矩阵分析第一章ppt课件

1、矩阵分析矩阵分析 欢迎大家( )( );( )( ),XAtXBt UYCtXDt U其中( )U t为l维输入变量，( )X tn维状态向量，为矩阵理论的简单应用一：矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统的状态空间性方程为第一章第一章 线性空间和线性映射线性空间和线性映射分别为分别为维输出向量，矩阵为m型矩阵且均为时间型矩阵且均为时间t的函数矩阵。定义：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常的。其状态空间形方程为 考虑一个线性定常系统 XAXBUYCXDU)(tY)(),(),(),(tDtCtBtADCBA,XAXBUYCXDU定义：对于上述系统，如果从状态空间中的任

2、意一点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；否则，称该系统是不可控的。定义：对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维零下的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的;否则，称该系统是不可观测的。)(tn我们首先以单输入单输出系统为例我们首先以单输入单输出系统为例 。考虑系统下面的单输入单输出系统：考虑系统下面的单输入单输出系统：TXAXbuYc X其中其中 b 和和 是是 n维矢量，维矢量， A是是 矩阵，矩阵， cU及及 Y是标量。是标量。定理：定理： 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要上面的单输入单输出系

3、统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵条件是可控性判别矩阵nn1( ,)nQbbAb是可逆非奇异矩阵。是可逆非奇异矩阵。例例 1：设：设0101001 ,20003Ab 由于矩阵由于矩阵2123230300bAbA b 是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。例例 2：设：设0000100 ,10101Ab 由于矩阵由于矩阵2000100110bAbA b 是不可逆奇异矩阵，所以相应的系统是不可控的。是不可逆奇异矩阵，所以相应的系统是不可控的。定理：定理： 上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵条件

4、是可观测性判别矩阵1TTTnccVc A是可逆非奇异矩阵。是可逆非奇异矩阵。例例 3：设：设1 1,121 1TAc由于矩阵由于矩阵1233TTcc A是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。例例 4：设：设01003002,100000010200TAc由于矩阵由于矩阵231000010030020100TTTTcc Ac Ac A是不可逆奇异矩阵，所以相应的系统是不可观测的。是不可逆奇异矩阵，所以相应的系统是不可观测的。我们再以多输入多输出系统为例我们再以多输入多输出系统为例 。考虑系统下面的多输入多输出系统：考虑系统下面的多输入多输出系统：XAXBuY

5、CX定理：定理： 上面的多输入多输出系统是可控制的充分必要上面的多输入多输出系统是可控制的充分必要条件是可控制性判别矩阵条件是可控制性判别矩阵1( ,)nQBBAB是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵性判别矩阵1nCCAVCA是列满秩的。是列满秩的。0111,1011AB由于矩阵由于矩阵1 1 1111 1 1BAB是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。例例 5：设：设二二 矩阵理论在生物数学中的应用矩阵理论在生物数学中的应用在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有在化的花瓣中存在一

6、种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花的花瓣有的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属瓣花；许多翠雀属的植物有的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植瓣；紫菀属的植物有物有21瓣花；大多数的雏菊有瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。瓣花。另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存在此种现象。这就是著名的在此种现象。这就是著名的F

7、ibonacci级数模式。我级数模式。我们称下面的数列们称下面的数列为为Fibonacci级数。它满足下述递推公式：级数。它满足下述递推公式： 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,以及初始条件：以及初始条件： 试求该数列的通项试求该数列的通项公式，并且求出极限公式，并且求出极限 21,0,1,2,3,kkkfffk010,1.ff1lim.kkkff解：设解：设1,0,1,2,kkkfUkf因为因为 ，所以，所以 21kkkfff令令2111110kkkkffff1110A那么我们有那么我们有10,kkkkUAUUA U于是我们为了求于是我们为了求Fibonacci数列的通项公

8、式只需求出数列的通项公式只需求出 kA 即可，我们利用即可，我们利用 的相似标准形来化简的相似标准形来化简 的计算。的计算。 AkA 的特征多项式为的特征多项式为 ， 它的它的两个特征根为：两个特征根为：A21IA1211(15),(15),22由此可以看出由此可以看出 可以对角化。解齐次线性方程组可以对角化。解齐次线性方程组A1(15)02IA X可以得到它的一个基础解系：可以得到它的一个基础解系：111(15)211同理可得同理可得1(15)02IA X一个基础解系是一个基础解系是221(15)211令令1211U那么那么11200UAU从而从而1112122000110kkkAUU112

9、122111211111155kkkk由递推公式以及初始条件可得由递推公式以及初始条件可得110kkkfAf 比较上式的第二个分量得比较上式的第二个分量得这就是著名的这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容数列通项公式，容易计算出：易计算出：121()511515()()225kkkkkf11115lim0.6182kkkff 这个数在最优化中有重要的应用，在最优化这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。0.618第一节

