理科十推理与证明学生

1、第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型185归纳推理=7(X>O)例题14.1设函数f (x)= ，观察：，fl<x)=吐*4 *人(工)=/5(工)=徒旨*根据以上事实，由归纳推理可得：当且毎2时-心)=.例题14.2定义Fn(A,B)表示所有满足 A B£d,a2,aj的集合A, B组成的有序集合对(A B 的个数.试探究F,(A,B),F2(A, B),，并归纳推得Fn(A, B)=,(n若数列an满足am = f(m)(N ),且a 的前m项和为Sm ,则2S2014 S2006 =例题14.5意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数

2、：1 , 1,2, 3，5，8，13，,其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项 之比越逼近黄金分割 0.6180339887,.人们称该数列an为“斐波那契数列”.若把该数列an的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn，在数列bj中第2014项的值是 例题14.6观察下列等式:sin2 二 亠 cos2 亠 30° | 亠 si-0一03sinagpoSa+30 )=；sin2 _：匚 1 coS2 二45° i 亠 2sin_cosi* 亠45° =

3、；260° 一 孑3 sin _”cosi ：£ 亠 60° = 1 ；sin2 o + co§ (ct +90° )+2sinot 些os口+90° )=0 ；可以猜想出结论：训练题12014 北京卷学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格” “不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于 乙，则称“学生甲比学生乙成绩好” 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好， 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A. 2人B . 3人C . 4人D .

4、5人训练题22014 福建卷已知集合a, b, c =0,1, 2，且下列三个关系： az 2 ，b =2 :c工0有且只有一个正确，则100a + 10b + c等于.x训练题 32014 陕西卷已知 f(x) = wx，x> 0,若 f 1(x) = f (x) , fn +1(x) = f(fn(x) , n? N+ ,则f 2014( x)的表达式为 .训练题42014 福建卷若集合a, b, c, d = 1 , 2, 3, 4，且下列四个关系：a= 1；bz 1；c= 2；dz4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a,b, c, d)的个数是.训练题52014 新课标

5、全国卷I 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A B, C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .训练题62014 陕西卷观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(日三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F, V, E所满足的等式是 训练题7向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正 n n_3,nN边形内的概率为 pn ,下列论断正确的是A.随着n的增大，pn增大B .随着n的增大，Pn减小C.随着n的增大，pn先增大后减小 训练题8n个连续自然数按规律排成下表,D 随着

6、n的增大，pn先减小后增大根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（11110A.JtB.tJC .D .7训练题91&记屏=1* +2* +3* +« 严 时,晰下列等式:据此推测=-题型186 类比推理例题14.7观察下列等式:c5 +C； =23 -2，C； +C； +C； =27 +23，15913)115C13C13C13C13 _ 2 2 ，C；7C17C17-C13-Cv二21527,由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n N , C4n -1 ' C4n 1 ' C4n 1 '例题14.8( 2013年上海市春季高考数学试卷(含

7、答案)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 36=22 32,所36 的所有正约数之和为(1323 )( 223223) f22 2 ( 3 i 3)(12：参照上述方法例题14.9将函数,可求得 2000的所有正约数之和为 1y的图象绕原点顺时针旋转 45后可得到双曲线x -y =2 .据此类x4x的图象的焦距为X-1例题14.10在平面上有如下命题：“ O为直线AB外的一点，则点 P在直线AB上的充要条件是：存在实数 x, y满足OP =xOA yOB，且x y =1 ”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：例题14.11已知命题：在平

8、面直角坐标系 xoy中，厶ABC的顶点A(-p,0)和C(p,0)，顶点 sin A sinC1则(其中e为椭圆e2 2B在椭圆务 = 1(m n 0,p= .m2-n2)上，m n的离心率)试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：ABC 的顶点 A(-p,0)和 C( p,0),2 2x y1(m n 0, p 二.m n )上，则m n例题14.12设S V分别表示面积和体积， 如厶ABC面积用Saabc表示,三棱锥0- ABC的体积 用Vo ABC表示.对于命题：如果 O是线段AB上一点，贝y |OB| OM |OA| OB= 0.将它类比到 平面的情形是：若 O是厶ABC内一点，有

9、Saobc - OM Sa oca- OB+ Saoba- OC= 0.将它类比到空sin B在平面直角坐标系顶点 Bxoy 中，在双曲线间的情形应该是：若 O是三棱锥A- BCD内一点，则有例题14.13在计算“ 1 22 3 n(n T)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写1第 k 项：k(k 1) k(k 1)(k2) -(k -1)k(k1),由此得311 2(12 3-0 12),312 3(2 3 4 -1 2 3),31"严饰mW “1 相加，得 1 2 2 3 n(n 1) n(n 1)(n2).类比上述方法，请你计算“1 2 3 2 3 .nn(n 1)(n 2)

