第六章换面法ppt课件

1、第六章第六章 换面法换面法一、问题的提出一、问题的提出 如何求普通位置直线的实长？如何求普通位置直线的实长？ 如何求普通位置平面的真实大小？如何求普通位置平面的真实大小？ 换换 面面 法：法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面辅助投影面替代原有投影面，新投影面辅助投影面替代原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需求的有使物体相对新的投影面处于解题所需求的有利位置，然后将物体向新投影面进展投射。利位置，然后将物体向新投影面进展投射。处理方法：改换投影面。处理方法：改换投影面。VHXABabab 老投影体系老投影体系V/H新投影面新投影面V1新投影体

2、系新投影体系V1/HX1新轴新轴老轴老轴a1b1新投影新投影被交换被交换的投影的投影被保管被保管的投影的投影被保管被保管的投影面的投影面被交换被交换的投影面的投影面 VHAB a bab二、新投影面的选择原那么二、新投影面的选择原那么1. 新投影面必需对空间物体处于最有利的解题位置。新投影面必需对空间物体处于最有利的解题位置。平行于新的投影面平行于新的投影面垂直于新的投影面垂直于新的投影面2. 新投影面必需垂直于某一保管的原投影面，以构成新投影面必需垂直于某一保管的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1VHA aa axX 改换一次投影面改换

3、一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系P1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a， aA点的两个投影：点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 aaa1axax1.ax1 VHXP1HX1 aaa1VHA a axXX1P1a1ax1 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1 = aax 点的新投影到新投影轴的间隔等于被替代的投影到原投点的新投影到新投影轴的间隔等于被替代的投影到原投影轴的间隔。影轴的间隔。axa普通规律：普通规律： 点的新投影和与它有关

4、的原投影的连线，必垂直于新投点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。影轴。. XVHaaax改换改换H面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 VHXP1HX1 由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段间隔，使这段间隔等于被替代的投线上量取一段间隔，使这段间隔等于被替代的投影到原投影轴的间隔。影到原投影轴的间隔。aaX1P1H a1axax1ax1改换改换V面面a1作图规律：作图规律：. 改换两次投影面改换两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:P1HX1 再把再把H面换成平

5、面面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系，得到新投影体系: X2 P1 P2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序改换按次序改换AaVH aaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 ax2 aaXVH 求新投影的作图方法求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2 作图规律作图规律 a2a1 X2 轴轴 a2ax2 = aax1a1 axax1 .VHAB a bab四、换面法的六个根本问题四、换面法的六个根本问题1. 把普通位置直线变换成投影面平行线把普通位置直线变换成投影面平行线用用P1面替代面替代V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空

6、间分析：空间分析： 换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。 a babXVH新投影轴的位置？新投影轴的位置？a1b1与与ab平行。平行。 .2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用功用:一次换面后可用于求点与直线一次换面后可用于求点与直线,两直线间的间隔等。两直线间的间隔等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABababH1a1b1X1H1Va1 b1XVHabab普通位置直线变换为垂直线普通位置直线变换为垂直线a1b

7、1VH aaXB bbA3. 把普通位置直线变换成投影面垂直线把普通位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a babXVHX1H1P1P1 P2X2作图：作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2b2ax2a2b2 .与与a1b1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；例例 1 知等腰三知等腰三角形角形ABC的底的底边为边为AB，试，试用换面法求出用换面法求出等腰三角形等腰三角形ABC的正面投的正面投影。影。abXVHcabX1HV1b1c1a1cee1功用：

8、可求解平面与投影面的倾角，功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的间隔，点与平面的间隔， 两平行面间的间隔等。两平行面间的间隔等。4. 把普通位置平面变换成投影面垂直面把普通位置平面变换成投影面垂直面问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新轴必需垂直与该平行线反映实长的那轴必需垂直与该平行线反映实长的那个投影。个投影。 普通位置直线变换普通位置直线变换成投影面垂直线，需经成投影面垂直线，需经几次变换？几次变换？ a b cabcdVHABCDX d 假设把平面内的一条直线变换成新投影面的垂假设把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面那

9、么变换成新投影面的垂直面。直线，那么该平面那么变换成新投影面的垂直面。 P1X1c1b1 a1d1空间分析：空间分析： 在平面内取一条在平面内取一条投影面平行线，经一投影面平行线，经一次换面后变换成新投次换面后变换成新投影面的垂直线，那么影面的垂直线，那么该平面变成新投影面该平面变成新投影面的垂直面。的垂直面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进展一次变换？能否只进展一次变换？ 思索：思索：假设变换假设变换H面，需在面，需在面内取什么位置直线面内取什么位置直线？正平线！正平线！ a b cacbXVH例：把三角形例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。

10、变换成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程： 在平面内取一条程度在平面内取一条程度 线线AD。dd 将将AD变换成新投影变换成新投影 面的垂直线。面的垂直线。d1a1d1c1 反映平面对哪反映平面对哪个投影面的夹角？个投影面的夹角？. 5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面将投影面的垂直面变成投影面的平行面功用：功用： 一次换面后一次换面后可求解平面实形、可求解平面实形、形心、两直线形心、两直线交角等交角等问题的关键：问题的关键： 新投影轴新投影轴必需平行于该必需平行于该平面的积聚性平面的积聚性投影。投影。VbacHV1ABCbaa1c1b1X1c展开图展开图a1b1需经几次变