10、第一节 线性空间线性空间一：一： 线性空间的定义与例子线性空间的定义与例子定义定义 设设 是一个非空的集合，是一个非空的集合， 是一个数域，是一个数域，在集和在集和 中定义两种代数运算中定义两种代数运算, 一种是加法运算一种是加法运算, 用用 来表示来表示; 另一种是数乘运算另一种是数乘运算, 用用 来表示来表示, 并且并且这两种运算满足下列八条运算律：这两种运算满足下列八条运算律：VFV（1） 加法交换律加法交换律（2） 加法结合律加法结合律 ()()（3） 零元素零元素 在在 中存在一个元素中存在一个元素 ，使得对，使得对于任意的于任意的 都有都有00VV（4） 负元素负元素 对于对于 中

11、的任意元素中的任意元素 都存都存在一个元素在一个元素 使得使得 V01 （5） ()()k lkl（6） （7） ()klkl（8） ()kkk称这样的称这样的 为数域为数域 上的线性空间。上的线性空间。VF例例 1 全体实函数集合全体实函数集合 构成实数域构成实数域 上的上的线性空间。线性空间。RRR例例 2 复数域复数域 上的全体上的全体 型矩阵构成型矩阵构成的集合的集合 为为 上的线性空间。上的线性空间。CmnCm nm mC 例例 3 实数域实数域 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 的多项的多项式集合式集合 构成实数域构成实数域 上的线性空间上的线性空间Rn nR xR例例 4

12、 全体正的实数全体正的实数 在下面的加法与数乘的在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：定义下也构成线性空间：R:,:,kababa bRkaaa kR 例例 5 表示实数域表示实数域 上的全体无限序列组成的上的全体无限序列组成的的集合。即的集合。即RR123, ,1,2,3,iaFRa a ai在在 中定义加法与数乘：中定义加法与数乘： 那么那么 为实数域为实数域 上的一个线性空间。上的一个线性空间。123123112233123123 , , ,a a ab b bab ab abk a a aka ka ka RRR例例 6 在在 中满足中满足Cauchy条件的无限序列组成的条件的无限

13、序列组成的子集合也构成子集合也构成 上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是： 使得对于使得对于 都有都有0,0,N ,m nNmnaaRR例例7 在在 中满足中满足Hilbert条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合不构成子集合不构成 上的线性空间。上的线性空间。Hilbert条件是：条件是：级数级数 收敛收敛例例8 在在 中有界的无限序列组成的子集也构成中有界的无限序列组成的子集也构成 上的线性空间。一个无限序列上的线性空间。一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数称为有界的，如果存在一个实数 ， 使得使得21nnaRR123,a a a r,1,2,iari RR

14、二：二： 线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质定义定义: 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质：基本性质： （1含有零向量的向量组一定线性相关；含有零向量的向量组一定线性相关；（2整体无关整体无关 部分无关；部分相关部分无关；部分相关 整体相关；整体相关；（3如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；关；（4向量组的秩是唯一

15、的，但是其极大线性无关并不向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一；唯一；（5如果向量组如果向量组I可以由向量组可以由向量组II线性表出，线性表出，那么向量组那么向量组I的秩的秩 向量组向量组II的秩；的秩；（6等价的向量组秩相同。等价的向量组秩相同。例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例

16、3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组也是线性无关的。也是线性无关的。RRR12,nxxxeee12,n RRR12,nxxx12,n RRR1,cos ,cos2 ,cosxxnx例例 4 实数域实数域 上的线性空间空间上的线性空间空间 中，函数组中，函数组与函数组与函数组都是线性相关的函数组。都是线性相关的函数组。RRR21,cos,cos2xx22sin ,cos ,sin,cos,sin,cos,4.nnxxxxxxn线性空间的基底，维数与坐标变换线性空间的基底，维数与坐标变换定义定义 设设 为数域为数域 上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 中存

17、在中存在 个线性无关的向量个线性无关的向量 使得使得 中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可以由 线性表出线性表出则称则称 为为 的一个基底；的一个基底；为向量为向量 在基底在基底 下的坐标。此时我们下的坐标。此时我们称称 为一个为一个 维线性空间，记为维线性空间，记为 例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中向量组中向量组与向量组与向量组 VFn12,n V12,n V1122nnkkk12,n V12( ,)Tnk kk12,n Vndim.VnR3R(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) 都是都是 的基。的基。 是是3维线性空间。维线性空间。例例 2 实数域实

18、数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。 是是4维线性空间。维线性空间。例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组 1011111 1,0000101 1 2 2R01101111,11110110 R2 2R(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)3R3R2 2RR nR x 与向量组与向量组都是都是 的基底。的基底。 的维数为的维数为 注意：注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性唯一，但是维数是唯一确定的。利用

19、维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。前，我们主要讨论有限维的线性空间。例例 4 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组21, ,nx xx21,2,(2) ,(2)nxxx nR x nR x1.n 2 2R01101111,11110110 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐标。解：设向量解：设向量 在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为 1011111 1,0000101 1 1234AA1234(,)Tx x x x于