10、 ”，其结果为.例题14.14设厶ABC的三边长分别为 a、b、&, ABC的面积为S,内切圆半径为r，贝U r =2S;类比这个结论可知：四面体S- ABC的四个面的面积分别为 S 1、S2、&、S4,内切a+ b + c球的半径为r,四面体S- ABC的体积为 V,则r = .训练题 1 若 a0,ai,a2,an 成等差数列，贝U有等式C0a0 +C；a2 + +(1)nCnnan =0成立，类比上述性质，相应地：若bob,鸟,bn成等比数列，则有等式 _ 成立。训练题2已知(2x 1)n =a0 - a1x a2x2 . - anxn中令x = 0,就可以求出常数，即

11、1 = a0.请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题123 na1若e =x'aiX，即ex= a°- axa2x2- x3-a4X4anxn ，贝U=_i =oa1 a2 a3 an训练题3先阅读下面的材料：“求J 1-的值时，采用了如下方法：令、1亠丿1 =x，则有x - 1 x，两边同时平方，得 x2 = 1 x，解得1.5x(负值舍去)”根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得2函数F(x) = &+3 + 如? -x的零点为训练题4已知数列 订鳥是正项等差数列，若cn = a1 2a2 3a3nan，则数列 C 也为等n1+2十3十+nn差数列.类比上述结

12、论，已知数列：bn是正项等比数列，若 dn =，则数列 dn也为等比数列.-1-7-训练题5我们知道无限循环小数 0.3 = -，现探究0.7=-。设0.7 =x ,由07 =0.777.可39知10x-x =7.777-0.777，即10x-x=7，从而x=-。则类比上述探究过程，用9分数形式表示0.735 =训练题6数学家科拉茨在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n,若它是偶数，则将它减半(即 n)，若它是奇数，则将它乘3加1 (即3n 1),不断重复这样的运2算，经过有限步后，一定可以得到 1。如初始正整数为 6，按照上述规则，我们得到一 个数列：6, 3, 10, 5,

13、16, 8, 4, 2, 1。根据此猜想，如果对于正整数 n (首项)，经过变换(注：1可以多次出现)后的第 8项为1 ，则n的所有可能的值为第二节证明题型187综合法与分析法证明例题14.14设函数 f (x) = ax2 bx c且f (1),3a 2c 2b。求证：2(1) a 0，且 -3 ： -3a 4(2) 函数f(x)在0,2中至少有一个零点57 设x1, x2是f (x)的两个零点，贝V 72兰X1 -X2| £ 4例题14.15在三角形ABC中，代B,C成等差数列，其对边分 别为a,b,c,113求证：-a +b b +c a +b + c题型188反证法证明2兀_

14、2z ，c = z _2x 6A(n N ) n n例题14.16若a,b,c均为实数，且a =x2 -2y ,b2求证：a,b, c中至少有一个大于0题型189数学归纳法例题14.17用数学归纳法证明：1 1 1 1 1 , 1_丄+丄丄+ +!一_丄 =:+2342n -1 2n n 1 n 2例题14.18用数学归纳法证明不等式n 171 L 2n 241314(n 2)时的过程中，由n =k到n = k 1时，不等式的左边。A.增加了一项C.增加了两项12(k1)B.增加了两项1 12k 12(k 1)D.增加了一项1 1+2k 12(k 1)又减少了一项，又减少了一项2(k1)其它训

15、练题训练题1如图1，在 OAB中M是AB边上的点，贝U _Om= AB&A+ ABOb，类比到空间向量，如图2，在四面体 OAB(中, M> ABC内一点，那么下列结论正确的是()CA."Om=MBb MC tMO MAMAh MB tMAF MBH MC°A+ MA MBb MCOB+ MA MBb MCOCB. OM=BC"Oa+CAOB +AB"Oc ABC勺周长 AB啲周长 ABC勺周长C."Om=d1 t"+ d2 + d3 OAd2Td1 + d2 + d3 OB +d3-Ocd1 + d2 + d3(其中d

16、1、d2、d3分别表示 M到BC CA AB的距离)D.、MBC"Om=-、MCAOa+、MABOb+OCn*n训练题2若f (n)为n 1( nN)的各位数字之和，如 14197,V 917，则f(14)二 17,记 £(n) = f (n), f?(n)二 f (£(n), fk 1(n)二 f(fk(n), k N*,则 f2012(8) =训练题3在含有3件次品的10件产品中，取出n(n _ 10, n，N*)件产品，记n表示取出的次品数，算得如下一组期望值E n :当n=1时，E-0卑1卑C10C10当n=2时,当n=3时,11 字2CwE 2 = 0

17、C3C7 事 C3CCwCC0"CTCi0彳 c；c；门 cR7 o1 字 2 学 33C33310C10C1030C3C7910观察以上结果，可以推测：若在含有M件次品的N件产品中，取出n(n N, nN)件产品，记 陰表示取出的次品数，则E& =(填上所有错训练题4已知av b,则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有 误步骤的序号)/ av b，二 a+av b+a, 即卩 2av b+a, 2a - 2bvb+a - 2b,即 2 (a- b)v a- b, 2 (a - b) ? ( a - b)v( a - b) ? ( a - b) ，即卩 2 (a - b)

