曲面与空间曲面的总结材料

1、面 与 空 间 曲 线 的 总曲面与空间曲线一 曲面及其方程：1. 曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=O,而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的 图形'例1:求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解：设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是|AM|=|BM|由距离公式得.(x 2)2(y3)2 (z 1)2.(x4)2 (y 5)2(z 6)2整理得4x4y 10z 630此即所求点的规迹方程，为一平面方程。2. 坐标面及与坐标面平行的平面方程： 坐标平面xOy的方

2、程：z=0 过点(a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c 坐标面yOz、坐标面zOx以及过(a,b,c)点且分别与之平行的平面方程: x=0; y=0; x=a; y=b3. 球面方程：球面的标准方程：以 M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。例2:求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在(-1,1,0)，半径为2的球。4. 母线平行于坐标轴的柱

3、面方程：一般我们将动直线I沿定曲线c平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线I称为柱面的母线，定曲线c称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论：若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表 示母线平行于y轴和x轴的柱面。分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中几种常见柱面：x+y=a平面；£2x yb22 2椭圆柱面；y2 ,2a b无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在

4、柱面上。2x2a双曲柱面；x22 py面物柱以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。4.旋转曲面：一般情况下我们将一平面曲线c绕同 一平面的定直线I旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。 本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此 时有以下结论：设yOz平面上有一已知曲线其方程为f(y,z)=0，将c绕z轴旋转一周，所得到的以z轴为轴的放置曲面的方程为：f(y2,z) 0同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：f(y,同理，以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面z2)例3求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面方程 解：将yOz面上的直线z=yct

5、g绕z轴旋转一周即得圆锥曲面 整理后得：z其中a=ctgz2a2(x2 y2)y2ctgf(x, y2 z2)0 绕 y 轴 f (为以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲 f (x,面若两个曲面的方程分别为F (x, y, z) 0F(x,y,z)=0二空间曲线及其方程：1空间曲线的一般方程：空间曲线一般可看作两个曲面的交线，和G(x,y,z)=0,贝U易知其交线c的方程为G(x, y,z) 0称此方程组为曲线c的一般方程。X22 2例4:方程组y z 5表示怎样的曲线?z 2解：平面z=2上以（0,0,2）为圆心的单位圆。例方程Z a2 X2表示怎样曲线a、2 （x 2）y2y表

6、示中心在原点，半径为i的上半球面（X ）2表示母线平行于Z轴，准线在Xoy面上解: z半径为1的圆柱面它们的交线是Xoy面上的一个圆,/ a只、a其圆心在（一0），半径为 2 ' 22空间曲线的参数方程：设空间曲线方程如果选定一个适当的函数X=X （ X ）代入上述方程组X X(t)如果选定一个适当的函数 X=X （ X）代入上述方程组 称为空间中曲线的参数方程。y y(t)z z(t)例 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2 上以等角速度绕z周旋转，同时, 以等速度v沿平行于Z轴的正方向移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程MN vt zx a cosy sinz RNa c

7、os t sin t vt点沿螺旋线T(x,z) OyO例 求曲线 L：3x在三个坐标面上的投影曲线z 1 y2解 消去Z得1-y2=3x2+y2投影曲线方程3x22y2zO投影柱面方程为 3x2+2y2=1 消去 y 得 3x2+1-2Z=O投影曲线方程投影柱面方程为 3x2-2Z-1=O23x2 2z 1 1 yO消去 x 得 Z=1-y2投影柱面方程为 Z=1-y2投影曲线方程z 1 y2xO螺旋线有一个重要性质，当 从 0 变到 0时， Zb 0 变到 b 0 b 这说明当 oM 转过角 时， M 升了高度 b ，即上升的高度与 oM 转过角度成正比。F (x, y, z) 0三.空间

8、曲线在坐标面上的投影：G( x, y, z)0在该方程组中消去z得H(x,y)=O，此为一个通过曲线L 母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。 此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲H(x,y) O线，简称投影，其方程为zO同理可得 L 在 yOz 面及 xOz 面上投影方程为R(y,z) O和xO例两个柱面X2的交线是一条空间曲线2 2 2在xOy面上的投影方程。1x2 2y2 2y2y 0x yz1例5:求曲线X2(y 1)2(z 1)22y2解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为从而曲线在xOy面上的投影方程为、旋转曲面以一条平面曲线绕其

9、平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在yOz坐标面上有一已知曲线C它的方程为f (y z) o把这曲线绕z轴旋转一周就得到一个以z轴为轴的旋转曲面它的方程可以求得如下设M(x y z)为曲面上任一点它是曲线C上点M1(0 y1 Z1)绕z轴旋转而得到的因此有如下关系等式f（y©） 0 z zj |y1| . x2 y2从而得 f( ,x2 y2, z) 0这就是所求旋转曲面的方程在曲线C的方程f(y z) 0中将y改成. x2 y2便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程f ( . x2 y2, z) 0同理 曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程

