第五章 第二节 Gauss-Seidel迭代法

1、 第二节第二节 迭代法迭代法 GaussSeidel一、一、 迭代格式迭代格式GaussSeidel 二二 迭代法的收敛性迭代法的收敛性 GaussSeidel三、小结三、小结一、一、 迭代格式迭代格式GaussSeidel 111 112211221 1222221 111,.nnnnnnnnnnnnnxb xb xb xfxb xb xb xfxb xbxb xf考虑方程组1,1,2,niijjijxb xf in(2.1)即以后，把它们代入（以后，把它们代入（2.1）中第一个方程算出）中第一个方程算出(1)(0)(0)(0)111 112211nnxb xb xb xf 00012,nx

2、xx对方程组（对方程组（2.1）作迭代时，取定初始近似值）作迭代时，取定初始近似值 X 显然，迭代格式收敛的话，则显然，迭代格式收敛的话，则 比比 更接近于更接近于 的第一个分量的第一个分量 所以在计算所以在计算 时，我们不再像时，我们不再像 迭代法那样以迭代法那样以 代入代入(2.1)中第二式的右边中第二式的右边 ，而是把新算出的而是把新算出的 及及 代入该式右边，得代入该式右边，得到到 11x 01x*1x 12xJacobi 00012,nxxx 11x 00023,nxxx(1)(1)(0)(0)221 122222nnxb xb xb xf即计算下一个分量时，要用到刚算出的新即计算下

3、一个分量时，要用到刚算出的新分量。这样或许能收到更好的效果。按这分量。这样或许能收到更好的效果。按这样方式建立的迭代格式称为样方式建立的迭代格式称为 迭代格式迭代格式，其一般形式为，其一般形式为GaussSeidel(1)( )( )( )111 112 211(1)(1)( )( )221 122 222(1)(1)(1)( )1 111,.kkkkn nkkkkn nkkkknnnnnnn nnxb xb xb xfxb xb xb xfxb xbxb xf (2.2) 用矩阵表示就是用矩阵表示就是 (1)(1)( ),kkkXLXUXF(2.3) 其中，其中， ,LUB111212200

4、0nnnbbbbUb 211100000000nnnbLbb 由（2.3）式可知，(1)(1)( )(1)( )kkkkkXLXUXFIL XUXF因因 存在，所以迭代格式（存在，所以迭代格式（2.3）也可表示为也可表示为 1IL(1)1( )1()()kkXILUXILF(2.4) 我们称我们称 为为 迭代法的迭代法的迭代矩阵迭代矩阵。 1GILUGaussSeidel 由（由（2.4）式）式 可见，对可见，对 方方 程程 组组 作作 迭代，等价于对方程组迭代，等价于对方程组 XBXFGaussSeidel11()()XILUXILF(2.5)作作 迭代。迭代。 Jacobi二二 迭代法的收

5、敛性迭代法的收敛性 GaussSeidel 定理定理 3 对于任意右端向量和初始向量对于任意右端向量和初始向量 ， 迭代法收敛的充要条件是迭代法收敛的充要条件是 0XGaussSeidel( )1,G其中其中1()GILUXBXF 由于对方程组由于对方程组作简单迭代是一回事，故由定理作简单迭代是一回事，故由定理1有有GaussSeidel作作 迭代同对方程组迭代同对方程组11()()XILUXILF即特征方程即特征方程1()0ILUI的根的绝对值小于的根的绝对值小于1。 而1()0,IL11()()()ILUIILUIL由于类似于定理类似于定理2，我们还可以给出如下，我们还可以给出如下收敛的充

