基于分数阶Fourier变换的图像分析

1、基于分数阶Fourier变换的图像分析穆晓敏 王娟锋 杨守义 齐林（郑州大学 信息工程学院 郑州450052）摘 要 作为Fourier变换的一种广义形式，分数阶Fourier变换（FRFT）同时融合了信号在时域和频域的信息，是一种新的时频分析方法。本文从仿真角度分析了图像在分数阶Fourier域的能量分布、幅度和相位特征，仿真结果表明，在任意分数阶Fourier域，都能同时反映图像的空频域特征，随阶数不同，图像的空频域特征分布将发生变化。由图像的分数阶Fourier变换的幅度和相位重建的图像信息与原始图像的关系也显现出一些重要结论，这些结论对于将分数阶Fourier变换应用于图像识别和边缘提

2、取是很有意义的。关键词 分数阶Fourier变换，时-频特性，图像分析中图分类号：TN919.8；TN919.73 文献标识码：A The image analysis based onFractional Fourier Transform MU Xiao-min WANG Juan-feng YANG Shou-yi QI Lin(Information Engineering School, Zhengzhou University, Zhengzhou 450052, China)Abstract As a generalization of Fourier transform, th

3、e Fractional Fourier Transform(FRFT) contains simultaneity the time- frequency information of the signal, and is considered a new tool for time-frequency analysis. By way of simulation , this paper analyses the energy distribution, the characteristic of the amplitude and phase in Fractional Fourier

4、domain of an image. Our simulation results show that the FRFT can represent the time- frequency characteristic of an image, and the distribution changes with the variety of the fractional powers. Moreover, we also find some conclusion from the reconstructed image using the amplitude and phase inform

5、ation of FRFT. All of the conclusions will help research how to use the FRFT in the area of image recognition and image edge extraction.key words the Fractional Fourier Transform, time- frequency characteristic, image analysis.1. 引言 数字图像处理技术作为蓬勃发展的一门新兴学科，在数字摄影测量、遥感图像处理、生物图像处理、地理信息系统中应用广泛，而数字图像的变换域处理

6、技术一直是图像处理领域研究的热点。传统的二维离散傅立叶变换（DFT）、二维离散余弦变换（DCT）、二维离散正弦变换（DST），其变换思想是在时空域和频率域切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。二维离散余弦变换（DCT）的高度能量积聚性为图像压缩与编码算法提供了理论依据，基于DCT变换的静止图像和运动图像压缩标准已成为图像传输和存储的主流技术。然而，众所周知，上述提到的变换是时间变量的全局变换，无法提取局部的频谱特性。尽管Cabor和短时傅里叶变换企图弥补上述变换的不足，但受其窗口大小不随频率而变的限制无法同时解决时间、频率分辨力问题。因此，_本论文受国家自然科学基金资助：No.604720

7、44 基于分数阶傅里叶变换的多分量图像数字水印研究 应运而生的小波变换继承和发展了Cabor和短时傅里叶变换的思想，同时克服了窗口大小不随频率而变、缺乏离散正交基等缺点，小波变换的时-频局部特性使得它非常适合于图像处理，近年来在图像压缩标准、图像分割、图像重建技术中得到了广泛的应用，成为近年来图像处理界研究的一个热点1234。 分数阶傅立叶变换（FRFT）是近年来发展起来的一种新的时频分析工具，它是Fourier变换的广义形式。从本质上讲，信号在分数阶Fourier域上的表示，同时融合了信号在时域和频域的信息。这种新的数学工具不仅与Fourier变换有着紧密联系，而且与其它时频分析工具也有非常

8、有意义的联系，已被广泛用于光学系统分析、滤波器设计、信号分析、解微分方程、相位恢复、模式识别等领域5。近年来分数阶傅立叶变换的应用研究大都集中在线性调频信号的估计、检测和滤波方面，对于其在图像处理方面的应用研究较少。在图像处理方面仅有的研究也仅限于图像的chirp类数字水印检测678。因此，探索和分析分数阶Fourier域的图像特征，并由此挖掘图像分数阶Fourier变换的应用价值是很有意义的，本文的研究目的正是如此。本文的安排如下，第2部分给出了分数阶Fourier变换的定义和其二维离散算法；第3部分首先从仿真角度分析和考察了图像在不同FRFT域的能量分布特点，通过归一化剩余误差因子评估和分

9、析了FRFT域的能量积聚性；然后仿真分析了图像FRFT的双域特性及幅度与相位所包含的图像信息。结果表明，在任意分数阶Fourier域，都能同时反映图像的空频域特征，随变换阶数不同，图像的空频域特征分布将发生变化，由图像的分数阶Fourier变换的幅度和相位重建的图像信息与原始图像的关系也显现出一些重要结论，这些结论对于将分数阶Fourier变换应用于图像的边缘检测和识别是很有意义的。2. 分数阶傅里叶变换（FRFT） FRFT可以解释为信号在时频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分数阶Fourier域上的表示方法，是Fourier变换的一种广义形式。信号的FRFT定义为9 （1）式中