11、换？需经几次变换？一次换面一次换面, 把普通位置平面变换成新投影面的垂直面；把普通位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P26. 把普通位置平面变换成投影面平行面把普通位置平面变换成投影面平行面ab a c bXVHc作作 图：图：AB是是程度线程度线空间分析：空间分析：a2c2b2c1X2轴的位置？轴的位置？平面的实形平面的实形.X1HP1.与其平行与其平行例例 3 知直线知直线AB与与CDE平面平行，平面平行，且相距且相距20mm，求，求直线直线AB的程的程度投影。度投影。XVHedcdecaba1b1X1VH1c1

12、e1 d1ba20mm1 、求直线实长和与投影面的倾角、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。将直线变换成投影面的平行线。2 、求平面实形和形心、求平面实形和形心 将平面变换成投影面的平行面。将平面变换成投影面的平行面。3、 求平面与投影面的倾角求平面与投影面的倾角 将平面变换成投影面的垂直面。将平面变换成投影面的垂直面。4、 求间隔求间隔1点与直线之间点与直线之间 a 将直线变换成投影面垂直线。将直线变换成投影面垂直线。 b 将点与直线组成的平面变换成投影将点与直线组成的平面变换成投影 面的平行面。面的平行面。五、换面法的运用五、换面法的运用2 点与平面之间点与平面之间 将

13、平面变换成投影面垂直面。将平面变换成投影面垂直面。3 两平行线之间两平行线之间 将两直线变换成投影面垂直线。将两直线变换成投影面垂直线。4 两平行平面之间两平行平面之间 将两平面变换成投影面垂直面。将两平面变换成投影面垂直面。 5 、求夹角、求夹角1两直线之间两直线之间 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 2 两平面之间两平面之间 将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。面的交线变换成投影面的垂直线。 b1 间隔间隔dd1X1HP1X2P1P2c2 d例例1：求点：求点C到直线到直线

14、AB的间隔，并求垂足的间隔，并求垂足D。c c b aabXVH 如以下图：当直线如以下图：当直线AB垂直于投影面时，垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反平行于投影面，其投影反映实长。映实长。APBDCcabd作图作图: 求求C点到直线点到直线AB的间隔，的间隔，就是求垂线就是求垂线CD的实长。的实长。空间及投影分析：空间及投影分析：c1 a1 a2b2d2 过过c1作线平行于作线平行于x2轴。轴。.如何确定如何确定d1点的位点的位置？置？baabcdc例例2：知两交叉直线：知两交叉直线AB和和CD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MN， 且且AB为程度线，求为程度线，求CD及及MN的投

15、影。的投影。MNmda1b1m1n1c1d1n空间及投影分析：空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径圆半径=MNnm 当直线当直线AB垂直于投影垂直于投影面时，面时，MN平行于投影面，平行于投影面，这时它的投影这时它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：作图：请留意各点的投请留意各点的投影如何前往？影如何前往？求求m点是难点。点是难点。.空间及投影分析：空间及投影分析：AB与与CD都平行于投影面时，其都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大投影的夹角才反映实大60，因此需将，因此需将AB与与C点所确定的平面变换成投影面平行面。点所确定的平面变

16、换成投影面平行面。例例3: 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。 dX1HP1X1P1P2ab a c bXVHc作作 图：图：c2c1a1b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！ 知点知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求上，求等边三角形的投影。等边三角形的投影。思索：思索：如何解？如何解？解法一样！解法一样！60D点的投影点的投影如何前往？如何前往？.P2P1X2H P1X1cdbadacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。空间及投影分析：空间

17、及投影分析： 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。时所得两交线之间的夹角。 在投影图中在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，那么两平两平面的交线垂直于投影面时，那么两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。为所求。. 小小 结结 本章主要引见了投影变换的一种常用方法本章主要引见了投影变换的一种常用方法 换面法。换面法。一、一、 换面法就是改动投影面的位置，使它与所给物换面法就是改动投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题

18、所需的特殊位置。体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。二、二、 换面法的关键是要留意新投影面的选择条件，换面法的关键是要留意新投影面的选择条件， 即必需使新投影面与某一原投面坚持垂直关系，即必需使新投影面与某一原投面坚持垂直关系， 同时又有利于解题需求，这样才干使正投影规同时又有利于解题需求，这样才干使正投影规 律继续有效。律继续有效。三、点的变换规律是换面法的作图根底，四个根本三、点的变换规律是换面法的作图根底，四个根本 问题是解题的根本作图方法，必需熟练掌握。问题是解题的根本作图方法，必需熟练掌握。换面法的四个根本问题：换面法的四个根本问题： 2. 把普通位置直线变成投影面垂直线把普通位置直线变成投影面垂直线1. 把普通位置直线变成投影面平行线把普通位置直线变成投影面平行线3. 把普通位置平面变成投影面垂直面把普通位置平面变成投影面垂直面4. 把普通位置平面变成投影面平行面把普通位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线需先在面内作一条投影面平行线四、解题时普通要留意下面几个问题：四、解题时普通要留意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影