第九章 传输线理论

1、第九章 传输线理论王 栋 刘 兴制作 第九章 传输线理论9-1 传输线方程及其解 9-2 传输线的特性参量 9-3 传输线的工作状态 9-1 传输线方程及其解 从分析方法来看，上节主要采用的是“场”的方法，即以 、 为研究对象，解满足边界条件下的波动方程，得到电磁场的解，进而研究导波装置的横向分布及纵向传播特性。而本节主要采用路的方法，即在一定的条件下，以u、i为讨论对象，用电路理论研究纵向传播特性，故传输线（又称长线）理论就是研究TEM波传输线的分布参数的电路理论。因此下面首先讨论电路理论中分布参数和集总参数的区别。ZEZH长线及长线及TEMTEM波的分布参数模型波的分布参数模型1 ，集中参

2、数电路+-u(t)i(t) l传输线上每点的u,i只是t的函数u,i不随z变化，处处相同且可用R、L、C、G集中参数元件表示Z2，分布参数电路i(z,t)+_u(z,t)dzi(z+dz,t)u(z+dz,t)+_ll(和 与 相比拟)称为长线长线上每点u,i是t的函数.也是z的函数,u(z,t), i(z,t) u, i处处不同.沿线上的R、L、C、G不集中与某元件之内,而是 分布在长线上每一点. 如果是均匀分布 均匀传输线 不均匀分布 非均匀传输线传输线上通过高频信号时,出现以下分布参数效应:a.电流通过导线使导线发热,表明导线本身有分布电阻. 单位长度分布电阻b.双导线之间绝缘不完善而出

3、现漏电流,表明导线间处处有漏电导.1R1G1C单位长度分布电导c.导线之间有电压,导线间便有电场,表明导线间有分布电容.1L单位长度分布电容d.导线中通过电流时周围出现磁场,表明导线上有分布电感.单位分布电感oxyz3.TEM波传输线用分布参数理论研究在xoy平面（即横向场） 分布与静态场一样，即 由“+”“-”电荷引起， 由电流引起.只需研究z向（纵向）的u和i传输线（长线）. 性质 EHE,Hu(z,t)i(z,t)对于连接源和负载的TEM波传输线，可用图1-3(a)所示电路表示。zo 图图9-49-4长线的电路表示长线的电路表示 有了分布参数概念后，长线可划分为许多无限小的线段dz(dz

4、 ),则每一个小线元可看成集总参数电路，其上有电阻 dz,电感 dz,电容 dz和漏电导 dz,于是得到其等效电路如图1-3(b)所示： 1R1C1L1G1R1L1C1Gdzdzdzdzzdz图图9-5 9-5 线元线元dzdz的等效电路的等效电路实际传输线则表示成各线元等效网络的级联 ，如下图图图9-6 有耗线的等效电路有耗线的等效电路图图9-7 无耗线的等效电路无耗线的等效电路1.推导 当把传输线用图9-6所示电路等效后，则依KCL、KVL定律，线元dz段上的电压、电流的变化为：（见图9-8所示）1L1R1C1Gdzdzdzdz+-dz图9-8 线元dz的等效电路长线方程长线方程 上两式左

5、边可写成：dzttzuCdztzuGtdzzitziKCLdzttziLdztziRtdzzutzuKVL),(),(),(),(:),(),(),(),(:1111dztuCuGdzztzidztiLiRdzztzu),(),(1111即为ttzuCGztzittziLiRztzu),(),(),(),(1111（9-1）（9-2）（9-1）（9-2）为均匀传输线一般方程，又称电报方程。若信号源为角频率 的正弦波，则（9-1）（9-2）式可表示为复数形式，（向量）上面加点111111( )() ( )( )( )()( )( )dU zRj L I zZ I zdzd I zGj C U z