6、分条件收敛的充分条件。 111max1;nijjiBb 12max1.nijijBb()0UIL(2.6)所以在实际问题中，只需求出方程的根。 定理定理4 对对 于于 任任 意意 右右 端端 向向 量量 初初 始始 向量向量 ， 迭代法收敛的充分条件是迭代法收敛的充分条件是 FGaussSeidel 0X 由此定理可知，条件由此定理可知，条件(1）或）或(2）被满足时，则）被满足时，则 迭代法与迭代法与 迭代法都收敛。迭代法都收敛。 GaussSeidelJacobi 可以证明，当条件可以证明，当条件(2）被满足时，）被满足时， 迭代法比迭代法比 迭代法收敛得快些。迭代法收敛得快些。 Jaco

7、biGaussSeidel 例例4 分别用分别用 和和 迭代法解方程组迭代法解方程组 JacobiGaussSeidel11223300.10.20.720.100.20.830.20.200.84xxxxxx 解解 由于由于 ，故，故 迭迭 代代 法法 迭代法都收敛。迭代法都收敛。 取取 ，首先采用，首先采用 迭代格式，计算求得迭代格式，计算求得0.41BGaussSeidelJacobi 00,0,0TXJacobi 10.72,0.83,0.84,TX(8)1.0998,1.1998,1.2997,TX(9)1.0999,1.1999,1.2999.TX与其精确解与其精确解 相比，其误差

8、为相比，其误差为 *1.1,1.2,1.3TX (9)*0.0001XX再利用再利用 迭代格式，计算求得迭代格式，计算求得 GaussSeidel 10.7200,0.9020,1.1644,TX 41.0992,1.1995,1.2997TX 51.0999,1.1999,1.2999TX其误差为其误差为 5*0.0001XX 从此例可以看出，当充分条件从此例可以看出，当充分条件(2）被满）被满足时，足时， 迭代法确实比迭代法确实比 迭代法收敛快些。迭代法收敛快些。 GaussSeidelJacobi 然而，然而， 迭代法并不总比迭代法并不总比 迭迭代法好。有时代法好。有时 迭代法还比迭代法

9、还比 迭迭代法收敛得慢些，有时甚至在代法收敛得慢些，有时甚至在 迭代法收敛迭代法收敛时，它却不收敛。时，它却不收敛。GaussSeidelGaussSeidelJacobiJacobiJacobi例例5 设方程组设方程组 的系数矩阵为的系数矩阵为 AXb122111221A 试证明试证明 迭代法收敛迭代法收敛 ，而，而 迭代法不收敛。迭代法不收敛。 JacobiGaussSeidel证明证明 显然，显然， 迭代法的迭代矩阵为迭代法的迭代矩阵为 Jacobi022201220B 因为因为 3221122IB由定理由定理1可知，可知， 迭代法收敛。迭代法收敛。 Jacobimax01i0IB，则有

10、，则有 令令又又 ，其中，其中 BLU002210,012200LU 令令 32440UIL 则有则有 max21,i故故 迭代法不收敛。迭代法不收敛。 GaussSeidel类似地方法，可以证明，若系数矩阵类似地方法，可以证明，若系数矩阵 为为 A211111112A时，时， 迭代法不收敛迭代法不收敛 ，而，而 迭代法收敛。迭代法收敛。 JacobiGaussSeidel这个问题留给同学做练习。 下面我们给出判断Gauss-Seidel迭代法收敛的其它方法。定理定理5 设方程组为设方程组为AXb （1）如果矩阵）如果矩阵 是对称正定的，则是对称正定的，则 迭代法收敛。迭代法收敛。 AGaussSeidel （2）如果）如果 是严格对角占优的，则是严格对角占优的，则 迭代法收敛。迭代法收敛。 AGaussSeidel证略。证略。 由上可见，迭代法的使用与问题的特点有着密切由上可见，迭代法的使用与问题的特点有着密切的关系，使用时应根据实际情况选用合适的迭代方法，的关系，使用时应根据实际情况选用合适的迭代方法，既要有一定的经验，还应有理论的分析和指导。既要有一定的经验，还应有理论的分析和指导。1、 迭代格式迭代格式GaussSeidel