第六节 极限存在准则ppt课件

1、1 1极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限1.6 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限2 21. 夹逼准则夹逼准则证证,ayn, 0 准绳准绳满足下列条件满足下列条件:),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim)2(aynn ,limaznn nx.limaxnn )( ,nazn, 01 N, 02 N使得使得一、极限存在准则一、极限存在准则如果数列如果数列那末数列那末数列的极限存在的极限存在,且且,nnnzyx及及3 3,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, a

2、zan上两式同时成立上两式同时成立,nnnzxy ,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限的极限., a annnzxy )1(4 4称为称为准绳准绳 假设假设)()()(xhxfxg ,)(lim)2(0Axgxx ,)(lim0Axhxx 那末那末)(lim0 xfxx存在存在,且等于且等于A.夹逼准则夹逼准则. .o0(1)(, )xU x当),|(Mx 或或有有)( x)( x)( x准绳准绳准绳准绳和和00,;,xxxxxx ：定理中把自变量变化的过程改为注。定理仍成立5 5例例1 1).12111(lim

3、222nnnnn 求求解解nnn 22111nnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn,12 nn nnn26 6 注注利用夹逼准则是求极限的一个重要手段利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x)和和h(x)即可即可.7 7x1x2x3x1 nxnx2. 单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nn

4、xxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 几何解释几何解释:AM单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.:nx对对数数列列单调有界单调有界有极限有极限有界有界8 8例例2 2的的重重根根式式证证明明数数列列)(333nxn 证证,1nnxx nx31 x, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 nxnnx lim极限存在极限存在.并求出极限。并求出极限。显然显然(1)是单调增加的是单调增加的;(2), 3 是有界的是有界的;存在存在.9 9,31nnxx ,321nnxx 21limnnx,32AA ,2131 A(舍去舍去).2131li

5、m nnx(3)的的重重根根式式证证明明数数列列)(333nxn 极限存在极限存在.),3(limnnx Axnn lim设设2131 A解得解得1010(1)1sinlim0 xxx,O设单位圆设单位圆,sinBDx 于于是是有有,作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形的的高高为为OAB 作为准则作为准则 的应用的应用的的面面积积圆圆扇扇形形AOB)20(, xxAOB圆心角圆心角.ACO 得得,ABx弧弧 ,tanACx 的面积的面积AOC 的的面面积积AOB,BD二、两个重要极限二、两个重要极限xOABDC1111,tansinxxx , 1sincos xx

6、x即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又1sinlim0 xxxxxxtan2121sin21 即即夹逼定理夹逼定理该极限的特点该极限的特点:;00)1(型型未未定定式式(2)sin.xx与与分分数数线线另另一一侧侧的的变变量量形形式式一一致致0lim1sinxxx，或12121sinlim xxx.)00(型未定式型未定式非非 一般有( )x( ) x( )0 x0 正确 xxxsinlim sinlim11313注注: : 这是因为这是因为 在极限)()(sinlimxx中 只要(x)是无穷小 就有 1)()(sinlimxx )()(

7、sinlimxx1sinlim0uuu v 第一个重要极限第一个重要极限1sinlim0 xxx 于是于是( ),0uxu令则141420cos1limxxx1sinlim0 xxx 1)()(sinlimxx(x)0) 例例3 3 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxx

8、cos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解解 例例4 4 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx 15153 30sinlim3xxx解：3330sinlim31 xxx31 2(1)lim sinnnnnnn22sin2lim 2 例例5例例63 30sinlim3xxx求221sin 3(1)(2)lim(1)xxx求221

9、sin 3(1)lim(1)xxx解：21sin3(1)9lim3(1)xxx21sin3(1)9lim3(1)xxx29 1916 xxxxxxcos1cos1sinlim20111122 (3) 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原原式式1717 2cos1lim)1(xxx 求求解解, xt 令令,时时则则 x, 0t故故 2cos1limxxx 20cos1limttt 201 coslimttt21112220cos1limxxx 21 222002sinsin122=limlim22tttttt1818解解 由于由于 以及以及,

