有理数的四则运算

1、有理数的四则运算知识引入我们已经熟悉正数的加法运算，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，他们的和叫做净胜球数.章前言中，红队进 4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球.于是红队的净胜球为：4+（ -2）黄队的净胜球为：1+（ -1）这里就用到了正数和负数的加法下面我们来借助数轴来讨论有理数的加法：我们先规定，一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正.向右运动5m记作5m,向左运动5m记作-5m（1）如果物体先向右运动5m再向右运动3m那么两次运动后总的结果:物体从起点向右运动了8 m,写成算式就是：5+3=8（2

2、）如果物体先向左运动5m再向左运动3m那么两次运动后总的结果:物体从起点向左运动了8 m,写成算式就是：（-5）+（ -3）=-8这个运算也可以用数轴表示，其中假设原点0为运动起点（3）如果物体先向右运动 5m再向左运动3m那么两次运动后总的结果：物体从起点向右运动了2 m,写成算式就是：(-3 ) =2这个运算也可以用数轴表示，其中假设原点0为运动起点我们再次借助数轴来讨论以下情况物体两次运动的结果：（1） 先向右运动3m再向左运动5m物体从起点向 运动了m；（2）先向右运动5m,再向左运动5m,物体从起点向 运动了 m（3）先向左运动5m再向右运动5m物体从起点向 运动了 m.这三种情况运

3、动结果的算是如下：3+（ -5）=-25+（ -5）=0（-5）+5=0如果物体第1秒向右（或左）运动 5m,第2秒原地不动，两秒后物体从起点向右（或左）运动了 5m写成算是就是 5+0=5 或（-5）+0=-5新知学习一、有理数的加法通过上面的算式我们发现有理数加法的运算法则：有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的符号；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的

4、和或差有理数加法的运算律： 两个加数相加，交换加数的位置，和不变 .abb a(加法交换律) 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变(a b) c a (b c)(加法结合律)探究应用：(1) 下列运算中正确的是().(A)( + 8) + ( - 10) =- (10 - 8) =- 2(B)( - 3) + ( - 2) = - (3 - 2) =- 1(C)( - 5) + ( + 6) =+ (6 + 5) =+ 11(D)( - 6) + ( - 2) =+ (6 + 2) =+ 8(2) 足球比赛中，甲队攻入乙队两球，同时被乙队攻入五球，则计算甲队净胜球数的算式

5、为1(3) - 2的相反数与-的倒数的和的绝对值等于2有理数加法运算规律：我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？计算30+(-20)(-20)+30两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试.计算8+(-5)+(-4)8+(-5)+(-4)两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试.我们可以得到，在有理数的加法中：两个数相加，交换加数的位置，和不变-加法交换律：a b 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.-加法结合律:(a b) c 探究应用：(1)( 10.5)712.520(2) ( + 7) + ( - 21) + ( - 7) + ( + 21)

6、(3) 0+ ( - 3.71) + ( + 1.71) -( - 5)(4)(小十)(15)521(5) ( 3-) ( 15.5) ( 67) ( 5空)小结：有理数加法的运算技巧： 分数与小数均有时，应先化为统一形式 带分数可分为整数与分数两部分参与运算 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起 符号相同的数可以先结合在一起、有理数的减法在实际问题中，有事还要涉及有理数的减法 例如，某地一天的气温是 3: 4C，减法是与加法想法的运算，计算4-(-3 ),上就是:与-3相加得4

7、,所以x应该是7,即卩4-(-3 )=7另一方面，我们知道：4+(+3)=7于是：4-(-3 )=4+(+3)我们再尝试着换几个数试试：9-8,9+(-8);15-7,15+4-（ -3）.这里用到正数和负数的减法等于加这个数的相反数（-7），从中又能有新发现吗?:要求出一个数x，使得x与-3有理数减法法则：减去一个数,这天的温差就是相加得4.因为7.a b a ( b)有理数减法的运算步骤： 把减号变为加号（改变运算符号） 把减数变为它的相反数（改变性质符号） 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算探究应用：（1）计算(1)(+ 15) - ( - 11) =；(2)(3)0 - (

8、+ 3.75) =；(4)(5) 9 = 0(6)a+ 15) (+ 11) =；I 4 | | 9 | =b= a+.预习课程有理数的四则运算（2）判断正误（ ） 两数之差一定小于被减数（ ） 若两数的差为正数，则两数都为正数（ ） 零减去一个数仍得这个数（ ） 一个数减去一个负数，差一定大于被减数 下面我们来研究怎样进行有理数的加减混合运算：例：计算（ -20）+（+3）- （-5）- （+7） 分析：这个式子中有加法，也有减法，可以根据有理数减法法则，把它改写为（-20）+（+3）+（+5）+（-7 ） 使问题转化为几个有理数的加法 .（-20）+（+3）- （-5）- （+7） =（