6、Y U zdz（9-4）（9-5）这称为时谐传输线方程。 2.求解传输线方程：)()()()(11zUYdzzdIzIZdzzdU对它们求导得：dzdIZdzUd122代（9-5）)()(211122zUzUYZdzUd同理：)(222zIdzId即)()()()(222222zIdzzIdzUdzzUd（9-7）（9-6）长线电压和电流波动方程式中jYZCjGLjRYZ111111112)(相位系数衰减系数传播系数设波动方程的通解为：zzeAeAzU21)(（9-9）由（9-4）式：)(1)()()()(11)()(21021112111121121111zzzzzzzzzzeAeAZeAe

7、AZYeAeAZYZeAeAZeAeAZdzdUZzIzIZdzdU即)(1)()(21021zzzeAeAZzIeAeAzU（9-10）（9-11）其中 rZCjGLjRYZZ11111110叫特性阻抗上式中积分常数 、 由传输线边界条件确定。下面讨论两种边界条件的解及意义。1A2A1.已知终端电压、电流如图9-9所示 lZ 图9-9 由端电压确定积分常数设传输的终端电压 为已知，将其代入式（9-10）、（9-11）得：22)()(Il，IUlU)(12102212lllleAeAZIeAeAUgE22)()(Il，IUlU2ULZZlZ+_2I传输线方程的解及其意义传输线方程的解及其意义联

8、立解上式得：rlrleZIUAeZIUA2202220221代入（8-106）（8-107）式得：)(0022)(0022)(022)(02222)(22)(zlzlzlzleZZIUeZZIUzIeZIUeZIUzU（9-13）（9-14）为计算方便，选取由终端为起始点的坐标，即（9-9）图中的 ，则以上式变成：z rz rz rz reZZIUeZZIUzIeZIUeZIUzU0022002202202222)(22)(（9-15）（9-16）ZlZ表示为双曲线函数形式则为：)() () ()() () (200222zchIzshZUzIzshZIzchUzU（9-17）（9-18）2.

9、已知始端电压、电流 设 为已知，代（9-10）（9-11）式11)0()0(I，IUU0211211)(ZAAIAAU联立解，得2201120111ZIUAZIUA代回（9-19）（9-20）式zzzzeZZIUeZZIUzIeZIUeZIUzU0011001101101122)(22)(（9-19）（9-20）表示成双曲线函数形式则为：)()()()()()(101011zchIzshZUzIzshZIzchUzU（9-21）（9-22）3.解的意义 为便于讨论，将（9-21）（9-22）的 表达式改写如下：)()(z、IzUrzrzrzrzeZIUeZIUeAeAzU22)(0010012

10、1同理IIzIUUzU)()(其中：rzrzeZIUeAU)(210111（其中“+”入射波 ，“-”反射波）zjzzjzeeAeAUeeAeAU212211（9-24）（9-25）同理00ZUIZUI11()()12jzjzzzjUUUA eeA e e 代入（9-26）把 化为时间函数形式有：U)cos(2)cos(22211zteAzteAuzz（9-27）uuu（9-28） U是 的叠加，先研究 它既是t,又是z的函数。见波形图1-6， 项为离开源向负载方向传播的电压、电流波.叫入射波（+）zjeuu与u通常称这种波为电压入射波、直波或正向行波。同理： 电压反射波、回波或反向行波另外：

11、u00202101)cos(2)cos(2ZZzteZAzteZAiiidzdz其中：图9-20 入射波沿线的传播pv)cos(2),(11zteAtzuzOZ),(1tzu),(2tzu)(21tt9-2 传输线的特性参量特性参量特性参量包括：特性阻抗传播系数输入阻抗反射系数相速度与相波长0Z) (zZinpvpIUZCjGLjRYZUUZ01111110或（一）特性阻抗0Z 可见只取决于传输线的分布参数和频率，而与传输线的长度无关。 对于无损耗线， 则110CLZ 0011GR，（9-29）111111 R0G0 0 L CjZ Y 已知道对于无损耗：，（二）传播系数（9-30）()12(