10、为f(y,.x2 z2) 0例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得旋转曲面叫做圆锥面两直线的试建立顶点在坐交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角 (0 三)叫做圆锥面的半顶角标原点O旋转轴为z轴半顶角为的圆锥面的方程解在yO z坐标面直线L的方程为z ycot将方程z ycot中的y改成.x2 y2 就得到所要求的圆锥面的方程z. x2 y2 cot或z2 a2 (x2 y2)其中a cot2 2例5将zOx坐标面上的双曲线务1分别绕x轴和z轴旋转一周求所生成的旋转a2 c2曲面的方程解 绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为2 x_ a2y2c2z2绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为x2;y2 a2

11、z2c2这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面、柱面例6方程x2 y2 R2表示怎样的曲面？解 方程x2 y2 R2在xOy面上表示圆心在原点 0、半径为R的圆 在空间直角坐标系 中 这方程不含竖坐标 z即不论空间点的竖坐标 z怎样 只要它的横坐标 x和纵坐标y能满 足这方程 那么这些点就在这曲面上也就是说 过xOy面上的圆x2 y2 R2且平行于z轴的直线一定在 x2 y2 R2表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线I沿xOy面上的圆x2 y2 R2移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy面上的圆x2 y2 R2叫做它的 准线这平行于z轴的直线I叫做它的母线例6 方程

12、x2 y2 R2表示怎样的曲面？解 在空间直角坐标系中过xOy面上的圆x2 y2 R2作平行于z轴的直线I则直线I上的点都满足方程 x2 y2 R2因此直线I 一定在x2 y2 R2表示的曲面上 所以这个曲面可以 看成是由平行于 z轴的直线I沿xOy面上的圆x2 y2 R2移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy面上的圆x2 y2 R2叫做它的准线 这平行于z轴的直线I叫做它的母线柱面 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线上面我们看到 不含z的方程x2 y2 R2在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于z轴 它的准线是xOy面上

13、的圆x2 y2 R2一般地 只含x、y而缺z的方程F(x y) 0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面 其准线是xOy面上的曲线 C F(x y) 0例如 方程y2 2x表示母线平行于z轴的柱面 它的准线是xOy面上的抛物线y2 2x该 柱面叫做抛物柱面又如 方程x y 0表示母线平行于z轴的柱面 其准线是xOy面的直线x y 0所以它 是过z轴的平面类似地 只含x、z而缺y的方程G(x z) 0和只含y、z而缺x的方程H(y z) 0分别表示 母线平行于y轴和x轴的柱面例如 方程x z 0表示母线平行于y轴的柱面 其准线是zOx面上的直线 x z 0所以通过截痕法，了解二次曲面的全貌1

14、椭球面2 x2 2y z122 2ab c与二个坐标面的交线均为椭圆2 x2y22x1 2z22 ab2acz0y 0它是过y轴的平面 四 二次曲面22若a=b,则乂22a a2 2 2x y z2 单叶双曲面2 .2 2a b cZ=h截,截痕为一椭圆。2 2xy2 22 h2 h、a (1 p) b (1 飞) ccz2c2旋转椭球面1x=h，或y=h截，截痕为一双曲线。z2（T|）x22(1h2a (1不by h1）当b行与z轴，z2时,当bb2(1c2(1x h实轴平行与曲线为双曲线，由零增大到b时，曲线的两半轴缩小至零。 实轴平行与X轴，虚轴平X轴，虚轴平时，曲线为双曲线，当由零增大

15、到b时，曲线的两半轴缩小至零。行与z轴,b时，截痕为一对直线b时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于Z轴，虚轴平行与X轴，当b 由b增大时yoz的平面相截时截痕也是双曲线，可用同样的方法讨论。2）当b b3)当当a=b时，方程变为，曲线的两半轴也增大。同样用平行于2zc2 1a2 y b22z2c双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面_x!2（h2a （丐cz h3 双叶双曲面Z=h截，截痕为h| c2X2a1 (a,b,c为正数)1)时无截痕，当c时为椭圆y2進1)当x=h，或y=h截，截痕为双曲线c时是两点（0， 0，）4椭圆抛物面22xy丁2 ab2z4（a,b,为正数）5 双叶抛物面2 2話b

16、 z（a,b,为正数）a2 x 次锥面 2 a其次还有双曲抛物面由方程2a2 b2y b220 （a,b,c 为正数）cz所表示的曲面称为双曲抛物面x t上的抛物线双曲抛物面又称马鞍面 用平面x t截此曲面 所得截痕I为平面£a22b2 z此抛物线开口朝下当t变化时I的形状不变 位置只作平移 而I其项点坐标为(t, 0,基)的项点的轨迹L为平面y 0上的抛物线x2 Z令a2因此 以I为母线L为准线 母线I的项点在准线L上滑动 且母线作平行移动这样得到的曲面便是双曲抛物面还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面2222x2y1x2y1x2ay1221xaya b a b依次称为椭圆