9、-20 ） +（ +3） +（ +5）+（ -7 ） = （-20）+（-7）+ （ +5） +（ +3） =（-27）+（+8）=-19式子（ -20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20,3,5 ，-7 这四个数的和，为书写简单，可以省略式子中 的括号和加号，把它写为 -20+3+5-7 ，那么上述运算过程也可以简单地写为：（-20）+（+3）- （-5）- （+7）=-20+3+5-7=-20-7+3+5 =-27+8=-19归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算：a b c a b 三、有理数的乘法我们已经熟悉正数及 0 的乘法运算，引入负数以后，怎么进行有理数的乘法运算

10、呢？ 下面，我们仍然借助数轴来研究有理数的乘法：上图中，一只蜗牛沿直线 l 爬行，它现在的位置恰在 l 上的点 O 为区分方向，我们规定：向左为负，向右为正；为区分时间，我们规定：现在前为负，现在后为正(1)如果蜗牛一直以每分 2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？3 分钟后蜗牛应在I上点O右边6cm处，这可以表示为：(2) ( 3) 62)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置?3分钟后蜗牛应在I上点0左边6cm处，这可以表示为：(2) ( 3)63）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置?3分钟后蜗牛应在I上点0左边6cm处，这可以表示为：（2）

11、 （ 3）64）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置?3分钟后蜗牛应在I上点0右边6cm处，这可以表示为：（2） （ 3）6观察上面四个式子，根据你对有理数乘法的思考，填空:正数乘正数积为数, 负数乘正数积为数, 正数乘负数积为数, 负数乘负数积为数,乘积的绝对值等于各乘数绝对值的 .于是，我们得到：有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同0相乘，都得0.探究应用：（1）下列计算正确的是（）1111 2(A)(1一）（1一）1-(B)(8) 1339217161(C)(7)(-)6-(D)3 ( -)1773（2）直接将答案写在横线上:(1)

12、-(-) ；5(5) ( 4)；4582(3) ( 3 二)38;1(1)( 1.2)194多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘下列各式的积是正的还是负的？2 3 4 ( 5),23 4(4) ( 5),2 ( 3) ( 4) ( 5),(2) ( 3) ( 4) ( 5)几个不是0的数相乘，积的符号是负因数的个数之间有什么关系？归纳：几个不是 0的数相乘，负因数的个数是 时，积为正数;负因数的个数是 时，积为负数；同时，我们还能得到有理数乘法运算律： 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 ab ba(乘法交换律) 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 abc a(bc

13、)(乘法结合律) 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加a(b c) ab ac (乘法分配律)有理数乘法法则的推广： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数 几个数相乘，如果有一个因数为0,则积为0. 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小 数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算探究应用：1(1) 式子(6)7.5( 3.8)( 981)( 66)的符号为3(2) 两个有理数之积是0,那么这两个有理数().(A)至少有一个是

14、 0(B)都是0(C)互为倒数 (D)互为相反数4 1(3)4 (101-0.05)8 15 4(A)加法结合律(B)乘法结合律0.04,这个运算应用了()(C)乘法交换律(D)分配律(4) ( 1-) ( 22) ( 33)23424(-)()515(J四、有理数的除法怎样计算8 ( 4)呢？根据除法的意义，这就是要求一个数，使它与(-4 )相乘得8.因为(2) ( 4)8，所以 8 ( 4)2另一方面，我们有8 (丄)2，于是有418 ( 4) 8 ( -)24我们可以得到有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.a b a - , ( b 0)b预习课程有理数的四则运算

15、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于 0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值 因为有理数的除法可以化成乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算乘除混合运算 往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后就出结果例：2.5518 ( 4)581125 4探究应用：(1)若两数之积为1,则这两数互为;若两数之商为1，则这两数;若两数之积为-1，则这两数互为 ;若两数之商为-1,则这两数互为 (2) 零乘以 都得零，零除以 都得零.(3 )化简下列分数:12 =345 =12(4)填空：(1)(12) ( 2)=.； (2)5.2(3

16、)=25(3)“ 11 c544 “55()-5；(554554五、有理数的乘方求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a 442 4 $a记作an，乘方的结果叫做幕，在 an中，a叫n个做底数，n叫做指数，读作a的n次幕。例如，94中，底数是9,指数是4, 94读作9的4次方，或9的4次幕.一个数就可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51，指数1通常省略不写.根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正式显然，正数的任何次幕都是正数,0的任何次幕都是注意:2n2na a ,2n 12n 1aa探究应用:(1)对于(一2)6, 6是底数是, 26 =的指数，底数是,(一 2