20、是可得于是可得 解得解得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为123412011034111111110110 xxxx12347412,3333xxxx12341,1,1,4yyyy 由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。同的。基变换与坐标变换基变换与坐标变换设设 （旧的与（旧的与 （新的）（新的）是是 维线性空间维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为的两组基底，它们之间的关系为 12,n 12,n Vn11221212,1,2,iiininiinniaaaaaina 1112121222121212,nnn

21、nnnnaaaaaaaaa 将上式矩阵化可以得到下面的关系式：将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称称 阶方阵阶方阵n111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成以写成定理：过渡矩阵定理：过渡矩阵 是可逆的。是可逆的。1212,nnP P任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有：，那么我们有：称上式为坐标变换公式。称上式为坐标变换公式。例例 1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组V12,Tnx xx12,Tny yy1122nnxyx

22、yPxy2 2R12340110,11111111,011012341011,0000111 1,101 1与向量组与向量组1234A为其两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的的过渡矩阵，过渡矩阵，并求向量并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式解：容易计算出下面的矩阵表达式1234, 1234, 12341234,2110333111033312103331211333 12347412,3333xxxx向量向量 第一组基下的坐标为第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为AA1

23、1122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx例例 2 教材教材13页例页例1.2.6 线性空间的子空间线性空间的子空间定义定义 设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间， 为为 的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有那么我们称那么我们称 为为 的一个子空间。的一个子空间。例例 1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它必有，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间 FVnVW,W , k lF

24、klWVWV 以及线性空间以及线性空间 自身。自身。例例 2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。数。例例 3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合 0Vm nAR0AX nnR0AX 12,s nV12

25、1122,sssispankkkkF 构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称生成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。 的基底即为向量组的基底即为向量组 的极大线性无关组，的极大线性无关组， 的维数即的维数即为向量组为向量组 的秩。的秩。例例 4 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中全体上三角矩中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成全体反对称矩阵集合分别都构成 的子空间，的子空间，V12,s 12,sspan 12,s

26、 12,sspan 12,s n nRRn nR问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？子空间的交与和子空间的交与和 矩阵或线性变换的特征值与特征向量矩阵或线性变换的特征值与特征向量 定义定义 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个线的一个线性变换，如果对于数域性变换，如果对于数域 中任一元素中任一元素 ， 中中都存在一个非零向量都存在一个非零向量 ，使得，使得 那么称那么称 为为 的一个特征值，而的一个特征值，而 称为称为 的的属于特征值属于特征值 的一个特征向量。的一个特征向量。 现在设现在设 是数域是数域 上的上的 维线性空间，维

27、线性空间， 中取定一个基中取定一个基 ，设线性变换，设线性变换 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 ，向量，向量 在这组基下的在这组基下的坐标是坐标是 ， 。那么我们有。那么我们有 fFVF0V0( )f 0ff0VFnV12,n fAX0F由此可得定理：由此可得定理： 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量 是是 的的属于属于 的特征向量的特征向量 因而，只要将因而，只要将 的全部特征值求出来，它们的全部特征值求出来，它们就是线性变换就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 的的属于属于 的全部特征向量求出来，分别以它

28、们为坐的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是标的向量就是 的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。 00( )fAXX 0f0Af0 XA0AfA0f0例例 1 设设 是数域是数域 上的上的3维线性空间，维线性空间， 是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换， 在在 的一个基的一个基 下的下的矩阵是矩阵是求求 的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解：解： 的特征多项式为的特征多项式为VKffV123, 222214241A fVA2222214241(3) (6)IA所以所以 的特征值是的特征值是 （二重与（二重与 。 对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐

29、次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：A363(3)0IA X210,201TT从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 的属于的属于 的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 为数域为数域 中不全为零的数对。中不全为零的数对。 对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系： 3f1122132,2 f31 12212,kkk kK12,k kK6( 6)0IA X122T从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 的属于的属于 的全部特征向量的全部

30、特征向量这里这里 为数域为数域 中任意非零数。中任意非零数。 矩阵的相似与相似对角化矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质：相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征f63123223,kkKf6kK值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） 阶矩阵阶矩阵 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量的全部特征向量再添上零向量，可以组成再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩的一个子空间，称之为矩阵

31、阵 的属于特征值的属于特征值 的特征子空间，记为的特征子空间，记为 ，不难，不难看出看出 正是特征方程组正是特征方程组 的解空间。的解空间。（2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 An0nRA00V0V0()0IA X（3） 设设 是是 的的 个互不同的特征个互不同的特征值，值， 的几何重数为的几何重数为 ， 是对是对应于应于 的的 个线性无关的特征向量，则的所有这个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量些特征向量仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。（4） 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。重数。12,r Ariiq12,iiiiqiiq12111212122212,;,;,rqqrrrq（5一个特征向量不能属于不同的特征值。一个特征向量不能属于不同的特征值