曲线曲面积分及场论初步

1、一.设:.内有连续的导函数，求其中L为从点A到点B（1,2）的直线段.並二几®） + &V（砂）-1 8 二 /7（砂）十不（砂）1 解.：','厂dp 为于是积分与路径无关J；”內）妙-今必2“（奪）必计算；5,其中 L 为过(0, 0), (0,1), (1,2)三点的圆周更"包"虫=鱼解. -', r .凸",于是积分与路径无关z =三计算-1(eK sin v + 8tWa +C05 v -7,L(AMB)是上半圆周.A, B的坐标分别为（1,0）和亿0）.(e" sin * 十曲必 + cosy解.si

2、n y 4-&y)dJz 十，cosj 7jr)c/y-JJ （wwy-7 - e1 c=（?sy-呂）出齿y = 15''弓” 2四计算,/2図+也戸十旳）必+僅还+ 4护+鸟）,其中认d23 2为常数广' ' 1, AB为厂丨厂_ I上的一段弧,BC为一上的一段弧.解/=依曲+呼+巾皿+如+冷+妇妙（J4-I倒（込-I巾”+他）必 +x + by !妇）4v（衍一血订篦+G 片）（J： L眩+2眄二 _為）（彳+善）+2口五计算（sin + cosy y<7,其中L为连结畑网E的曲线弧段.包=解.砥 /cos7+7片 sin 一 ydp 2 x

3、 x' x =一r MS 4-Sffl y j ydq dp办和,于是该积分等于沿直线）由1到2的积分.JT=cfsin -sini 213翼、咒疋cos a = sin 1 y y yJ h-洒+妙（小、三+亡=1六.计算 " -' ."：,其中AB是沿椭圆"?的正向从A（a,0）, B（0, b）的一段弧.讥2）二"解.对于函数- 1"】du忘0 -擇+b严即d“ +b严（胃一-F ydy所以-' - 1:",于是-1 1J +JX+M MyZ - tai 尹j 问2&3刃血+（*血2心一护）和七计

4、算（b > 0）,其中L是° -P ,庞1它 ax =j2J7咒話）h（Ql）,o（oq依次连结，：打的有向折线（已知解.（审八"zos2y-3y）d? +0win 2y-bdycos 2砂3y）A +百八存sin 2砂-胪）血QAU （百宀?（一2斗）sin 2研十fcos2xy - 認 2ycos2y所以I = lim（/"匚0毙/一和）必十（丿"血2空护）申 吐于如J上lim （3rr - P事尸必）二3r -广产必二张-乜卄JJoJa2八设平面. 与椭圆柱面匚-相截，求其在- 及xoy平面之间的工=巧cos/V = 3sin f椭圆柱面的侧

5、面积解椭圆' 的参数方程为应=J/（£） +乜疋=J治时f + 9us勺皿 所求侧面积礼（5 + 4 co/加 co畀令 cosf = tz - 3+4沪 du 6薔十斗/du珂育+於创=is 7+/ +>a =?5乙/a九.计算L"小宀,其中为连续函数AnB为连结点丄的任何路径，但与直线段AB围成的图形AnBA 有定面积S.解.一附的+ （卞）詁-和妙加一脚）&出击（肿）护-即十豹J 阿，旳）丹朋一（加-如臨+忧舟（必-丹）/+（羽戸-丹町"乜-可匕籾0,丰（片_酬卜2 一丹）解中第三行到第四行是因为r E -=1 :- -, BA直线方程

6、为计算严丄- 叩I-'LJ其中AMB是通过点的半圆周一.解 /=+丁一&兀妙卽丿匚曰忙 sin y -+h gqsjv -右工ofyCOS j A cos y + adxdy JJ (a - b)dxdy = £(盘硏J- Df = p- ?:zdy yzdzJ 丄& 一加分 _ ?卜一 计算,其中L是圆周 -若从z轴正 向看去，这个圆周取逆时针方向a - 2cosQ解.方法一：曲线L的参数方程为.所以f2<r盘、frr 1 一 COE 2F 1 + CQ5 2召-£ 12亦 R + 防日二一 12十呂必二一泅 ) 2方法二:由斯托克斯定理Jj

7、 22 +-0左必斗(一£ - T)ddy = | 10,0,1)- (z3 亠 xQ,(£ + 3)収工曲ZD-J| (z+ 3)dxdy = -5jj dxdy- 20jt LDJ.D7 十二计算解.设工表示上半球面:一-"'V-表示下半球面：fj Jd所以 ：:f ->1+JJ (-按d屛)1+ - 込 Y ( &a + ¥=0.Z - | . g dydz, E:锥-y2-z2 二 0及平卧 十三计算 ：- " ' J= 2所围立体的外侧.解.方法=一 - _ -.其中*为锥面的外侧，；为平面1的外侧，-为平面' 一的外侧.!冷如二上启哋"加!严如=4Lr站“!丹址+0护e dydz一 +=一、；:. c _：-：- -方法二：使用奥一高公式 TT=dydz =川 yr=dxdydz°非“帖（使用先做y, z的二重积分再做x的积分）dydz/兀=L 孑 （/日 丄 闵口/托=2兀=十四.求 处沿曲线:PQAR处的切线方向的方向导数.所以方向矢量；='：lU .方向余弦为-304843COS C 二 ”一 =”C