复习函数及图像

1、复习：函数及图像考点分析整体把握：函数及图像历来是中考数学的重点和热点，考查这部分的分值，平均占到20%30%，以填空题、选择题、解答题等形式出现，难度由基础到中等。既有对函数基本知识的考查，也有函数的综合题目，如几种函数的交叉、函数与几何图形的综合、函数与方程的综合等。跨越了代数、几何、三角等多个知识点，囊括了整个初中数学知识和重要的思想方法。而且题目涉及存在性、分类讨论等问题。特别是近几年涌现出大量设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放探索题以及函数应用题。这就要求学生要注重生活实际，善与思考和分析，活用数学知识，学会把实际问题转化为数学问题，建立适当的数学模型，注重数学思想方

2、法来解决实际问题课标要求：1探索具体问题中的数量关系和变化规律2. 图形与坐标（1）认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。（2）能在方格纸上建立直角坐标系，描述物体的位置。（3）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。3函数（1）通过简单实例，了解常量、变量的意义。（2）能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。（4）能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会球出函数值。（5）能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。（

3、6）结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。4一次函数（1）结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。（2）会画一次函数的图像，根据一次函数的图像和解析表达式y=kx+b（k0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图像的变化情况）。（3）理解正比例函数。（4）能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解。（5）能用一次函数解决实际问题。5反比例函数（1）结合具体情景体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数表达式。（2）会画反比例函数的图像，根据图像和解析表达式y=（k0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图像的变化）。（3

4、）能用反比例函数解决实际问题。5二次函数（1）通过对实际问题情景的分析确定二次函数表达式，并体会二次函数的意义。（2）会用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质。（3）会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。（4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。课程标准和原教学大纲之间的区别：知识板块删去的内容函数删去了“对解析式含二次根式的函数，会求自变量取值范围”的内容。复习指导：1平面的点与有序实数对一一对应，点的特点要弄清楚；对称点的规律：关于谁轴对称谁要变，关于原点对称都要变。2求自变量的取值范围应注意以下几点：（1）解

5、析式中的分母不能为0；（2）实际问题中的自变量，必须使实际问题有意义。3确定一次函数、反比例函数表达式的问题，应注意以下几点：确定正比例函数、反比例函数表达式需要一个条件；确定一次函数表达式需要两个条件，一般利用二元一次方程组确定。4一次函数y=kx+b的k决定方向，b决定与y轴的交点的位置；判断增减或所过的象限可用一句话总结：k>0过一三,k<0过二四,增减看直线右方的箭头。5 函数的表示方法有三种表达式、列表、图像。三种方法各有优劣：表达式比较简明，而且可以根据它列表、画图像，进而研究函数的性质，但有些函数难以用表达式表示；列表可以把自变量和函数的数量关系明显地表示出来，但列表

6、难以反映函数关系的全貌；图像可以直接、形象地把函数关系表示出来，但是由图像只能观察出近似的数量关系，复习时要掌握函数的三种表达方法并灵活运用。6二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要数学模型，在复习中，要善于抓住事物的本质，确定二次函数的表达式。在解题时应注意牢固掌握二次函数的图象及性质，学会利用图像的性质解决相关问题，加强自己灵活运用二次函数图像解决问题的能力以及分析问题、探究问题的能力。7函数型应用题的解法可以按照应用题的分析思路：先找等量关系，再表示成函数关系，最后按照题目要求去做即可。8基本数学思想方法、规律： 函数思想，通过学习函数使我们逐步用函数的观点、方法去思考问题，将已知条件

7、或所给数量关系进行转化，借助函数的图象或性质去解决问题 数形结合思想，数形结合贯穿于本章的每一节，使几何图形和代数知识有机结合起来。使抽象的问题更形象、直观，化数为形由形想数，更易解决问题 转化思想，平面直角坐标系中求点的横、纵坐标时，可转化为求线段的长度求线段的长度时也可转化为求点的坐标来解决. 待定系数法，运用待定系数法可转化为方程(方程组)来确定正比例函数、一次函数、反比例函数的解析式典型例题例1已知点的坐标满足方程，则点p在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：这道题首先考察了平面内点的坐标，在各象限内的横纵坐标的特点，其次是绝对值，算术平方根，互为相反数的性质与概念的