12、)12000( )2( )22202201() U I ()()() I()()()zzZzzZllUA eA eUUUUIA eA eIIZZZUIU zU chzI Z shzUzshzI chzZ当已知终端条件有解：（三）输入阻抗 由（9-23）式,（9-18）（9-17） 传输线上任一点的电压和电流的比值定义为该点朝负载端看去的输入阻抗。()22()2()2000022000ch()sh()sh()ch()tan() tan() ,931 tan() tan()zin zzLLLLinLUUzIzZUIzIzZZZzZZZzUZIjZjZzZZZjZz 式中：终端负载阻抗对于无损耗线则

13、（）式变成：（9-31）（9-32）（四）反射系数定义 传输线上某点的反射波电压与入射波电压之比定义为该点处的反射系数，即：()()()()()()()()000()()()0()()1III1ZZZ1331 Z I1zzzzzzzzzzin zzzUUUUUUUUUUUUZ而故由（）式得：（9-34）（9-33）另外表达式zLLLzzzzzzzzeZZZZzZIUeZIUZIUeUUeUeUUUzeUeZIUUeUeZIUU20022202202222220222022)(339)(2 261951922）式：代入（将）（由（终端反射系数表示)2()()2(222)(00 00zjLZzjz

14、LzjLz rLZjLLLLLLLLLejeeeeeeZZZZZ则有：，对无损耗线表示。用（终端反射系数），则上式中令00100tanZZZZZZZZLLLLLL相角：大小：（9-36）（9-37）（9-38）分析 当 即不存在反射波，这时称终端阻抗和传输线阻抗匹配，这是通信设备中所希望的。000,0LLLLZZZZZZ则LL 1 0 1 LLZZ （终端开路）全反射（终端短路）全反射pvp 相速 与相波长12tt 1P2P1Z2Z3Z2t1tzuo 无损耗， 无损耗即无衰减波。 时刻，当 时，对应的 点，相位 。 时刻，当 时，对应的 点，相位 。 相位定义为沿个方向传播的入射波等相位点移动

15、的速度。01zz1212ttzzvp2z z)(1zt)(2zt2t1t1P2P 相速 与相波长ppv由 点和 点相位相同。1111121211221 CLvCLttzzvztztpp即：2P1P（9-39）（9-40）对 双导线 的 、 代入可得： 同轴线1C1LrpCv光1（1-44） （架空线）空气介质中:u,i传播速度同自由空间电磁波光速。 相速 与相波长pvp111 0G0R 54 tCCvpp光光，有损线中：，光缆中： 相波长定义为同一瞬时 相位相差2的两点间的距离，用 表示。1tpfCfvvfztztr光其中代入：将00pppp13p311122 2z-z 2)()( （9-41

16、）（9-42）自由空间的工作波长Tfvfvppppp （9-43） 总总 结结特性参量（无衰、无损线）101111110111212ppppprpprLZCv CL CvCvTL CvfjjL C 光9-3 传输线的工作状态传输线的工作状态取决于传输线终端所接的负载本节就以终端负载状况为出发点，对传输线的三种工作状态：行波状态，驻波状态和行驻波状态进行分析。 行波状态行波状态 行波状态即传输线上无反射波出现，只有入射波的工作状态。 从式 可知： 当 时，等式的第二项（反射波）就为零。线上只有入射波。 1.条件： ，则有 2222zzzzUUUUeUeIIIIeIe0ZZL0ZZL220()22

17、20()2022zzZzzZUI ZUUeeUI ZIIeeZ22Z22Z220 UUU IIIjjzjzjjzjzjeeeeee （）（）对于无耗线：，则：22U00RZZLL2 式中 是 的初相角，当 纯电阻时， 。 2.上式的瞬时表达式为：)cos(2)cos(222)(22)(ztIiztUutztz，3.图形0ZZL4.负载吸收功率e()()2e202201R 21R 212LZZj zj ziPUIUUeeZUPZ1t2t3t4tpv)()(tztziu，zo行波状态下沿线的电压、电流分布图行波状态下沿线的电压、电流分布图maxmaxminmin1I1111LLLLUISUKS5.

