多元线性回归模型的假设检验

1、第四节 多元线性回归模型的假设检验根据样本观察值应用最小二乘法对多元线性回归模型进行估计时，与一元线性回归模型一样，必须对拟合优度（在第二节中已经介绍）、回归系数的显著性以及回归方程的显著性进行一系列的检验,在这一节将讨论这一系列问题。一、 关于个别偏回归系数的假设检验 虽然拟合优度度量了估计的回归直线与样本观察值之间拟合程度，但是本身却不能告诉我们估计的回归系数是否在统计上是显著的，也就是否显著不为零。如果有的回归系数显著不为零，则其对应的解释变量对因变量的影响是重要的，否则就是不重要的，应该把这个解释变量从模型中剔出，重心建立更为简单的模型，因此，必须对回归系数的显著性进行检验。同一元线性

2、回归模型一样，在多元线性回归模型中，如果随机项和解释变量满足基本假定的要求，同样可以证明参数估计量服从其均值和方差的正态分布。由于总体方差未知，在第三节中我们已经证明了的无偏估计量为 ，因此可用代替，则OLS估计量服从自由度为的分布，而不是正态分布。即 （4-4-1）具体检验步骤如下：1提出假设：零假设 ：=0 备则假设 ：02. 在成立的条件下,计算统计量 （4-4-2）3在给定显著性水平的条件下，查表得临界值4判断若，则拒绝：=0，接收：0。这是因为接收的概率保证程度很大，也就是说接收犯错误的概率很小，说明所对应的解释变量对因变量有显著影响。若，则接收：=0，即与0的差异不显著，这种情况下

3、，只有接收，犯错误的概率才会小。说明对应的解释变量对因变量没有影响。对参数的显著性检验，同样可以通过P值来检验。检验方法同一元线性回归模型一样，即如果的检验值的P值都很小，说明显著异于零，也就是说在拒绝零假设的过程中，犯错误的概率很小。 二、关于总体显著性的假设检验与一元线性回归模型一样，对于多元线性回归模型的总体显著性检验，同样可以运用检验的方法进行显著性检验，也可以运用值进行检验。具体方法如下：1提出假设 零假设 ： 备择假设 ：不全为02在成立的前提条件下，由样本观察值计算统计量 = （4-4-3） = （4-4-4）3在给定显著性水平时，查表得临界值4检验，若>，拒绝，即回归方程

4、显著成立。 若<，接收，即回归方程不显著成立。对于多元线性回归方程总体性的显著性检验，同样可以运用统计量的值进行检验。如果统计量的值很小，说明拒绝零假设犯错误的概率很小，也就是说拒绝零假设的概率保证程度很大。对根据表5-1得到的国内生产总值与最终消费、资本形成之间的回归模型的总体显著性的检验如下：根据表5-2得到回归分析运算结果可知：其中 =0.05 =36354.31 显然 > 即根据国内生产总值与最终消费、资本形成之间的回归模型的是显著成立的。对于总体方程的显著性检验，同样可以运用统计量的值进行检验。得出的结论是相同的。从表5-2得到的回归分析运算结果表中可知，当=36354.

5、31时, =(0.000000),也就是说拒绝零假设，犯错误的概率几乎没有。三、对两个回归系数是否相等的检验在多元线性回归模型中，如： （4-4-5）如果式（4-4-5）代表对某商品的需求量的一个线性回归模型，其中：Y ：某商品的需求量X1：该商品的价格X2：消费者的收入X4：消费者的财富在这里如果我们要检验这样一个假设，即 1提出假设 零假设 ： 或 备择假设 ： 或 即两个斜率系数和相等。这个虚拟假设是说，收入系数与财富系数相等。如何检验这样一个虚拟假设呢？在经典假设的条件下，可以证明：2构造统计量 （4-4-6） （4-4-7）由于，在虚拟假设成立的条件下，我们构造的统计量为： （4-4