10、FRFT的变换核为 （2）式中，为FRFT的旋转角度。对于二维信号，其二维FRFT可以表示为： （3） 通过离散化后，FRFT也可以采用数字方法进行计算。目前最常用的算法是Ozaktas提出的分解型快速算法，该算法可将FRFT分解成信号的卷积形式，其计算结果与连续FRFT的输出比较相近。分解型FRFT的变换矩阵为： （4） 式中：和分别是二倍的内差和抽取运算的矩阵，为离散FRFT的变换核矩阵，即： （5） 采用量纲归一化后的离散分数阶Fourier变换定义为: (6)3. 图像的离散分数阶傅里叶变换分析3.1 图像分数阶Fourier域的能量分布图像经过某种二维离散变换之后的能量分布体现了图像

11、的变换特征，从不失真压缩角度考虑，变换的目的是希望图像经变换后能量尽可能的集中于少量的几个系数中，这样经量化后，只有很少几个系数不为零，由此可得到较高的压缩比。DCT变换的能量聚积性优于其它变换是众所周知的。本节的目的是研究图像FRFT域的能量聚积性，为此我们首先定义一个归一化剩余误差因子。对于的图像，FRFT的系数为，根据定性分析FRFT域的能量同样集中于中心区域8，由此定义：或 （7） 式中所对应的区域），）。为了体现结论的普遍性，仿真图像选用七幅具有不同纹理特征和不同大小的标准灰度图像（lena（512×512）, baboon（512×512）, bridge（25

12、6×256）, cameraman（256×256）, rice（256×256）, moon（358×536）, saturn（438×328）, 为了简化运算，仿真中令变换阶数，改变阶数p，考察归一化剩余误差因子的变化，仿真结果如图1、图2所示。图1归一化剩余误差因子随阶数的变化曲线图2 FRF域图像能量峰值随阶数的变化曲线从仿真结果可以看出，图像的分数阶Fourier域的能量呈现出一定的规律性： （1）随着变换阶数的增加（由于FRFT对阶数的对称性，考虑变化区间0，1具有一般性），图像在FRFT域中间四分之一的系数所占的能量随之增加，可以

13、看出图像分数阶Fourier域的能量呈现出聚集性，其能量的分布趋于FRFT域二维坐标平面的中心。当变换阶数时，随着变换阶数的增加，图像能量的聚集度也明显的提高，当变换角度在0.7附近时，FRFT域的能量在此区域内聚集度达到了90% 以上。 （2）由于分数阶Fourier变换满足Parseval准则，具有能量守恒关系，且FRFT同时包含了图像的空-频信息，所以随着变换阶数的变化，能量在空-频域的分配也在变化；当变换角度较小（）时，对应于时频平面旋转的角度小于，此时FRFT的能量分布并未体现很好的聚集性，几乎有一半的能量分布在空域即分散在整个区域，其变化趋势比较平缓；当后，其能量聚积随变换角度的增

14、加趋势更为明显，原因是此时对应的时频平面旋转角度趋近于，能量分布趋近于频域-Fourier变换，能量仅集中在少数几个系数中。当时，FRFT退化为Fourier变换，此时图像能量达到了最大的聚集度。 由以上分析可知，图像的FRFT也存在聚集性，但其聚集性依赖于Fourier变换的全局性，从能量分布随阶数的变化的特征中也体现了FRFT的双域信息特点。能否很好的利用这一双域信息特点是以后要研究的重要课题。3.2 图像分数阶Fourier变换的幅度和相位信息我们知道，对于图像处理和图像接收，相位信息比幅度信息更为重要，而且相位信息在传输过程中最易受影响，信道时延和多普勒频移都将影响相位信息。因此有必要

15、研究图像经FRFT后其相位和幅度信息及关联特性。为了研究图像FRFT的幅度和相位特性，首先回顾传统Fourier变换的相位和幅度特性。假设是二维图像的二维Fourier变换 （8） 我们可以把分解成幅度部分和相位部分，即 （9）其中 为幅度函数，为相位函数，分别对和做二维fourier反变换得到和。以”Saturn”图像为例进行仿真，仿真结果如图3所示。图3(b)为从中恢复的原始图像信息，其中仅含原图像的背景信息，其结果类 （a）“Saturn”图像 （b） 幅度部分 （c） 相位部分图3 “Saturn”图像及其FT的幅度部分和相位部分似于原图像经历了低通滤波；图3(c)为从中恢复的原始图像

