固体物理课后习题解答(黄昆版)第三章

1、 黄昆 固体物理 习题解答 （c）由色散关系 2 M = 2c2 cos(k x a cos(k y a 和周期性边界条件可以得到 k x ( k y ( , a a , ， 所以独立解存在的 k a a 2 空间区域是一个边长为 a 的正方形。 当 当 k = k x ，且 k y = 0 时的 k 图，和 kx = k y 时的 k 图，如右图所示。 3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r = 马德隆常数 1.75，n9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率 （2）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与 Nacl

2、 红外吸收频率的测量 值 61 进行比较。 w 波矢取值 因此 3.6 计算一维单原子链的频率分布函数 ( 解：设单原子链长度 LNa q= w . e h c 3 . w -6- m o c e2 r + rn 其中 2 2 Na q= ×h Na Na ,状态密度 2 每个波矢的宽度 Na dq dq 间隔内的状态数 2 ，对应±q， 取相同值 ( dq = 2 × 解答（初稿）作者 Na dq 2 季正华 黄昆 固体物理 习题解答 一维单原子链色散关系, 2 = 4 aq sin 2 ( m 2 令 0 = 4 aq = 0 sin( m ， 2 两边微分得

3、到 d = 0 a aq cos( dq 2 2 d = 0 a aq cos( dq 2 2 cos( 将 aq 2 = 1 2 0 2 代入到 a 2 d 02 2 dq, dq = d = 2 a 2 2 0 2× Na Na 2 d dq = 2 × 2 2 a 2 2 0 ( = 频率分布函数 3.7 设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 (q = 0 Aq 求证： f ( = V 1 1/ 2 , < 0 f ( = 0, > 2 3/ 2 ( 0 0. 4 A ; 解： > 0时， 0 = Aq 2 > 0 f ( = 0,

4、 < 0 0 = Aq q = A (0 2 依据 q ( q = 2 Aq, f ( = w f ( = V ( 2 3.8 有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格， 在德拜近似下计算 比热，并论述在低温极限比热正比与 T 。 证明 ： 在 k 到 k + dk 间 的 独立 振动 模 式对 应 于 平 面 中 半径 n 到 n + dn 间 圆 环的 面 积 L2 5 3s d 则 kdk = kdk即 ( = 2 2 2 v 2 2 w 3 r ds V 1 A1/ 2 V 1 1/ 2 4 = = 3/ 2 (0 ( 0 3 1/ 2 2 2 q (q ( 2 2 A (

5、 0 ( 2 A . e h c 3 . w 2N 1 m o c 2 2 2 0 1 2 1 2 3 ( 2 V r ds ，并带入上边结果有 q ( q 2 ndn ，且 2 ndn = 解答（初稿）作者 季正华 -7- 黄昆 固体物理 习题解答 3s E= 2 v 2 ， m 0 3s ( k B T h 2 d + E0 = h / k B T 2 v 2 h 2 1 e E s T 2 T 3 D D h h h 3 d k B T k B T = 3s ( k B T 2 v 2 h 2 e h / k B T 1 2 xD D x 2 dx ex 1 T 0时，E T 3 , C

6、v = ( 3.9 写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为 h F U 0 + k BT l n q q k BT h q 1 h q 证明:量子谐振子的自由能为 F = U + k BT + l n 1 e kBT k T 2 q B 经典极限意味着（温度较高） k BT >> h g 应用 e x = 1 x + x 2 + . 所以 e h q k BT h = 1 + q + . k BT k BT hq 因此 F U + 2h + k T l q B q q 1 其中 U 0 U + 2 h q 1 1 h 3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为 2 ，

7、使用德拜模型求晶体 的零点振动能。 w 分有 证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 E0 就是各振 动模零点能之和。 E0 = w . e h c 3 . w 2 m o c n hq 1 1 + k BT hq U 0 + k BT l n k BT q m 0 E0 ( g ( d 将E0 ( = 1 3V h 和 g ( = 2 3 2 代入积 2 2 vs E0 = 3V 9 9 m 4 = hN m ，由于 hm = k B D得E0 = Nk B D 2 3 16 vs 8 8 2 一股晶体德拜温度为 10 K ，可见零点振动能是相当大的，其

8、量值可与温升数百度所需热 解答（初稿）作者 季正华 -8- 黄昆 固体物理 习题解答 能相比拟 3.11 一维复式格子 m = 5 × 1.67 × 1024 g , 104 dyn / cm, 求： M = 4, = 1.5 × 101 N / m (即1.51× m （1）光学波 max , min ，声学波 max 。 0 0 A （2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在 300k 时的平均声子数。 （4）与 max 相对应的电磁波波长在什么波段。 0 A 解（1） ， max = o max = 2 ( M + m = Mm A max 2 2

9、 × 1.5 × 104 dyn / cm = = = 5.99 × 1013 s 1 24 m 5 × 1.67 × 10 A hmax = 6.58 × 1016 × 5.99 × 1013 s 1 = 1.97 × 102 eV o （2） hmax = 6.58 × 1016 × 6.70 × 1013 s 1 = 4.41× 102 eV o hmin = 6.58 × 1016 × 3.00 × 1013 s 1 = 3.9

10、5 × 102 eV A （3） nmax = e A hmax / kBT O nmin = w （4） = w e 1 O hmin / k BT 2 c = 28.1 m . e h c 3 . w 2 2 × 1.5 × 104 dyn / cm = = 3.00 × 1013 s 1 , 24 M 4 × 5 × 1.67 ×10 2 × 1.5 × 104 × ( 4 × 5 + 5 × 1.67 × 1024 dyn / cm = 6.70 ×