6、-8） 3给定显著性水平，得到临界值。 4检验，如果，则拒绝：，接受： 如果，则接收，即对于两个回归系数是否相等的检验，我们同样可以运用统计量的值进行检验，如果统计量的值合理的低，就可拒绝虚拟假设。四、受约束的最小二乘法：线性等式约束的假设检验经济理论针对某一回归模型中系数提出一些满足线性等式约束的条件。例如，柯布道格拉斯生产函数： （4-4-9）其中 Y ：产出X1：劳动力投入X2：资本投入式（4-4-9）写成对数形式，方程就变为： （4-4-10）经济理论提出，如果规模报酬不变，即每一同比例的投入变化有同比例的产出变化。结合线性等式约束就是： （4-4-11）那么对线性等式约束如何进行检验

7、呢？一般有如下两种方法。（一）检验方法 首先，对式（4-4-10）用OLS法进行参数估计（做无限制或无约束的回归），然后通过检验方法对约束条件进行检验。具体方法如下：1提出假设 零假设 ： 备择假设 ： 2在成立的假设条件下，构造统计量。 即 （4-4-12）3给定显著性水平，得到临界值。4检验，如果，则拒绝：，接受： 如果，则接收：。（二）检验方法检验的方法是在“无约束”回归估计之后，再看线性约束是否被满足。另一种直接的方法就是一开始便把约束条件式（4-4-11）纳入估计过程中，进而对约束条件进行检验。具体过程如下：有式（4-4-11）可得： （4-4-13）或 （4-4-14）把式（4-4

8、-13）代入式（4-4-10），则柯布道格拉斯生产函数变为： 或 (4-4-15)即 （4-4-16）其中和，两者都是有重大经济意义的经济指标。如果我们从式（4-4-15）或（4-4-16）中估计出参数，则参数就可以从式（4-4-11）中计算出。显然，这种估计过程保证了所估计的两个投入系数之和等于1。式（4-4-15）或（4-4-16）所描述的程序被称为受约束的最小二乘法（RLS）。此程序可推广到含有任意多个解释变量，以及有多个线性等式约束的模型。 怎样比较无约束的和受约束的两个最小二乘回归模型呢？也就是说，我们怎样知道约束（4-4-11）是否真实？这个问题可以通过以下的检验得以完成。具体步骤

9、如下： 1提出假设 ： （受约束） ： （无约束）2在成立的条件下，构造统计量。令 ：无约束回归即式（4-4-10）的RSS ： 受约束回归即式（4-4-15）的RSS ： 线性约束的个数 ： 无约束回归模型中解释变量的个数 ： 观察值个（期）数 我们构造的统计量就是： （4-4-17） 其中，下标UR和R分别表示无约束和受约束。统计量的表达式还可以用表示如下： （4-4-18）其中，和分别是无约束式（4-4-10）和受约束式（4-4-15）回归的值。在这里应注意： 即 3在给定显著性水平，查表得到临界值4检验，若>，拒绝，即模型中的参数无约束。 若<，接收，接受模型中的参数受约束

10、的真实性。在这里，我们要提醒大家，式（4-4-17）或式（4-4-18）所构造的统计量，可以说提供了检验多元回归模型中一个或多个参数的假设的一般方法。那么在前面所介绍的检验只不过是式（4-4-17）或式（4-4-18）的一个应用特例。例题：下表给出1978-1998年中国的国内生产总值、劳动力投入和固定资本投入的实际数据。见表4-3 单位：亿元 年份 国内生产总值（Y） 从业人员（X1） 固定资本投入（X2） 1978 3605.6 40152 1073.9 1980 4551.3 42361 1318.0 1985 8792.1 49873 2641.0 1987 11784.0 52783

11、 3742.019881989 14704.016466.0 54334553294624.04339.0 1990 18319.5 63909 4732.0 1991 21280.4 64799 5940.0 1992 25863.6 65554 8317.0 1993 34500.6 66373 12980.0 1994 46690.7 67199 16856.3 1995 58510.5 67947 20300.5 1996 68330.4 68850 23336.1 1997 74894.3 69600 25154.2 1998 79853.3 69957 28180.8资料来源：19

