曲线积分和曲面积分的计算

1、第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点：第一类曲线积分的计算设函数f x,y,z在光滑曲线l上有定义且连续，l的方程为 y例:例:例:例:则f x, y, z dsT -f x t , y t , z t xtoty2 tz2 t dt。特别地，如果曲线丨为一条光滑的平面曲线，它的方程为y x ， a x b，那么有l f (x, y)dsba f x ,(x)(x)dx。设l是半圆周x a cost, y a si nt, 0 t 。求2 2l(x y )ds。2设l是曲线y 4x上从点O(0,0)到点A(1,2)的一段，计算第一类曲线积分,yds。计算积分|X2ds，其中

2、l是球面x2 y2 z2 a2被平面x y z 0截得的圆周。求I x y ds，此处l为连接三点0 0, 0 , A 1,0，B 1,1的直线段。2第一类曲面积分的计算曲面的面积(1)设有一曲面块S，它的方程为z f x, y。f x, y具有对x和y的连续偏导数，即此曲面是光滑的,xx u,v(2 )若曲面的方程为yy u,v ,令 Ex22 2 yuzu，FXuXvyuyv乙乙，GxjyVz，zz u,v则该曲面块的面积为S-EG F2dudv。2 2例：求球面x y2 z2 2a含在柱面x2yax a 0内部的面积。例：求球面x2 y22 za2含在柱面x22yax a 0内部的面积。

3、且其在XY平面上的投影xy为可求面积的。则该曲面块的面积为Sfx2 fy2dxdy。xy化第一类曲面积分为二重积分(1)设函数 x, y, z为定义在曲面S上的连续函数。曲面S的方程为z f x, y。f x, y具有对x和y的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy为可求面积的。则(2)设函数2Xux,例:计算x, y,z dSSxyx, y, z为定义在曲面2yuy, zx, y, f x, y 、1f：dxdy ou,vS上的连续函数。若曲面的方程为yu,vu,vz2, FxuXv2 2 2Xvyv乙,dSx u,vu,vu,vEG F2dudv。z dS， S是球面u

4、cosv例:计算zdS，其中S为螺旋面的一部分:u sinv 0 u a, 0 v 2。注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。例：1=. x2 y2dS , S是球面，球心在原点，半径为R OS3第二类曲线积分一变力做功和第二类曲线积分的定义F(x, y) P(x,y) , Q(x, y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得W F ds oAB2.第二型曲线积分的定义定义1设L是一条光滑或逐段光滑曲线，且设f x,y,z是定义在L上的有界函数，将 L沿确定方向从起点A开始用分点A Xi,yi,

5、Zj分成n个有向弧段 AA 1，直至终点B。且设 x, x, 1 xi。在每一弧段 AA 1 上任取一点 Pi i , i, i ，作和式： f Pi xi f i , i, i xi 。i 1 i 1其中 A1x1, y1, z1为起点 A ， An 1xn 1,yn1,zn1 为终点 B 。设 maxAiAi 1，这里Ai Ai1 表示有向线段 A A i的长度。若当0时，和 有极限I，且它与L的分法无关，也与点 R的选择无关，则称I为f x, y,z dx沿曲线L按所述方向的第二类曲线积分， 记作I l f x, y,z dx或I AB f x, y, z dx。LAB注：如果向量f x

6、, y, z P x, y, z ,Q x, y, z ,R x, y,z ，则向量沿曲线L按一定方向的第二类曲线积 分为 I P x,y,z dx Q x,y,z dy R x,y,z dz。注： 第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一 类曲线积分的一个特征。注： 在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位 置无关的。二 第二类曲线积分的计算设曲线AB自身不相交，其参数方程为：xxt,yyt,zztto

7、t T。且设AB是光滑的。设当参数t从t0调地增加到T时，曲线从点 A按一定方向连续地变到点B。设函数P x,y,z定义在T0曲线 AB 上，且设它在 AB 上连续。则 P x,y,z dx P x t ,y t ,z t x t dt 。(*)Lt0注：(*)积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。注:如果向量f x, y, z P x, y, z ,Q x, y, z ,R x, y,z ，则向量沿曲线L按一定方向的第二类曲线积P x,y,z dx Q x,y,z dy R x,y,z dz分为T00 P x t ,y t ,z t xt Q x t ,y t ,z t yt

8、 R x t ,y t ,z t zt dtt0例：计算积分L xydx (y x)dy , L的两个端点为 A( 1, 1 ) , B( 2,3 ).积分从点A到点B或闭合，路径为(1)直线段 AB ；( 2 )抛物线 y 2(x 1) 2 1；(3)折线闭合路径 A( 1, 1 ) D( 2 , 1 )B( 2 , 3 ) A( 1, 1 )。 .例： 计算积分 xdy ydx, 这里 L :(1 )沿抛物线y 2x从点0( 0,0 )到点B( 1 , 2 )；(2)沿直线y 2x从点0( 0,0 )到点B( 1 , 2 );(3 )沿折线封闭路径 0(0,0) A(1,0 )B(1,2