18、结论（特点）对无损线 沿线电压、电流振幅不变。 电压、电流同相。 沿线各点的输入阻抗 均等于特性阻抗。 由源馈送到长线的能量全部被负载吸收，也即匹配状态。6.驻波系数与行波系数 驻波系数又叫驻波比，用S表示。 行波系数用K表示。0)(ZZzin00LL Z0 Z LLLjjLLLZZeeZZ 可知当短路开路 或 时，都有 （全反射），即入射波在终端都将全反射。入射波与反射波跌价形成驻波，传输线工作在全驻波状态。 下面分别讨论无损线三种负载下 情况。 1.当 终端短路时： 有： LZjX 1LLZj 0LZ22220220(Z )220220(z )1,0 9 159 16 U22 I22LLz

19、zzzUZ IUI ZUI ZeeUI ZUI Zee 由式（）（）得：行波状态行波状态()22020202()2221()sin()21()cos()2zzZj zj zj zj zZUUeUeZ I eZ I ejZ IzII eI eIz同理：（9-49）（9-48）00022LZIU图9-22(a) 设终端电流 则将上两式化成时间函数后，有： 瞬时式)sin()cos(2)cos()sin(2220tzIitzIZu)sin(222tIi（9-50）（9-51）波形波形o)43(Tti)4(Tti)2(Tti)2(Ttu)(tuiu ，图图9-22 短路无损耗的电压和电流分布曲线短路无

20、损耗的电压和电流分布曲线波形分析 电压、电流i均为不衰减的且振幅相同的入射波和反射波的叠加而成。它们是驻波。（波腹、波节位置固定不变的波） 波腹总出现分布曲线最大值，波节处则恒为零。 在 处，出现电压波腹、电流的波节 在 处，出现电压波节、电流的波腹 图中对应于波形的时间自变量t为： t=kT ,k=0,1,2,3 在 瞬间，沿线各处电流都变为零（如横轴） 在 瞬间，电压处处为零。输入阻抗. 由（9-48）（9-49）式得：0, , 2z 35,444z 4) 14(4TkTt2) 12(2TkTt ZZzinIUZ()0()00 tan()2 Z ,22tan()tan()in zinPin

21、 zinPPZjZzjXlZjZzjZljX 对终端（9-52） 可见 也是一个纯电抗，其大小和性质与线长无关。 下面画出其 的波形图 波形分析： 当 为感抗 当 为容抗 在 时， 相当于串联谐振。 在 时， 相当于并联谐振。inZinZ40 l24 l,43,4l,2linZ0inZinZinXinX4432inXinXo图图9-23 短路无损耗线的输入阻抗短路无损耗线的输入阻抗负载负载电源电源2.当 ，终端开路时： 有 由式（9-15）（9-16）得：LZ)sin()(21)cos()(2102220)(222)(zZUjeUeUZIzUeUeUUzjzjZzjzjZ21,0.LI（9-5

22、5）（9-54）设终端电压 ，化成时间函数为：tzZUitzUucos)sin(2sin)cos(2022)sin(222tUu（9-56）瞬时式波形（9-57）z)4(Tti)4(Ttu)43(Ttu)2(Tti)(tiiu，o图图9-24 空载无损耗电压、电流分布曲线空载无损耗电压、电流分布曲线波形的分析 u,i为不衰减、振幅相同的入射波和反射叠加。 在 处，因为 ，电压波腹，电流波节。 在 处， ，电压波节，电流波腹处。 t=kT,k=0,1,2, 在 瞬间，沿线各处电流都变成零。 在 瞬间，沿线各处电压都变成零。输入阻抗 35,444z 0, , 2z2) 12(2TkTt4) 14(

23、4TkTt1)sin(, 0)cos(zz0)sin(, 1)cos(zz)cot(0)()()(zjZIUZzzzin（9-58）在始端的输入阻抗 PlZ2,( )002cot()cot()in linPZjZljZljX （9-59）可见 是一个纯阻抗，下面画出 的波形图。()ininZX)(lZin负载负载电源电源图图9-25 空载无损耗线的输入阻抗空载无损耗线的输入阻抗o4324inxz 波形分析：inZ 当 为容抗 当 为感抗 在 处， ，相当于串联谐振。 在 处， ，相当于并联谐振。3.用途 上述无损耗线在终端开路或短路时，其输入阻抗具有一些特点在高频技术中获得一定应用：40 l2