12、99年中国统计年鉴要求根据表4-3中的数据,检验对生产函数作不变规模假定的真实性。根据表4-3中的数据，运用OLS法建立我国的柯布道格拉斯生产函数为： （4-4-19） （3.1788） (0.3386) (0.0651) = (-0.8694) (1.4815) (12.6464) =0.9926 =0.9912其中在式（4-4-19）中，因为对参数没有作任何约束，所以这是一个无约束回归。现在,假如我们施加约束条件,即,也就是说中国的国民经济存在不变规模报酬。在此约束条件下，我们运用OLS法得到的回归估计结果如下： (4-4-20) （0.0624） (0.0294)= (14.9699)

13、(30.3509) =0.9871 =0.9861 这里应注意，在比较（4-4-19）无约束回归模型与（4-4-20）受约束回归模型的拟合优度时，由于两模型中的因变量不同，不能用直接进行比较，而只能用进行比较（已在本章的第二节中介绍过）。下面就对中国的国民经济是否存在不变规模报酬问题进行检验。具体步骤如下：1提出假设 ： （受约束） ： （无约束）2在成立的条件下，构造统计量。从式(4-4-19)和(4-4-20)中已知=0.9926, =0.9871 = =8.91993在给定显著性水平，查表得到临界值。当=0.05时 =4.754检验，若>，拒绝，即模型中的参数无约束。也就是说我们得

14、到的检验值,在统计上是不显著的。说明中国的国民经济不存在不变规模报酬问题。五、回归模型的结构稳定性检验 我们在对经济现象进行时间序列分析时，往往会存在经济发展转折期，也就是因变量Y与解释变量X之间可能会发生结构的变化。结构的变化可能是由于内部因素本身造成的(例如,在1973年、1979年以及19901991年的海湾战争期间,由OPEC石油卡特尔组织发起的石油禁运)，也可能是由于政策的变化(例如我国在改革开放前后，即1979年前后国民经济的发展水平)。结构性变化是指两个不同时期的回归模型截距不同，或者斜率不同或者截距和斜率都不相同。如何发现模型中确实发生了结构变化呢？具体地，我们结合196319

15、98年我国国内生产总值的数据，来探讨这一问题。表4-4 19631998年国内生产总值 单位：亿元 年份 时间(X)国内生产总值(Y) 年份时间(X)国内生产总值(Y) 1963 1 1233.3 1981 19 4862.4 1964 2 1454.0 1982 20 5294.7 1965 3 1716.1 1983 21 5934.5 1966 4 1868.0 1984 22 7171.0 1967 5 1773.9 1985 23 8964.4 1968 6 1723.1 1986 24 10202.2 1969 7 1937.9 1987 25 11962.5 1970197189

16、 2252.7 2426.4 1988 19892627 14928.3 16909.2 1972 10 2518.1 1990 28 18547.9 1973 11 2720.9 1991 29 21617.8 1974 12 2789.9 1992 30 26638.1 1975 13 2997.3 1993 31 34634.4 1976 14 2943.7 1994 32 46759.4 1977 15 3201.9 1995 33 58478.1 1978 16 3624.1 1996 34 67884.6 1979 17 4038.2 1997 35 74462.6 1980 18

17、 4517.8 1998 36 79395.7资料来源：1999年中国统计年鉴 假如我们要根据表4-4中的数据建立一个国内生产总值的长期趋势模型，从表4-4中数据可以发现，19631998年期间国内生产总值确实经历了19631975年（称为改革开放前）和19761998（称为改革开放以后）两个不同时期。也就是说，国内生产总值的长期趋势模型在这两个时期之间精力了一个结构性变化，为了观察这种变化是否真实我们把数据分为两个时期：19631975年和19761998年。得到三种可能的回归模型如下：时期： 19631998年 （4-4-21）时期： 19631975年 （4-4-22）时期： 19761

18、998年 （4-4-23）式(4-4-21)回归假定了两个时期没有差别，估计整个时期的Y与X之间的关系，而式（4-4-22）与式（4-4-23）回归假定了Y与X之间的关系在这两个时期是不同的。利用表4-4中的数据，得到了如下回归结果：时期：19631998年 = (-3.2253) (7.5096) =0.6238 =6.49E+09 df=34时期：19631975年 = (16.0276) (15.3070) =0.9552 =162062.5 df=11时期：19761998年 = (-3.0519) (8.6824) =0.7821 =2.94E+09究竟模型(4-4-22)和(4-4

