《确定二次函数的表达式》(第一课时)

1、第二章 二次函数确定二次函数的表达式（第1课时）教学设计中卫市中宁县徐套九年制学校 褚海燕一、学生知识状况分析学生已经学习了二次函数的一般式、 顶点式以及交点式三种表达式， 二次函 数的图象和性质，尤其对特殊类型的二次函数图象已有充分的认识 . 以前已经学 习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式， 因此本节课学生用类比 的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难。 因此，课堂 教学时应鼓励学生敢于探究与实践， 通过小组合作交流等形式， 充分调动学生自 主学习的积极性和培养学生主动发展的习惯和能力 . 在学生自主学习时，要注意 引导学生灵活应用二次函数的三种形式 : 一

2、般式、顶点式、交点式，以便在用待 定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程 .二、教学内容分析本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学 （北师大版） 九年级下册第二 章第 3节确定二次函数的表达式 的第 1 课时. 本节课是在学习二次函数的表达 式和图象性质的基础上展现， 目的为二次函数的实际应用奠基， 是本章学习的关 键点. 本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题 抽象数学模型， 用待定系数法求解二次函数表达式， 学生能够根据条件灵活应用 二次函数的三种形式 : 一般式、顶点式、交点式，以便在用待定系数法求解二次 函数表达式时减少未知数的个数，简化

3、运算过程 .三、本节课的教学目标知识与技能：能够根据二次函数的图象和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式， 并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式 .过程与方法：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维 过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法情感、态度与价值观：能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极 参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念， 养 成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学 生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识 .四、教学重难点重

4、点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二 次函数表达式.难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二 次函数表达式.五、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：复习思考一初步探究一知识讲解一 反馈练习一总结提升一课后思考布置作业第一环节复习思考1.( 1)二次函数表达式的一般形式是什么？y=ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a 工 0)(2) 二次函数表达式的顶点式是什么？2y = a(x - h) k( a 工 0).(3) 若二次函数 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴两交点为(x,0),(x2,0)，则其函数表达式可以表示成什么形式？

5、y = a(x -x,)(x -x2)( a 工 0).4.我们在用待定系数法确定一次函数 y=kx+b(k,b 为常数，k 工 0)的关系式时，通k常需要个独立的条件；确定反比例函数y=k（k 工 0）的关系式时，通常只需x要个条件如果要确定二次函数的关系式 y=ax2+bx+c （a,b,c 为常数,a 工 0），通常又需要几个条件?（学生思考讨论后，回答）如图 2-7 是一名学生推铅球时，铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）的图象，你能求出其表达式 吗？分析：要求 y 与 x 之间的关系式，首先应观察图 象,确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式， 再把已知点的坐 标代

6、入解析式求出待定系数即可.此题设二次函数的顶点坐标式进行求解较为简便，学生较易接受； 如学生通 过找 （10，0）在抛物线上的对称点（-2，0），用交点式y = a （x-xj（x-x2）（ a工 0）求解或用其他方法求解均可解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4, 3），因此设它的关系式为2y = a（x -4） 3,又图象过点（10，0）,（10 4）2a +3=0,解得 a ,12图象的表达式为 y -（4）23.12想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？小结：确定二次函数的关系式 y=ax2+bx+c （ a,b,c 为常数，a 工 0），通常需要3个条件；当知道顶点坐标（h,k

7、）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式第二环节初步探究y二a（x -h）2 k可以确定二次函数的关系式.第三环节知识讲解例 1 已知二次函数 y=ax2+c 的图象经过点（2, 3）和（一 1,-3）,求出这 个二次函数的表达式.分析：二次函数 y=ax2+c 中只需确定 a,c 两个系数，需要知道两个点坐标， 因此此题只要把已知两点代入即可.解：将点（2, 3）和（1，- 3）分别代入二次函数 y=ax2+c 中，得3 = 4a + c,一 3 = a + c,解这个方程组，得3=2,c 5.所求二次函数表达式为：y=2x2- 5.做一做：已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1

8、,且经过点（2, 5）和（-2 , 13） ，求这个二次函数的表达式.意图：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵 活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生 通过实践感受到二次函数一般式 y=ax2+bx+c 确定二次函数需要三个条件但由 于这个二次函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 1,所以 c=1,因此可设 y=ax2+bx+1 把已知的二点代入关系式求出 a,b 的值即可.教学注意事项：学生可能会根据条件，设二次函数的解析式y=ax2+bx+c,把点（0, 1）, （2, 5）, （-2 , 13）代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生

9、 可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决解法1解：因为抛物线与 y 轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为2y = ax bx 1,图象经过点（2,5）和（-2,13）.4a+2b h =5,解得：a=22b+1 =13,lb=-2 这个二次函数关系式为y = 2x2- 2x 1解法 2 解：设抛物线关系式为 y=ax 2+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0, 1), (2,5)和(-2,13),c,a =2 4a 2b 5,解方程组得：b=-24a -2b c = 13,C=1 这个二次函数关系式为y = 2x2一2x 1想一想在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就

10、可以确定它的表达式？1. 用顶点式y=a（xh）2确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时,那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式2.用一般式 y=ax2+bx+c 确定二次函数时，如果系数 a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式注：如果系数 a,b,c 中三个都是未知的，这个我们将在下节课中进行研究.第四环节：反馈练习1. 已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过点（1，4），求这个二次函数的 表达式.2. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（2, 5）与（-1，-1 ）两点，求这个二 次函数的表达式3.

11、 已知二次函数图象与 x 轴交点的横坐标为-3 和 2,且经过点（0，12），求这 个二次函数的表达式.答案：1.y = （x + 1）2+ 2,2. y = x2+x-1,3.y= - 2- 2x+ 12.目的：三个练习旨在对学生求二次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程.三个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求二次函数的方 法对于练习题 3,设抛物线的三种表达式都可以求解，应给学生有充分的交流 时间，让学生体会到这题用交点式求解更为简便.学生若出现解题格式不规范的 情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯.第五环节总结提升内容：总结本课知识与方法1 本节课

12、主要学习了怎样确定二次函数的表达式，在确定二次函数的表达式时 可以用待定系数法，即先设出二次函数的解析式，再根据题目条件（根据图象或 已知点）列出方程（组），解方程（组）求出待确定的系数，最后 答（把求出的系 数代回关系式中写出关系式）.在解题时应灵活应用二次函数的三种形式：一般式、 顶点式、交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数， 简化运算过程.因此，用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）! !知道顶点设顶点知知道顶点设顶点知51”轴的两交点设交点式，邮不知设一般轴的两交点设交点式，邮不知设一般st. !VI2本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合

13、、方程的思想.目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化.3.学习了在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表 达式？（1） 用顶点式y=a（x-h）2确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时, 那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式（2）用一般式 y=ax2+bx+c 确定二次函数时，如果系数 a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式第六环节课后思考已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？如何确定？女口：已知二次函数的图象经过（一 1, 10）, （1,

14、4）, （2, 7）三点，求这个 函数的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标第七环节作业布置课本习题 2.6 :第 1, 2 题六、教学设计反思1.设计理念本节课的重点是要学生了解用待定系数法求二次函数的表达式需要两个条 件的情况，掌握用待定系数法确定二次函数表达式的步骤和方法，并能根据条件灵活选用二次函数的三种形式：一般式、顶点式、交点式，以便在用待定系数法 求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课设计注重发展学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能 力及应用意识的培养，为后继学习打下基础.2 突出重点、突破难点策略探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到二次函数就在我们身边.教学中注意到利用问题串的形式