理工高数5学分内试题A答案

1、暨南大学考试试卷得分评阅人1 下列等式不成立的是（A. lim xsin 1xr：x一、选择题C ）。B.（共10小题，每小题2分，共20 分）xsin x=1C. 00八0D.lim xsin 0x_0 .x教 师 填 写2013 - 2014学年度第一学期课程名称：高等数学1（理工内招生）授课教师姓名：考试时间：2014年1 月13 日课程类别 必修V 选修考试方式开卷闭卷V 试卷类别A 共6页考 生 填 写学院（校）专业班（级）姓名学号内招V外招题号-一-二二三四五总分得分2.函数f（x）可导，且Hm f（1+jf=3，则曲线厂f （x）在（1, f（1）处的切线的斜率为（A ）oA.

2、6B. -1C. 3D. 13.设 f (x0x) - f (x0) = 0.3 x ln(1 ( x)2)，则 f (x)在x0处(C )A.不连续C.可微，且dy = 0.3 x4.函数 y = xln x 在（0，二）（DA.在（0，）凹，在（1，凸C.图像凸B.不可微D.可微，但 dy = 0.3= x)0B.在（0，）凸，在（:=）凹D.图像凹5.设 F (x)A.为负常数esintsintdt,则 F (x)B.为正常数C.(B )恒为零 D.不为常数6曲线y二2x1 e产，贝U该曲线(B1 - eA.C.有水平渐近线无铅垂渐近线 无水平渐近线无铅垂渐近线B.D.有水平渐近线有铅垂

3、渐近线 无水平渐近线有铅垂渐近线7.已知b. -TCC.In x CD.- In x C8.函数f(x)二sin 2x的原函数是(A. 2cos2x B.丄 cos2x2C.2 cos xD.1sin 2x219.定积分| x|d x =(B )A. 0B. 1C. 2D.10. X = 2是函数 f (x)二 arctan2 xB.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点得分评阅人A.连续点1.、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)广义积分0 xe2.ln2x0 t(et -1)dt3. lim.2xtx tan x4. f (x) = I n x按(x -2)的幕展开的带有佩亚诺余项的3

4、阶泰勒展开式为In x=ln2、(x-2)-8(x-2)2 (x-2)3 o (x-2)3 5曲线yx3相应于的这段弧长为4(2. 2 -1)。3得分评阅人三、计算题(共8小题，每小题6分，共48 分)12+ dy1. y = xarctanxln(1 x ),求2dx解：3=arctanx 亠-丄二 .5分dx1 +x2 2 1+x2=arctanx .1分2.li叫壬一&)x 1 x -1 ln x解:原式=limJ33ln xx 1x3 -1 In x3.=xm=妁3-3x2x2. x -1 3x ln xx3 _3x33x3ln x x3 -1-9x22229x In x+3x 3xt

5、anxlim+ (sin x )XrO+lim tanxlnsinx解：原式=eo+.1分.2分.2分 .1 分.2分limeIn sin xcotxlimx O+ecosxsin x12sin xlim -cos xs in x=ex)o+=1.2分.1分.1分4.设 X2 一 y2 = 1，求 。dx解：方程两边同时关于x求导得，2x 2yy#o,.2分5.解:x sin x , dx1 cosx原式=x，1 +cosx12 x6.解:.3分.sin x +dx 1 cosx= -sec dx+ tan - dx 2 2 2=xd ta nx+ tan - dx2 2=xtan- tand

6、x 亠 itan%x2 2 2丄 x c=xta n +C2dxIn x dx原式=-In xdx In xdx- 11= -xlnx+x +xlnx-xe.1分.1分.2分.1分.1分.2分.3分22 -e.1分7.；n2 -1 匚e，xdx解；令dxdt当 x =0 时，t =0 ;当x=ln2时，t拧。原式= Jdt二1 -t21t|-2301 -t3+ln(2+ 3)28.设f(x)的一个原函数为sinxlnx, 求 xf (x)d解： f (x) =cosxl nxxxf (x)d x=xd f (x) .1 分.1分.2分.1分.1分.1分.2分.2分.1分得分评阅人=xcosxl

7、nx sinx-sinxlnx C四、应用题(共1小题，共11 分)=xf (x) - f (x)dx.2分 .2分.2分1.由曲线宀nx,直线x=笃和x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)，问t为何值时，V(t)有最大值。2t解：V(t)二sin2xdx v tJT 2t=ft (1cos2x)dx兀(sin2x 2t = x=沁泌/2 t 2 2.1分22 tn:V (t)= -(1 -2cos4t cos2t)2.2分令V (t)=0，即-2cos4t cos2t 1=0， 也就是 4cos2 2t - cos2t - 3 = 0。3解方程得 cos2t , cos2t = 1 (舍)。41 3t arccos( )。2 4.1分对于2t -13，V (t) (8sin 4t 2sin 2th： 0，从而 t =1 arccos(-三)为极大224值点。V(t)有最大值。.1分得分评阅人于是当t二arccos(-3)，24五、证明题(共1题，每题6分，共6 分)1.设函数f(x)在0,1丨上连续，在(0,1)内可导，且f(0) = f(1) = 0,试证：至少存在一点匚0,1，使得f 匚：1。证明：设：:(x) = f (x)- x,则(x)在1.0,11上连续，在(0,1)内可导。.2分(