19、-23)是否存在结构性变化,如果没有结构性变化,就应该合并全部观察值,只估计一个国民经济长期趋势模型即可,即只估计模型（4-4-21）就可以了。那么，怎样才能知道模型的结构是否具有稳定性呢？目前有一种应用非常广泛的检验方法，由于它是仿效邹至庄而命名的，因此被成为邹检验（Chow）。 在进行邹检验时，随机项必须还要遵循以下两个基本假定：1 随机项，随机项，即，就是说随机项和是具有相同方差（具有同方差性）的正态分布变量。2 随机项和的分布是相互独立的。邹检验的具体步骤如下：1提出假设 ：回归模型（4-4-22）和（4-4-23）存在结构稳定性，即，。 ：回归模型(4-4-22)和(4-4-23)不

20、存在结构稳定性。2 成立的条件下，构造构造统计量。 （4-4-24）其中，为模型中参数的个数，分别为模型（4-4-22）和（4-4-23）中的观察值的项数。3 在给定显著性水平的条件下，查临界表得到。4 检验，如果，拒绝，即模型（4-4-22）和（4-4-23）不存在结构稳定性。如果，接受，即模型（4-4-22）和（4-4-23）存在结构稳定性。再回到我们的例子，结果如下： 54.6336当=0.05时, =3.32所以 ，,即模型（4-4-22）和（4-4-23）不存在结构稳定性，也就是说两时期的长期趋势模型不相同。第五节 预测 对于多元线性回归模型 根据样本观察值（，利用最小二乘法求得样本

21、回归方程 所谓预测就是给定解释变量的某一特定向量值，），对因变量的个别值以及均值E()进行估计。一、点预测利用样本回归方程，容易计算 同第三章讨论的一样，可以作为总体个别值以及均值E()的无偏估计量。 二、区间预测区间预测包括两个方面，一方面是总体个别值的区间预测，另一方便是总体均值E()的区间预测。预测的具体过程同第三章讨论的一样，在这里只向大家做一简单的介绍。设是因变量观测值向量与预测值向量之差。即=- （4-5-1）是一随机向量，服从均值为零，方差为 （4-5-2）的正态分布。即 N（0，）由于未知，只能用它的估计值代替，则可得的方差和标准差估计值。可以证明，统计量 = （4-5-3）即

22、 = （4-5-4）对给定的显著性水平，查表可得临界值，得到因变量个别值的1-预测区间为： - + （4-5-5）同理可得总体均值E()的1-预测区间为：-E() + （4-5-6） 第六节 回归模型的其它函数形式 前面我们讨论线性回归模型，其结构具有两个方面的特点：一方面是被解释变量是解释变量的线性函数，即变量线性模型。另一方面是被解释变量是参数的线性函数，即参数线性模型。实际上用以在复杂经济现象中，用以描述经济现象的之间的关系往往不可能符合上述的参数线性(LIP)和变量线性(LIV)的特点。例如，假定对式（3-2-8）给出的LIP/LIV经济计量学教材的需求函数，式（3-2-8）中的斜率仅

23、仅给出了价格每变动一个单位而引起的（平均的）需求变动的绝对量。现在我们想要估计需求的价格弹性，但是我们从式（3-2-8）却无法估计出这个弹性。然而，在我们即将讨论的对数模型，却很容易计算出这样一个弹性。在这一节中我们将讨论参数是线性模型，而变量不是线性模型的这样一些函数形式。在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。在本节中我们将讨论下面几种形式的回归模型：1 对数线性模型。2 半对数模型。3 双曲线函数模型。4 多项式回归模型。所有这些模型的一个重要的特征是：它们都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。一、 双对数线性模型 现在我们再来看第三章中讨论的对经济计量学需求一例，但是现