8、理解。由，可知：，所以点，在第二象限，应选（B）。点拨：平面直角坐标系中各象限内点的特征：即点在第一象限x>0,y>0; 点在第二象限x<0,y>0; 点在第三象限x<0,y<0; 点在第四象限x>0,y<0例2如图26-1的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内,白棋的坐标为(-7,-4), 白棋的坐标为(-6,-8),那么, 黑棋的坐标应该是 _ . 图26-1 解析：题目中告诉了两个白棋的坐标，我们就可以根据所给的两个点的坐标很容易确定原点的位置，然后就可以找到黑棋所在的为位置。解：将白棋的坐标（-7，-4）和白棋的坐标(-6,-8)标注在右面的

9、棋盘上，很容易找到原点的位置，也就很容易确定黑棋的坐标应该是（-3，-7）.点拨：除用上述方法外，还可以用比较法来确定.由白棋和白棋可以知道，坐标系符合我们常规建立的坐标系，也就是说向右一个格坐标增加1个单位，向上也是这样。所以黑棋在白棋右边3个格的地方，所以横坐标为-3；黑棋在白棋上边1个格的地方，所以黑棋的纵坐标为-7。例3已知一次函数满足下列条件，分别求出字母p、q的取值范围。（1）y随x值的增大而增大。（2）函数图像与y轴交点在x轴上方。（3）函数图像不经过第一象限解析：根据一次函数性质或图像在平面直角坐标系中的位置，决定中k、b的符号，借助不等式的知识，使问题得以解决。（1），当时，

10、y随x值的增大而增大。（2）函数图像与y轴交点在x轴上方。当，图像与y轴交点在x轴上方。（3）图像不经过第一象限当，图像不经过第一象限。点拨：本题主要考查学生对一次函数的图像与性质的掌握情况，同学们一定要结合图像理解一次函数的性质，以不变应万变。例4某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t(分)之间的函数图像如图3所示. 图3OQ1Q2Q(吨)t(分钟)10304069结合图像回答下列问题：（1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机

11、需多少分钟？（2）求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；（3）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？说明理由.解析：（1）由图像知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，全部加给运输飞机需10分钟.（2）设Q1，把（0，40）和（10，69）代入得： ，解这个方程组得Q1（010）.（3）根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨.10小时耗油量为：10×60×0.160（吨）69（吨）.油料够用.点拨：根据图像解决实际问题的关键是理解图像表示的实际意义，能够读懂图像并且能准确获取解决问题需要的数字信息.平时学

12、习时要注意提高观察能力和分析解决问题的能力例5某电脑公司新春期间搞活动，规定每台电脑0.7万元，交首付后剩余的钱数y与时间t的关系如图所示： 9006003000t/月51015(10,600)y （1）根据图象写出y与t的函数关系式; （2）求出首付的钱数;（3）如果要求每月支付的钱数不少于400元，那么还至少几个月才能将所有的钱全部还清？解析：（1）设解析式为，由图像可知：（10，600）在图像上，代入可得：；（2）首付款为（元）；（3）由，解得：t15.所以至少15个月才能间所有的前全部还清.点拨：求反比例函数解析式时常常用待定系数法.例6某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度。本年

13、计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿度）与（元）成反比例，又当0.65时，0.8。（1）求与之间的函数关系式； （2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量×（实际电价成本价）解析：（1）与反正比例把0.65，0.8代入上式得：0.2与之间的函数关系式为：（2）由题意得： 化简得： 即 0.5，0.6 0.550. 75 0.5不符题意，应舍去。 故0.6答：电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。点拨：近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的

14、经济型考试题，审题考查学生的阅读能力和理解能力。例7如图12，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SPAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 图12解: xyD(1)抛物线y=x2+bx+c与轴的两个交点分别为A(-1,0)，B(3,0) 解之，得 所求抛物线的解析式为：y=x2-2x-3 (2)设点P的坐标为(x,y)，由题意，得SABC=&

15、#215;4×|y|=8 |y|=4， y=±4 当y=4时， x2-2x-3=4 x1=1+, x2=1-当y=-4时，x2-2x-3=-4 x=1 当P点的坐标分别为、(1,-4)时，SPAB=8. (3) 解法1：在抛物线y=x2-2x-3的对称轴上存在点Q, 使得QAC的周长最小. AC长为定值，要使QAC的周长最小，只需QA+QC最小.点A关于对称轴x=1的对称点是B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,-3)由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点 设直线BC的解析式为y=kx-3.直线BC过点B(3,0) 3k-3=0 k=1.