24、4 l,2, 0l0inZ45,43,4linZinXinX 长度小于 的开路无损耗线用来代替电容。 长度小于 的短路无损耗线用来代替电感。（高频中，常用的电感线圈或电容器已不可能作为电感、电容元件了） 长度为 的无损耗线可以作为接在传输线上和负载之间的匹配元件，作用如同一个阻抗变换器。 其工作原理如下：444图图9-29 无损耗线作为阻抗变换器无损耗线作为阻抗变换器40ZinZ1cZLZ 设无损耗的特性阻抗为 ，负载阻抗为 ，且设 为纯阻抗（ ），现要求设法使 与 匹配。 为此，在传输线的终端与负载 之间扦入一段 的无损线，上图所示。可以求得这段长度为 的无损线的输入阻抗 为： 式中 为无损

25、线的特性阻抗。inZ1ZcLZLLRZ 44LZ1ZcLZLZ000)42tan()42tan(ZjZjZZZZPLPLinLZLCLZZZZZ201in20inZ Z)2tan(要匹配，必须使上式中LCZZZ104求得此 无损线的特性阻抗超高频技术中，用固体介质做成支持传输线的绝缘子，因为其介质损耗往往会很太大，以致失去绝缘作用。 因而有时采用所谓“金属绝缘子”，也就是一段长度为 的短接传输线作为支架。因为 ，因此其损耗小于介质绝缘子中的损耗。4.终端接负载 为纯电抗时. 终端仍产生全反射，沿线形成驻波，终端上不为波节，（9-63）4inZ22222222222202020020200202

26、20022222020222()()11,0LLjLLLLLLZZjXZXZZ XjajbeZZjXZZXZXXZZ XabZXZX或（否则不为纯电抗）2LZjX 2X0l20,1,0LLX则00221002 ( )tan()tan ()2inPPZzjZljXXlZ 也不是波腹，但可用长度为 的短路线或开路线代替电抗 。（1） 为感性 由（9-53）式： 即用一段长度为 的短路线代替端接的纯电感负载，见下图.LZ)4(0Pl图图9-26 终端接纯电感性负载时，终端接纯电感性负载时，u,i及及阻抗分布阻抗分布inZziu,o2X2jX0llo短接线短接线电流电流i波腹波腹电压电压u波节波节in

27、Z 这样由电路线u,i和 分布截去 长就可得到端接纯电感负载时沿线的u,i及 分布，如上图9-26。此时，在终端既不是波腹点，也不是波节点。但离开终端的第一个出现的必是u的波腹，i的波节。（2） 为容性 由于一段长度 的开路线的 为一纯电容 由（9-59）式 即用一段长度 的开路线代替端接的纯电容性负载。 同样，此时在终端仍取不到波腹或波节，但离开终端第一个出现的必是电压波节，电流波腹。inZinZ0lLZ40Pl)4(0Pl2L0 12LX则，inZ)(tan2)2cot()( 2010200XZljXljZzZPPin（3）总结： 以上各种状态可用反射系数单位圆表示。见图1-16 1 1L故为的圆图图9-28 不同负载所对应反射系数在反射系数单位圆上的位置不同负载所对应反射系数在反射系数单位圆上的位置当 坐标原点匹配负载当 短路负载点当 开路负载点当 纯感性负载 ，位于反射圆的上半圆周上。当 纯容性负载 ，位于反射圆的下半圆周上。0,0 0LLLZZajba=0b=00,1LLZajb a=-1b=0,1 LLZajb a=1b=01,2LLLjLLe即L22(0)ZjXX2LZjX 1,0LLLjLLajbe而即 变换性 传输线上每隔 阻抗性质变换一次。并且： 利用该特性可进行阻抗转换。所以传输线具有阻抗转换的作用。传输线上有 的重复性 即相距 的两点的传输阻抗相等