24、在考虑如下形式的需求函数。 (将在下面估计式中引进随机项) （4-6-1）在这个模型中，变量是非线性的。但可将式(4-6-1)做恒等变换表示成另一种形式： （4-6-2）令 （4-6-3）将式(4-6-3)代入式(4-6-2)中,可得 (4-6-4)为了估计，将模型（4-6-4）引入随机项,可得 (4-6-5)式(4-6-5)是一个线性模型,因为参数和是以线性形式进入模型的，而且还是以对数形式变量为变量的线性模型。（原始模型（4-6-1）变量是非线性的），因此，我们将形如式（4-6-5）的模型称为双对数(double-log)模型（因为两个变量都是以对数形式出现）或称为对数线性（log-lin

25、er）模型。那么如何使非线性回归模型转化为线性模型呢？在这里，对于对数线性回归模型就是通过对数变换而实现的。具体变换方法如下：令 =， 代入模型（4-6-5）中得 （4-6-6） 可以发现模型（4-6-6）与我们前面讨论的线性回归模型是一样的，因为模型中不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量与之间也是线性的。对于变形后的模型（4-6-6），如果它满足古典线性回归模型的基本假定，则非常容易用普通最小二乘法来估计它，并且 得到的估计量是最优的线性无偏估计量。在实际的经济活动分析中，双对数模型的应用是非常广泛的，其原因在于，它有一个很吸引人的特点，也就是斜率度量了Y对X的弹性，即给X一个（很小）的变

26、动所引起的Y变动的百分比。用公式表示如下： E=Y的变动%/X变动的% = =斜率 （4-6-7）如果在式（4-6-7）中Y代表商品的需求量，X代表商品的单位价格，则E就是需求的价格弹性。例1在式（3-2-8）中，我们给出了对经济计量学教材的需求函数,但是不难发现需求量和价格之间是近似的线性关系的，因为并非所有的样本点。下面我们来讨论一下,如果用对数线性模型拟合表32给出的数据，结果又会如何呢？为了方便，这里列出具体数据，见表4-5 表4-5各专业对经济计量学教材的需求 需求量Y 价格X 89 5 4.4886 1.6094 86 10 4.45432.3026 84 15 4.43082.7

27、081 82 20 4.40672.9957 80 25 4.38203.2189 79 30 4.3694 3.4012 76 35 4.3307 3.5553 74 40 4.3041 3.6889 70 69 45 504.24854.2341 3.8067 3.9120 OLS回归结果如下： （4-6-8） =（0.0482） （0.0151） =（97.4780） （-7.1586） =0.8649从回归结果可知,价格弹性约为 -0.11，表明价格提高一个百分点，平均而言，需求量将下降0.11个百分点。根据定义，如果产品的价格弹性的绝对值小于1，则称该产品是缺乏弹性的。因此，在经济计

28、量学一例中，价格是缺乏弹性的。截距值4.70表示了为零时, 的平均值。同样，这里的截距没有什么具体的经济含义。=0.8649，表示解释了变量的86%的变动。另外，对于对数线性模型的检验，应采用同线性回归模型一样的方法进行检验。前面我们介绍了两个变量的对数线性回归模型，这很容易推广到模型中存在多个解释变量的情形。例如，我们可将三变量的对数线性模型表示如下： （4-6-9）在这个模型中，偏斜率系数和又称为偏弹性系数。因此，是Y对的弹性（保持不变），即在为常量时，每变动1%，Y变化的百分比。由于此时为常量，所以我们称此弹性为偏弹性。类似地，是Y对的偏弹性（保持不变）。概括地说，在多元对数线性模型中，

29、每一个偏斜率系数度量了在其它变量保持不变的条件下，因变量对某一解释变量的偏弹性。例2 根据表4-3给出的19781998年间总产出（用国内生产总值GDP度量），劳动投入（用从业人员度量，单位为万人），以及资本投入（用固定资本度量），运用OLS法建立我国的柯布道格拉斯生产函数为：见式（4-4-19） （3.1788） (0.3386) (0.0651) = (-0.8694) (1.4815) (12.6464) =0.9926 =0.9912对回归方程（4-4-19）解释如下：偏斜率系数0.5616表示产出对劳动投入的弹性，也就是说，05616表示在资本投入保持不变的条件下,劳动投入每增加一个