16、直线BC的解析式为 y=x-3 当x=1时，y=-2.点Q的坐标为(1,-2). (3) 解法2：在抛物线y=x2-2x-3的对称轴上存在点Q ，使得QAC的周长最小. AC长为定值，要使QAC的周长最小，只需QA+QC最小点A关于对称轴x=1的对称点是B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,-3)由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点. OCDQ,BDQBOC.，即.DQ=2. 点Q的坐标为(1,-2). 习题精粹 参考答案一、填空题1如下图，直线y=-2x-2 与双曲线交于点A，与x轴，y轴分别交于点B,C 轴于点D，如果，那么k=_-4_。2汽车刹车距离

17、S(m)与速度V(kmh)之间的函数关系是，在一辆车速为100kmh的汽车前方80m处发现停放一辆故障车，此时刹车 会 有危险(填“会”或“不会”)3若双曲线经过点A(m，-2m)，则m的值为4下图图像反映的过程是：小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家其中t表示时间(分钟)，s表示小明离家的距离(千米)，那么小明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去的时间是 50 分钟。5抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是_（2，1）_。6函数中，自变量x的取值范围是 x6 。7若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y= (x-1)2+2 8若

18、反比例函数的图象过点（3，-4），则此函数的解析式为9已知反比例函数，当x>0时，y随x的值的增大而减小，则一次函数y=x-k的图像不经过第 二 象限。10已知抛物线的解析式为，则此抛物线的顶点坐标为_（0，-3）_。二、选择题1甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距A 地18千米的B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，根据图中提供的信息，符合图像描述的说法是（ C ）A甲在行驶过程中休息一会B乙在行驶过程中没有追上甲C乙比甲先到达B地D甲的行驶速度比乙的行驶速度大2某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示，那么这

19、6天的平均用水量是（ C ）A30吨B31吨C32吨D33吨3在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ D ）A直线上 B直线上C抛物线上 D双曲线上4如果反比例函数的图像经过点(-3，4)，那么k的值是 ( A )A-12 B12 C D5函数与函数y=x的图像在同一平面直角坐标系内的交点个数是( B )A1个 B2个 C3个 D0个6图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ B ）Ah=mBk=n Ck>nDh>0，k>0 7函数中自变量x的取值范围是 ( A )Ax2 2 Bx>2 Cx<2 Dx28已知二次函数的图

20、像如图所示，则下列结论： a、b同号； 当x=1和x=3时，函数值相等； 4a+b=0 当y=-2时，x的值只能取0其中正确的个数是（ B ）A1个B2个C3个D4个9一辆客车从泉州出发开往宁德，设客车出发t小时后与宁德的距离为s千米，下列图像能大致反映s与t之间的函数关系的是 ( A )10在平面直角坐标系中，点(4，-3)所在象限是 ( D )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限三、解答题1某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克（第二次多余第一次）共付出264元，请问

21、张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，有题意可得0<x<25 . 则当0< x20，y40时，由题意可得解得当0< x20，y>40时，由题意可得解得（不合题意，舍去）当20<x<25 时，则25<y<30. 此时张强用去的款项为5x+5y = 5（x + y）=550=250<264(不合题意，舍去)由可知张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克。2已知抛物线。(1)求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)若斑是整数，抛物线与x轴交于整数点，求m的值； (3)在(

22、2)的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与a轴的两个交点中右侧交点为B若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标。解：（1）证明：令y=0，则，因为，所以，此抛物线与x轴有两个不同的交点。（2）因为关于x方程的根为，由m为整数，当为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点。设（其中n为整数）所以n+(m-2)n-(m-2)=4.因为n+(m+2) 与n-(m-2)的奇偶性相同，所以或解得m=2，经检验，当m=2时，关于x的方程有整数根，所以m=2。（3）当m=2 时，此二次函数解析式为，则顶点A的坐标为（1，-1）抛物线与x轴的交点为O（0，0）、B（2，0）。设抛物线的对称轴与x轴交于M1 ，则M1（1，0）。在直角三角形AM1O中，由勾股定理，得，有抛物线的对称性可得。又即。所以为等腰三角形。则M1A=M1B