10、limaan 夹逼定理夹逼定理.limaxnn a13lim1 aannn3 an 3limann.lim, 0)2(nnnnnnxcbaxcba 求求设设nx1919(2)exxx )11(lim,)11(nnnx 设设作为准则作为准则 的应用的应用可证明数列可证明数列xn单调增加单调增加且有界且有界.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)045459828281718. 2( e无理数无理数2020M 准则准则IIII的几何解释的几何解释x1x5x4x3x2xnA 以单调增加数列为例，数列的点只可能向右一个方向以单调增加数列为例，数列的点只可能向右一个方向移动，或者无限向

11、右移动，或者无限趋近于某一定点移动，或者无限向右移动，或者无限趋近于某一定点A，而，而对有界数列只可能后者情况发生。对有界数列只可能后者情况发生。 212112510501001000022.252.48832.59372.69152.71692.7181n11nn1lim 1nnen从表格可看出，数列单调递增，且从表格可看出，数列单调递增，且 3nx 22ennn )11(lim1(1)nnxn证：设 21! 2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1()1( ).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 23类似地类似地,1111 1(1)2!11121(1)(1

12、)(1)!111112(1)(1)(1).(1)!111nxnnnnnnnnnnn ,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e2424v 第二个重要极限第二个重要极限准则准则II及第二个重要极限及第二个重要极限v 准则准则II II v 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 我们还可以证明我们还可以证明这就是第二个重要极限这就是第二个重要极限根据准则根据准则II 数列数列xn必有极限必有极限, 此极限用此极限用e来表

13、示来表示, 即即ennn)11 (lim 已证明已证明 (2)xn 3 (1)xnxn+1 nN 设nnnx)11 ( exxx )11(lim2525exxx)1 (lim1阐明阐明: : 此极限也可写为此极限也可写为ezzz1)1 (lim01,zx若令,0 xz 则当时，1lim,xxex同理可得： （1- ）10lim(1)xxxe2626 “以以1加非零无穷小为底加非零无穷小为底,指数是无穷小的指数是无穷小的倒数倒数,其极限为数其极限为数e”.exxx )11(lim该极限的特点该极限的特点:;1)1(型型未未定定式式 exxx 10)1(lim(2) 括号中括号中1后的变量后的变量

14、(包括符号包括符号)与幂互为倒数与幂互为倒数. 注注若极限呈若极限呈,1 型型 但第二个特点不具备但第二个特点不具备,通常凑指数幂使通常凑指数幂使(2) 成立成立.这个重要极限应灵活的记为这个重要极限应灵活的记为:那么那么一般有一般有exxx )()(1)()1(lim 1( )( )0lim 1( )xxxe或2727v 第二个重要极限第二个重要极限准则准则II及第二个重要极限及第二个重要极限v 准则准则II II v 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 exxx)11 (lim 注注: : 在极限)(1)(1limxx中 只要(x)是无穷小 就有 exx)(1)(1lim 2828

15、解解 exxx)11 (lim exx)(1)(1lim(x)0) 例例 7 例例 3 求xxx)11 (lim 令令t=-x 则则x 时时 t 于是于是 xxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1lim 或 ) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx11)11 (limexxx) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx 11)11 (l

16、imexxx 2929nnn211lim 2 e例例82 n nn11lim例例9 xxxx 21lim xlim2 eexx 11xx 213e )1( )1( 1lim 1xxx( 2)22lim 1xxx30302211 lim21nnnnn（ ） 12221lim2nnnn例例10nnn22122 12)22(2 nnnn)1( 2( 22)212limnn nnnee 202 lim 1 sinxxx（ ）0sin2lim2xxxee xxxsin10sin1limxxsin2)1( 31311. 选择题选择题).(sin1sinlim)1(20的值为的值为xxxx. 0)(;)(;

17、)(; 1)(DCBA不存在不存在 D).(1sinlim)2( xxx. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 C3232).(11lim)3(2 xxx.21)(; 0)(;)(;)(2DCBeA Axxxx2)23(lim. 2 求求解解222)211(lim xxxxx原式原式222limeexxxxxxx22131lim 或或xxxxx222131lim 33332. 两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .三、小结三、小结1. 极限存在准则极限存在准则( )x( )x( )0 xe 1 lim( )x( )0 x1( )x sinlim13434作业作业习题习题1-6 (551-6 (55页页) ) 1. 2. 4.(2) (3) (4)35352.2.exxx)1(lim1证证: :