控制系统的李雅普诺夫稳定性分析练习题及答案

1、第5章 “控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案5.1 判断下列函数的正定性 1) 2) 3) 解 1) , 因为顺序主子式 所以，为正定函数。 2) , 因为主子式 所以不定，为不定函数。3) , 因为顺序主子式 所以为不定矩阵，为不定函数。 5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。 解 解方程组 只有一个实孤立平衡点（0，0）。在（0，0）处将系统近似线性化，得，由于原系统为定常系统，且矩阵的特征根均具有负实部，于是根定理5.3可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。 5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。 解 由于题中未限定利用哪一种

2、方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普诺夫第一方法比较合适。经计算知矩阵的特征根为。由于第一方法关于线性系统稳定性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。 5.4 设线性离散时间系统为试求在平衡状态系统渐近稳定的值范围。 解 方法1 令建立离散系统李雅普诺夫方程，得 比较系数，解此矩阵方程得 若要，应有； 解上述不等式组，知时，原系统在原点是大范围渐近稳定。方法2 由 知系统特征根分别为；，因此只有时，原系统在原点是大范围渐近稳定。5.5 试用李雅普诺夫方法求系统在平衡状态为大范围渐近稳定的条件。 解 由于对于线性系统，李雅普诺夫第一方法中结论是全局性的，是充分必要的。这里利

3、用第一方法求解比较简单。首先求出系统矩阵的特征方程由一元二次方程根与系数的关系可知两个特征值同时具有负实部的充要条件为，。5.6下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式式中，、分别是生物个体数，、是不为零的实数。关于这个系统，(1) 试求平衡点；(2) 在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。 解(1) 由，得同时满足这二式的、有两组：、和、。即，系统的平衡点为：平衡点(a) 、平衡点(b) 、(2) 分两种情况讨论平衡点的稳定性。 在平衡点(a)线性化的微分方程为其特征方程式是、时，平衡点(a)稳定，除此以外不稳定。 在平衡点(b)，令，得因此，在

4、平衡点(b)线性化的微分方程式是其特征方程式为时，特征根是，为正、负实数，平衡点(b)不稳定。时，特征根是，为共轭纯虚数，平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。5.7 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：解 令矩阵则由得解上述矩阵方程，有即得因为可知是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为又因为，所以系统在原点处大范围渐近稳定。 5.8 给定连续时间的定常系统试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。解 易知为其唯一的平衡状态。现取，则有： 容易看出，除了两种情况：（a）任意，（b）任意，时以外，均有。所以，

5、为负半定。（iii）检查是否恒等于零。 考察情况（a）：状态轨线 ，则由于，可导出，将此代入系统的方程可得：这表明，除了点（）外，不是系统的受扰运动解。考察情况（b）： ，则由可导出，将此代入系统的方程可得：显然这是一个矛盾的结果，表明也不是系统的受扰运动解。综上分析可知， 。（iv）当时，显然有。于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。 5.9 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。 解 显然是系统的一个平衡点。由和知。根据克拉索夫斯基可知系统在原点渐近稳定。又因为所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的，同时可说明原系统只有惟一一个平衡点。 5.10 试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统的原点为大范围渐近稳定的参数和的取值范围。 解 构造雅克比矩阵 ，令 若要求系统在原点渐近稳定，则