy)1 (1)21(112111xxxxxxxxy11ln (2)1ln()1ln(11lnxxxxy解解 xxxsin12sec2tan12122tanlnxy(3)2(2sec2tan1)2(tan2tan12xxxxxy解解 )(12222axxxaxx221ax )ln(22axxy (4)(12222axxaxxy解解 yyeyeyxx1ln1xxeyyeyy)ln1 ( (5) yxexln y解出y得解解 方程两边对方程两边对x求导得求导得)3ln

5、(32)3ln(31)1ln(ln2lnxxxxy)3 ( 32)3 ( 311121xxxxyy)3 ( 32)3 ( 31112)3 (31322xxxxxxxxy322)3 (31xxxxy (6) 解解 两边取对数得两边取对数得 两边求导数得 例例4、求参数方程、求参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数33sincosayaxdxdy,cossin32 addy.sincos3cossin322tgaaddxddydxdy,sincos32addx解：解： 由参数方程的求导公式，有6、熟练掌握高阶导数的求法。、熟练掌握高阶导数的求法。例例5、求下列各函数的、求下列各函数的n阶导

6、数阶导数 (1) ycos x (2) y=sinx)2sin(x)22cos(xy)22sin(x)23cos(xy)2cos(nxy(n)2cos(x解解 (1) ysin x 例例6、xxxxxxxxxxxyn3422)(lnln2ln1ln2) 1(lnln1)ln1ln(xxynln)2(设y的n2阶导数求y的n阶导数y(n) xxxxyn2) 1(ln1ln)ln( 解解 例例7、 设yf (x2b) 求y 解 yf (x2b)2x yf (x2b)(2x)2f (x2b)2 4x2 f (x2b)2f (x2b) 7、熟练掌握微分的求法。、熟练掌握微分的求法。例例8、求下列各函数

7、的微分、求下列各函数的微分 解解(1).),ln(2dyexyx求求设设 dxexxedxexexdyxxxx222221)(1(2).,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx dxxedxxexxx)sin()31)(cos3131.)sincos3(31dxxxex 解解xdxedxexxxsin)3(cos3131例例9、选择题、选择题1 设f(x)可导且下列各极限均存在 那么( )成立 )()()2(lim0afhafhafh (B)()()(lim0000 xfxxxfxfx (C)(2)()(lim0000 xfxxxfxxfx (D)答答

8、 A C D )0()0()(lim0fxfxfx (A)xxxfxfxfxxfx)()()()(lim2100000)()()()(lim2100000 xxfxxfxxfxxfx)()()(21000 xfxfxfhafhafhafhafhh2)()2(lim2)()2(lim00)(2af(B)()()(lim)()(lim0000000 xfxxfxxfxxxfxfxx(C)xxxfxxfx2)()(lim000(D) )0(0)0()(lim)0()(lim00fxfxfxfxfxx(A)当xa时的无穷小量) 所以f(x)f(a)A(xa)o(xa) Aaxafxfax)()(lim

9、2 假设 A为常数 则有( )(limxfax(A) f(x)在点xa处连续 (B) f(x)在点xa处可导 存在 (D) f(x)f(a)A(xa)o(xa) (C)()()(lim)()(lim0afxafxafaxafxfxax令xxa 那么答答 A B C D )(limxfax所以f(x)在点xa处可导 因为f(x)在点xa处可导 所以f(x)在点xa处连续 因为f(x)在点xa处连续 所以存在Aaxafxfax)()(limAaxafxf)()(因为的充要条件是(是 3 设函数f(x)在点x0及其邻近有定义 且有 f(x0 x)f(x0)axb(x) 2 a b为常数 则有( )

10、(A) f(x)在点xx0 处连续 (B) f(x)在点xx0 处可导且f (x0)a (C) f(x)在点xx0 处可微且df(x0)adx (D)f(x0 x)f(x0)ax (x充分小时) 答 A B D 因为f(x0 x)f(x0)axb(x)2 且a是常数 b(x)2是比x高阶的无穷小 由微分的定义 函数f(x)在点xx0 处可微 并且有af (x0) (A) 由f(x)在点xx0处可导知f(x)在点xx0处连续； (B) 由可导与可微等价 f(x)在点xx0 处可微得知f(x)在点xx0 处可导 且有af (x0) ； (C) df(x0)a dx不正确 df(x0)表示常数f(x0)的微分 而不是f(x)在点xx0处的微分； (D) 因为当x充分小时 有f(x0 x)f(x0)axb(x)2所 以f(x0 x)f(x0)ax。x2sin21 4、 下列函数中( )的导数等于x2sin21x2cos41x2cos21x2cos411 (A) (B) (C) (D)答答 A C D xxx2sin212)2sin(41)2cos41( (B)