16、信息，其中可以得到图像的边缘信息，这说明仅由Fourier变换的相位恢复的图像包含了原图像的边缘信息，其结果类似于原图像经历了高通滤波，因此FT可用于图像的边缘提取和模式识别。利用类似的方法研究图像分数阶Fourier域中系数的幅度和相位特征，在分数阶Fourier域，分别取，对“Satrun”图像作二维FRFT，将其变换系数分为幅度函数和相位函数，并分别进行分数阶Fourier反变换，其仿真结果如图4，图5所示。 (a) (b) (c) (d)（a）p=0.01 时FRFT幅度函数恢复的图像（b）p=0.01时FRFT相位函数恢复的图像（c）p= 0.1 时FRFT幅度函数恢复的图像 （d）

17、p=0.1 时FRFT相位函数恢复的图像图4 p=0.01和 p=0.1时“Saturn”图像的幅度恢复图像和相位恢复图像 （a） （b） （c） （d）（a）p=0.5 时FRFT幅度函数恢复的图像（b）p=0.5时FRFT相位函数恢复的图像（c）p= 0.8时FRFT幅度函数恢复的图像（d）p=0.8时FRFT相位函数恢复的图像图5 p=0.5和 p=0.8时“Saturn”图像的幅度恢复图像和相位恢复图像图4和图5给出了不同p时，FRFT的幅度函数的IFRFT及相位函数的IFRFT图像，从图中可以得到以下结论：1. 当变换阶数P由小变大时，仅由相位函数恢复的图像，显现原图像的边缘越来越清

18、晰，这类似于原图像经历了不同截止频率的高通滤波器。p较小时(0.01)对应于截止频率较低的高通滤波器，低频成份浮现出来，使提取的边缘模糊，如图4(b)所示；p较大时(0.8)，对应于截止频率较高的高通滤波器，大部分低频成份被滤出，提取的边缘较清晰，如图5(d)所示，此时FRFT基本退化为FT。2. 同理,当变换阶数P由小变大时，仅由幅度函数恢复的图像越来越接近原图像的背景，这类似于原图像经历了不同截止频率的低通滤波器。p较小时(0.01)，对应于截止频率较高的低通滤波器，高频分量残留较多，还能清晰看到原图像的轮廓，如图4(a)所示；p较大时(0.8)，对应于截止频率较低的低通滤波器，大部分高频

19、分量被滤出，此时仅显现原图像的背景，如图6(c)所示。3. 当变换阶数P为其它任意值时，由FEFT相位函数和幅度函数所恢复的图像既包含了原图像的背景又包含了原图像的纹理，如图4(b)、图4（c）、图5（a）、图5（b）所示。针对这种情况，我们可以推论这类似于原图像经历了FRFT的时频滤波，也即将时频平面旋转某一角度后再进行滤波。假如频域滤波器截止频率和带宽固定，当旋转的角度不同（阶数不同）时，时间轴和频率轴上的投影不同，所以频域滤波器输出的频率成分也不同。表现在恢复的图像上即为相位函数和幅度函数包含的频率成份随阶数而变。总之，当变换阶数较小时，由图像的FRFT的幅度函数和相位函数恢复的图像都显

20、示出很强的图像信息，体现出了较强的空域特性（如图4所示）；当变换阶数逐渐增大时，图像的FRFT的幅度函数恢复的图像所包含的原图像的空域特征逐渐减弱直至消失，相位函数恢复的图像包含原图像的边缘纹理特征逐渐增强，与图3相比照，当FRFT的变换阶数增大时，其幅度和相位特征越来越接近FT域，即频域特征（如图5所示）。这些结论有力地体现了FRFT域的空、频双域特征。4. 结束语 本文仅从仿真角度定性的研究了图像的分数阶傅里叶变换的能量分布、幅度和相位特点及与原图像的关联。仿真结果表明：图像的分数阶傅里叶变换的能量聚积性与变换阶数有关，其聚集性强烈地依赖于其接近于Fourier变换的程度；类似于传统Fou

21、rier变换，FRFT的相位函数包含了图像的纹理信息，变换角度不同，相位函数所含的图像边缘信息也不尽相同，这或许使得分数阶Fourier变换可以更加灵活的用于图像的边缘提取和识别。如何更加全面、深入地研究FRFT的特性并充分利用其双域表示的优势提取图像的时频联合特征是本文作者进一步研究的内容。参 考 文 献：1 陈军，吴成柯. 基于DCT变换的内嵌静止图像压缩算法. 电子学报 Vol.30, No.10.Oct.2002. 1570-1572. 2 罗戎蕾, 汪元等.基于小波的图像重建算法研究.电路与系统学报. Vol.10, No.3.June 2005, 112-115.3 汪雪林,刘忠轩等. 基于边缘自适应小波变换的低比特率图像压缩算法. 中国图像图形学报 Vol.10, No.2.Feb.2005. 149-157.4 闫成新，桑农等.基于图论的图像分割研究进展.计算机工程与应用. May 2006. 11-14.5 Soo-Chang Pei, Jian-Jiun Ding .Relations between Fractional Operations and Time