17、)6=.对一 2, 6是的指数,计算：(1)3 423瓦(3) 当n为正奇数时，12(4) 13的计算结果是(2)4；(2) 一 3 =2 3(6)( )33(a)n =44；(3)( 一 3) =; (4) ( 一 3)=32 3 ( 2)3；(7)()3 ； (8)333;当n为正偶数时，(一a)n=(4)(23)+(5) (-22)+(-27)+(+27)(“9(B) 131(C) 19预习课程有理数的四则运算1(D)丄3一基础演练模块一、有理数的加法【习题1】计算下列各题：(1)(一 11)+( 一 9)；(2)(一 3.5)+(+7)；(3)(一 1.08)+0(6) (-22)+(

18、-27)+(+27)【变式练习】计算：(1)36475(2) 23 0.2540.125【习题2】小明家冰箱冷冻室的温度为-5 C,调高4C后的温度为（(3)5532297142572514A. 4C B . 9C C . -1 C D . -9 C【习题3】绝对值不大于10的所有整数的和等于（）A. -10 B . 0 C . 10 D . 20【习题4】 已知a, b, c的位置如图，化简：| a-b|+|b+c|+| c- a|=ac0b模块二、有理数的减法【习题5】计算(1)(3)( 5)(2)+59【变式练习】计算/八21/、219.2 ( 4)(1) ( 4) ( 3-)(2)(

19、6-) ( 9一)| 3| 7.4335517（）（ 57）（依）1 1 1(临 33(61)112【习题6】对于任何有理数a,下列各式中一定为负数的是()A.3 a B . a C . a 1 D . a 1【习题7】a, b在数轴上的位置如图所示，则a, b, a+b, a-b中，负数的个数是()I IaObA. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【习题8】两个数的差是负数，则这两个数一定是()A.被减数是正数，减数是负数B .被减数是负数，减数是正数C.被减数是负数，减数也是负数D .被减数比减数小【习题9】如果a, b均为有理数，且 bv0，则a, a-b , a+b的大小

20、关系是()A. ava+bva-b B . ava-bva+b C . a+bvava-b D . a-bva+bva模块三、有理数的乘法【习题10】下面计算正确的是()A . -5 X (-4 ) X (-2 ) X( -2 ) =54X2X2=80B . 12 X (-5 ) =-50【变式练习】(1) ( 3)41-11-15-3592111(2) 7 11 13 (7C . (-9 )X5X (-4 ) X0=9X5 X4=180D.(-36 ) X (-1 ) =-36【变式练习】1331637169(3)8999/ 、 111112 -512412(4)122-1111616164

21、2612【习题11】若两个有理数的和与积都是正数，则这两个有理数（）A.都是负数B .一正一负且正数的绝对值大C .都是正数【习题12】a、b、c为非零有理数，它们的积必为正数的是（）A. a 0, b. c 同号 B . b 0 , a . c 异号C. c 0, a . b 异号 D . a . b . c 同号【习题13】 已知| x|=3y|=2，且x?yv 0，则x+y的值等于（）A. 5 或-5 B . 1 或-1 C . 5 或 1 D . -5 或-1D .无法确定【习题14】 有理数a, b, c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题:c11abEH-101A(1)

22、 abcv 0(2) 1 a- b|+| b- c|=|a- c|(3) (a-b) (b-c)(c-a)> 0(4) | a| v 1- bc其中正确的命题有（)A. 4 个B.3个C. 2 个D.1个模块四、有理数的除法【习题15】下列关于0的说法中，正确的个数是（0既不是正数，也不是负数；0既是整数也是有理数；0没有倒数；0没有绝对值.A. 1 B . 2 C . 3 D【习题16】 下列运算有错误的是a . 3 3 3 3 B.52 C . 8- (-2)=8+2 D . 2-7=(+2) + (-7)【变式练习】计算:(1)312131151(2) 221033 5【习题21】观察下面二行数:2 . 4 .8.16 .32640 . 6 . 6 .18 .30 .66 -1 . 2 .4 .8.16 .32 -(4) 2 | (£)；71（4）雹）23（3）；【习题17】两个有理数的商为正，则（）A.和为正B .和为负C.至少一个为正D.积为正数【习题18】用、”或Z”填空（1）如果0 , ac 0那么b0；ab（2）如果 a 0 , -0 那么 ac0 .bc模块五、有理数的乘方【习题19】计算：（1）（ 4）34(2) ( 2)【习题20】计算：(2)3( 3) ( 4