9、)0(0,0).2例：计算第二型曲线积分I = L xydx (x y)dy x dz ,其中L是螺旋线x acost , y a si nt, z bt,从t 0到t的一段。三两类曲线积分的联系第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dzABP x, y, z cos t, x Q x, y, z cos t, y R x, y, z cos t, z dsAB例：证明：对于曲线积分的估计式为fdx Qdy LM ,式中L为曲线段的长度M max. P2

10、 Q2。利用这个不等式估计：lR 6 2 2 皿 xdy 2拼证明ljm Ir 0。x, yl 耳Rx y R 22 2Rx xy y例：设平面区域D由一连续闭曲线L所围成，区域D面积设为S，推导用曲线积分计算面积S的公式为：1S xdy ydx。4第二类曲面积分一 曲面的侧的概念1 单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。2 .曲面的上侧和下侧，外侧和内侧双侧曲面的定向：曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧 .设法向量为n (cos , cos ,cos ),则上侧法线方向对应第三个分量0,即选“ + ”号时，应有cos

11、0 ,亦即法线方向与Z轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向.圭寸闭曲面分内侧和外侧.二第二类曲面积分的定义线T所围成的区域xy。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。现在将有向曲面 S以任何方法分割为 n小块Si i 1,2，n。设G为S在XY平面上的投影，从而也得到区域 xy的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有G算作正的。如取下侧，这时所有G算作负的。n设有界函数f x, y,z定义在S上，在每一小块Si任取一点R i, i, i，作和式f i, i, i Dii 1其中D表示Gi的面积。由上述所见，Di是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的。设di为S的致敬，记 max

12、di 。若当 0时，有确定的极限I，且I与曲面分割的方法无关，也点R的选择无i关，则称I为f x, y,z dxdy沿曲面S的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为I f(x, y,z)dxdy。S注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：R x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y, z dxdy。S注：如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。三两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系设 n 为曲面 S 的指定法向，贝UP(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdySP(x, y,z)

13、cos(n,x)Q(x, y,z) cos(n, y)R(x, y, z) cos(n, z) dS .定理1 设R(x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z(x, y),(x, y) D xy上的连续函数，以S的上侧为正侧(即 cos(n,z)0),则有R(x, y, z)dxdyR x, y, z(x, y) dxdy .SDxy类似地，对光滑曲面S : xx(y, z),( y, z) D yz,在其前侧上的积分SP(x, y, z)dydz P x( y, z), y , z dydz.Dyz对光滑曲面S : y y(z, x),(z,x) D zx,在其右侧上的积分Q(x,

14、y, z)dzdx Q x, y(z, x), z dzdx.SDyz计算积分Pdydz Qdzdx Rdxdy时，通常分开来计算三个积分Ss Pdydz ,SQdzdx ,s Rdxdy .为此，分别把曲面S投影到YZ平面，ZX平面和XY S的定向决定推论设P(x, y,z) ,Q(x, y, z), R(x, y,z)是定义在光滑曲面 S : z z(x,y), (x,y) D xy上的连续函数，则P(x,y,z)dydzQ(x, y,z)dzdxR(x, y, z)dxdyP(x,y,z)cos( n,x)Q(x, y,z)cos(n, y)R( x, y, z) cos(n, z) d

15、SP(x, y,z(x, y)Zx(x, y) Q(x, y,z(x, y)zy(x, y) R(x, y,z(x, y)dxdy.Dxy曲面S的方向为上侧，则等式前取“ + ”号；曲面S的方向为下侧，则等式前取“一”号2 2 2例：计算积分xyzdxdy ,其中S是球面x y z 1在x 0, y 0部分取外侧。2 2 2 2为球面x y z R取外侧.S例：计算积分 二(x y)dydz (y z)dzdx (z 3x)dxdy,解：对积分o (x y)dydz,分别用 前和 后记前半球面和后半球面的外侧，则有前：xR2 y2z2, Dyz2:yz2R2;后：xR2 y2z2, D,2 yz : yz2R2.因此，(xy)dydz =+前后,R22 yz2y dydzR2y2 z2 y dydzDyzDyzy r cosz rsinn2.R2 y2z2dydz8 2 dJr2 r2 rdr0 0y2 z2 R24 丁 R2 r2 2 ； R R3.233对积分( y z)dzdx ,分别用右和左记右半球面和左半球面的外侧,则有右：y . R2z2x2, Dzx: x2z2R2 ；左：y 、R2 z2 x2, Dzx: x2z2R2.因此，厂(y z)dydzz dzdx2 2 z xz