17、柱面、双曲柱面、抛物柱面、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面1和2的交线Ciz Di 0和 A2X B2y C2Z D2 0 那么即应满足方程组如果两个相交平面1和2的方程分别为A1X B1y直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程Aix B1y C1z D1 0反过来 不满足方程组 程如果点M(1)因此A2x B2y C2z D2 0不在直线L上那么它不可能同时在平面1和2上所以它的坐标直线L可以用方程组(1)来表示方程组(1)叫做空间直线的一般方设直线 L是平面 1与平面 2的交线平面的方程分别为A1X B1y C1Z D1 0和A2x B2y C2Z D2 0那么点M

18、在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程即满足方程组A,x B1 y C|Z D1 0 A?x B2y C2z D2 0因此直线L可以用上述方程组来表示上述方程组叫做空间直线的一般方程通过空间一直线L的平面有无限多个只要在这无限多个平面中任意选取两个把它们的方程联立起来所得的方程组就表示空间直线L二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道直线上任一向量都平行于该直线的方向向量确定直线的条件当直线L上一点M 0(x0 yo xo)和它的一方向向量 s (m n p)为已知时直线L的位置

19、就完全确定了直线方程的确定已知直线L通过点M0(X0 y0 X0)且直线的方向向量为s (m n p)求直线L的方程设M (x y z)在直线L上的任一点 那么(x X0 y y0 z z0)/s从而有x Xoyyoz zom n p这就是直线L的方程叫做直线的对称式方程或点向式方程注 当m n p中有一个为零 例如m 0而n p 0时 这方程组应理解为x Xy yo z zon P当m n p中有两个为零例如m n o而p o时 这方程组应理解为x xo o y yo o直线的任一方向向量 s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦由直线的对称式方程容易导

20、出直线的参数方程设一° 2 yo £ z° t得方程组m n px xo mty yo ntz zo pt此方程组就是直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线x y z j ks (i j k) (2i j 3k)11 1 4i j 3k 1 32x y 3z 4解先求直线上的一点取x 1有y z 2y 3z 2解此方程组得y 2 z o即(12 o)就是直线上的一点再求这直线的方向向量s以平面x y z 1和2x y 3z 4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :1 j ks (i j k) (2i j 3k)111 4i j 3k2 1 3因此所给

21、直线的对称式方程为x 1 y 2 z413今x 1 令4y 21土 t得所给直线的参数方程为3x1 4ty2 tz3t提示当x 1时有y z2y a o此方程组的解为y 2 z oy 3z 2令 41 yj2 气 t 有 x 1 4t y 2 t z 3t三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角设直线Li和L2的方向向量分别为si(mi nipi)和s(m2n2p2)那么Li和L2的夹角AAAA就疋(Si ,S2)和(s, S2)(Si , S2)两者中的锐角因此COS|COS($,9)|根据两向量的夹角的余弦公式直线Li和L2的夹角可由pi2 v'm2n2

22、P2COS|COS(Si：S2)| 井驴 吨 吶Jmi ni来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论设有两直线m2 n2p2Li 1 y yiz z L2 X X2y y2z Z2则minipiL i L2Li L2mim2 nin2 pip2 0mnin2P1P2例2求直线Li：令4i4解两直线的方向向量分别为Si (i 4i)和S2 (22 i)设两直线的夹角为COS 丄i2 ( 4)2 i2 .、22 ( 2)2 ( i)2 、2|i2 ( 4) ( 2) i ( i)|_22所以 一4四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的

23、夹角当直线与平面垂直时规定直线与平面的夹角为设直线的方向向量s (m n p)平面的法线向量为 n (ABC)直线与平面的夹角为那么 転(s，n)l因此sin |cos(s, n)|按两向量夹角余弦的坐标表示式有|Am Bn Cp|sinJA2 B2 C2 Jm2 n2 p2因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行所以 直线与平面垂直相当于ABC m n p因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直 所以直线与平面平行或直线在平面上相当于Am Bn Cp 0设直线L的方向向量为(m n p)平面 的法线向量为(A B C)则ABC m n pL/

24、 / Am Bn Cp 0例3求过点(12 4)且与平面2x 3y z 4 0垂直的直线的方程解平面的法线向量(23 1)可以作为所求直线的方向向量由此可得所求直线的方程为x 1 y 23z 4T五、杂例例4求与两平面x 4z 3和2x y 5z 1的交线平行且过点(3 2 5)的直线的方程的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s解平面x 4z 3和2x y 5z 1因为 s (i 4k) (2i j 5k)(4i3jk)所以所求直线的方程为x 3 y 23z 5Tx 2例5求直线22T与平面2x y0的交点y 3 t z 4 2t得2(2解上列方程t) 得t 1(3 t)(4 2t) 6 0将t 1代入直线的参数方程得所求交点的坐标为例6求过点(2 13)且与直线冒盘垂直相交的直线的方程x 1解过点(2 1 3)与直线匚-3+垂直的平面为3(x 2) 2(y直线冒1) (z 3) 0即 3x 2y z 53x 2yz5的交点坐标为(汀，号)以点(2 13)为起点以点7)为终点的向量为7(2,1, 4)解所给直线的参数方程