曲线积分与曲面积分补充题

1、曲线积分与曲面积分补充题1.设有 1表示曲面：x2y2z24a2(z 0), 2表示曲面x2 y22ax(0 z 2a).(1)求1, 2及z 0所围立体的体积;(2 )求1被2所截部分的表面积;1所截部分的侧面积;若S表示2所截的部分曲面，求z2 dS ；若S表示1所截的部分曲面，求2ax 3dS ；表示2所截曲面的上侧部分，求xdydz ydzdx zdxdy表示曲面2的交线在第一卦限部分曲线，从z轴正向往下看是逆时针设力Fxi yj2zk，求该力沿曲线从A(2a,0,0)到B(0,0,2a)所做的功.(8)若其他条件同(7)，力为F xi yjzk,此时功为多少？若B点为上任一点,功又为

2、多少?2.(1)设f(x,y)为连续函数，且对任意平面闭曲线 C都有* f(x,y)ds 0C试证:f (x, y) 0 .0.设f (x, y,z)为连续函数，且对任意空间闭曲面都有 f (x, y,z)dS试证:f (x, y, z) 0 .设P(x, y), Q(x, y)有连续偏导数，且对任意封闭曲线 C ,有n Pdx Qdy 0 .C试证:y x设P(x, y, z), Q(x, y,z), R(x, y, z)有连续偏导数,且对任意封闭曲面 都有 PQR' Pdydz Qdzdx Rdxdy 0 .试证:0.xyz3. 设 为从点 人(為，,乙)到点B(X2,y2,Z2)

3、的有向光滑曲线弧.函数f (x), g(y),h(z) 连续.证明：X2丫2Z2f (x)dx x f(x)dx; g(y)dy y g(y)dy; h(z)dz z h(z)dz.x1y1z14. 设有向光滑曲线弧在xoy面上的投影曲线为 L,其正向与的正向相应，且 在光滑曲面 z (x, y)上，函数 P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x,y, z)连续证明:(1)P(x, y, z)dxQ(x, y,z)dy LPx, y, (x, y)dx Qx, y, (x, y)dyR(x, y,z)dzLRx, y, (x, y)( xdxydy)5.设f(x)在(,)内具有连续导数

4、，求：I 1 y2L,f(xy)dx x2y2f(xy)yy1dy，其中L是从点A(3,2/3)到点B(1,2)的直线段.答案:-46. 设函数f(x),g(x)具有二阶连续导数.曲线积分；y2f(x) 2yex 2yg(x)dx 2yg(x) f (x)dy 0其中C为平面上任一简单封闭曲线.答案:f(x) 1(exe x) ：xex,g(x)：(exe x) ixex;I1(7ee 1)424247. 设，有连续导数，对平面上任意一条分段光滑曲线L,积分I L2x (y) (y)dx x 2 (y) 2xy2 2x (y)dy与路径无关.(1)当(0)2, (0)1 时，求(x), (x)

5、 设L是从(0,0)到(，/2)的分段光滑曲线，求I .222(12/4)2答案：(x) sinx x 2, (x) cosx 2x; I8.设f(x)连续可导,f (1)1 ,G为不含原点的单连通区域任取M , N G ,在G内曲N1线积分M (ydxxdy)与路径无关.(1)求f (x)；求 £2x f(y)2 2 2(ydx xdy),其中 为x3 y3a3取正向.答案:f(x)x2;2 .9.设f (u)为连续函数，C为xoy平面上分段光滑闭曲线 证明：Cf(x22y )(xdx ydy) 0.2 210.设曲线L: x y x y0的方向为逆时针，证明:11.若对平面上任何

6、简单闭曲线2 2C 恒有：2xyf (x )dx f (x )Cx4dy 0,其中f (x)在()上有连续的一阶导数，且f (0)2，试求:答案：f(x) 4ex 2(x 1);8e 10.(x2 y2)222U2U12设u(x,y)在圆盘D:x y1内有二阶连续偏导数，且 22 ex y则 ds (1 e 1).( n是C的外单位法向量).C n13.求I ； (x 輕y)dy其中c是绕原点两周的正向闭曲线.答案:Cx y2 2 2 2 2 214.计算 I (y z )dx (2z x )dy (3x y )dz .其中 C 是平面z 2与柱面xCy 1的交线从z轴正向看C是逆时针.答案：

7、24 .15.已知平面区域D (x,y) 0 x,0 y,L为D的边界,试证:(1).sin y .严 dysin x .ye dxxesinysin xdy yedx;(2).sin y |：xedysin x i c 2ye dx 216.确定常数,使在右半平面x0上的向量A(x, y)2xy(x4 y2) i2 42x (x y )为某二元函数u(x, y)的梯度，并求u(x, y).答案:1;u(x, y)yarcta nx17.计算I 2dydzJ2xcos xdzdx2 cosdxdy其中2zcos z:x2 y2z21取外侧答案:4tan1 .18.设f (u)有连续导数，计算I

8、f - dydz y yxf dzdx x yzdxdy.其中是 y x2 z26, y 8 x2z2所围立体的外侧.答案：2 .19计算曲面积分Ixz 2 2 2dydz sin xdxdy.其中是曲线 yx(1 z 2)绕z轴旋转一周而成的曲面，其法向量与z轴的正向夹角为锐角答案：I1287520.24xzdydz 2zdzdx (1 z )dxdy其中 为ay (02,a0,a1)绕z轴旋转所成的曲面下侧.a4,答案:I 2 2a4応时心41)2(1 a4).21.设S为椭球面oz 1的上半部分,点Px, y, z S ,为S在点的切平面，x,y, z为点O 0,0,0至呼面的距离求Iz“宀dS .答案:S x, y,z3_22 2.f(x)为大于零的连续函数22.设C是圆周x 1 y 11的正向边界曲线明：；xf(y)dy 冷 2 .v，闭曲线C包围x23.设函数u(x,y),v(x, y)具有一阶连续偏导数，且满足 x原点，xv yu dx xu yv dy y0,024.设2是球面x2ax 2a