18、 v( a - b),2'/( a- b)> 0,.可证得 2 v 1 ,1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3x3方格，接着用中训练题5对一块边长为,得到图；依此类推，至燼1的正方体中，则心和四个角 的5个小正方形，构成如图所示的几何图形，其面积 的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,步，所得图形的面积Sn = (-)n.若将以上操作类比推广到棱长为9(I)当n = 1时,所得几何体的体积 V =_.(II) 到第n步时，所得几何体的体训练题6现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部

19、分的面积恒为“电2类比到4空间，有两个棱长均为 体重叠部分的体积恒为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方123 n2n1n234 n1n1345 n12 in12n 3n2n T训练题7在n行m列矩阵中,记位于第i行第j列的数为aj (i, j =1,2 , n)。当 n =9 时，卯a?2 833 ' Qu =。? V, b= (X2, y2)? V,以及任意'? R,均有f(，a(1 - )b) f(a) (1 - )f(b),则称映射f具有性质P。现给出如下映射： f1: VR, f2(m)二 x, -y,m =(x,y) V;2 _ f2：Vr R,

20、 f2(m) =x y, m =(x, y) V; f3：V； R, f3(m)二x y 1, m = (x, y) V.其中，具有性质P的映射的序号为 。(写出所有具有性质 P的映射的序号)5672011训练题9观察下列各式：5 =3125，5 =15625，5 =78125，,，则 5的末四位数字为A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125训练题10设S是整数集Z的非空子集，如果 a,bS,有abS，则称s关于数的乘法是 封闭的.若 T,V是Z的两个不相交的非空子集，T U二乙且- a,b,8 T,有abc T; -x, y, z V,有xyz V，则下列结论恒成立的是A.

21、T,V中至少有一个关于乘法是封闭的B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的C. T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T,V中每一个关于乘法都是封闭的训练题11在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x, y)为整点，下列命题中正确的是 (写出所有正确命题的编号) 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数，则直线y =也 b不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点，当且仅当 丨经过两个不同的整点 直线y = kx b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线xf (x)>0)训练题12设函数x 2,观察：f1(X)

22、f(x)二 xxf2(X"f(f1(x)"冇,f3(X)f (f2(x)x7x 8f4(X)f (f3(x)x15x 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 N + 且 n 色2 时，h(x)= f(fn_4(x) =. 训练题13观察下列等式照此规律，第n个等式为1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49训练题14观察下列各式：a b =1,a2b2 =3, a3 b3 =4,a4 b4 =7,a5 b5 =11,则10 . 10a bA. 28 B . 76 C . 123训练题15正方形ABCD勺边长为1, 点E在边AB上，点F在边B

23、C上，AE= BF=-.动点P3反弹时反射等于入射从E出发沿直线喜爱那个 F运动，角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(A) 16 (B) 14 ( C 12(D)10训练题16我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求每当碰到正方形的方向的边时反弹,其直径d的一个近似公式d :.人们还用过一些类似的近似公式根据11. d :n=3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是 3 300B . d ： 3 2V C . d ：.V D *157训练题17观察下列不等式132221

24、 152 331 1 1 -2 -T-2 <234照此规律，第五个.不等式为 .训练题18设N=2 ( n? N, n2),将N个数x1,x 2, , , xn依次放入编号为1,2 , , , N的N 个位置，得到排列P0=X1X2, xn.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序NN依次放入对应的前和后一个位置，得到排列P1=X1X3, XN-1X2X4, XN,将此操作称为 C变换，22将R分成两段，每段 N个数，并对每段作 C变换，得到p2 ；当2< i < n-2时，将P分成2N2段，每段一个数，并对每段 C变换，得到Pi+1，例如，当N = 8时，P2=

25、X1X5X3X7X2X6X4X8,此2i时X7位于P2中的第4个位置.(1 )当N=16时，X7位于P2中的第_个位置；(2)当N=2 (n8)时，X173位于P4中的第_个位置.训练题19回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22, 121,3443, 94249等.显然2位回文数有9个：11, 22, 33, , ,99. 3位回文数有90个：101, 111, 121, , ,191,202, , ,999.则（I） 4位回文数有个；（n） 2n 1（n. N ）位回文数有个.训练题20某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数(1)sin213°

26、;2. °+cos 17-si n13° cos17 °(2)sin215°2 A厂O+cos 15-si n15° cos15 °(3)sin218°2.o+cos 12-si n18° cos12 °2 2 2 2（4） sin （ -18 ° ） +cos 48° - sin （-18 ° ） cos 48°（5） sin2（ -25 °）+cos255° - sin 2（ -25 °）cos255°I试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数n根据（I）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论2 *n，训练题 21 右 Sn =sin sin . sin ( N ”)，则在 S|, S2,., S|00中，正数的 个数是()A 16、72C、86D、100训练题22观察