30、百分点,平均产出将增加0.56%。类似地，在劳动投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增加0.82%。如果将两个弹性系数相加，我们将得到一个重要的经济参数规模报酬参数，它反应了产出对投入的比例变动。如果两个弹性系数之和为1，则称规模报酬不变（如同时增加劳动和资本为原来的两倍，则产出也是原来的两倍）; 如果两个弹性系数之和大于1,则称规模报酬递增(如同时增加劳动和资本为原来的两倍，则产出是原来的两倍多); 如果两个弹性系数之和小于1, 则称规模报酬递减(如同时增加劳动和资本为原来的两倍，则产出小于原来的两倍)。在本例中，如果两个弹性系数之和为1.3846,表明中国经济的特征是

31、规模报酬递增的。另外，在本例中参数以及总体性都通过显著性检验，值为0.993,表明(对数)劳动力和资本解释了大约99.3%的(对数)产出的变动，很高的解释程度表明模型（4-4-19）很好地拟合了样本数据。二、半对数线性模型在经济现象进行分析时，有时大家对某一经济变量的增长率感兴趣。比如说，经济增长率、未偿付消费者信贷的增长率等等。在回归分析中，我们就是用半对数模型来测度这些增长率的。表4-6给出了1981-1998年间我国未偿付消费者信贷(国内债务)的数据。现在我们就来计算在此期间的未偿付消费者信贷的增长率。我们来回忆以下在货币、银行以及金融等课程中介绍过的复利计算公式： （4-6-10） 其

32、中， ：Y的初始值（消费者在银行的初期存款额） ：第年的Y值 ：Y的增长率（复利率） 将式（4-6-10）的两边取对数，得：=+ （4-6-11）令 = （4-6-12）= （4-6-13）则模型（4-6-11）可表示为：=+ （4-6-14）若引进随机误差项后，得到： =+ （4-6-15）我们把如式（4-6-15）的回归模型称为半对数模型，因为在这个模型中，仅有一个变量以对数的形式出现在式（4-6-15）中，因变量以对数形式出现，其中模型中解释变量为对数形式的半对数模型，将在后面介绍。那么如何解释这类模型呢？很清楚，如果模型（4-6-15）在满足OLS基本假定的条件下，我们就可以运用最小二

33、乘法来估计模型（4-6-15）。进而进行进一步的检验与应用。根据表4-6提供的数据，得到如下回归结果： 表4-6 中国1981-1998未偿付消费者信贷 单位：亿元 年份 Y 年份 Y 1981 48.66 1990 93.46 1982 43.83 1991 199.3 1983 41.58 1992 395.64 198442.53 1993 314.78 1985 60.61 1994 1028.57 1986 60.51 1995 1510.86 1987 63.07 1996 1847.77 1988 92.17 1997 2412.03 1989 56.07 1998 3228.7

34、7资料来源：中国统计年鉴1999年 （4-6-16） （0.2777）（0.0257） =（9.5728）（10.8148） =（0.0000）（0.0000） =0.8797对式（4-6-16）的回归结果解释如下：由于在如式（4-6-16）这样的半对数的模型中，斜率度量了给定解释变量的绝对变化所引起的Y的比例变动或相对变动。将此相对改变量乘以100，就得到增长率在这个例子中，平均而言，（未偿付消费者信贷）的年相对变化率为0.2774,因而年增长率为27.74%。正因为如此，所以半对数模型又称为增长模型，通常我们用这类模型来测度许多变量的增长率，包括经济变量和其它一些非经济变量。对于截距2.6

35、582是当=0时的Y的初始值,我们多次指出通常截距是没有特别实际的意义。在这里我们要注意一个问题，就是单利增长率与复利增长率问题。在式（4-6-13）中，已知 =的估计值则 =anti那么，Y的复利增长率就可以计算出来了。 = anti-1 （4-6-17）在这个例子中 = anti= （4-6-18）即在给定的样本区间内, 未偿付消费者信贷的年增长率为%.这与前面计算的27.74%的区别就在于,27.74%是Y的单利增长率,而%是复利增长率。在实际的经济活动分析中，我们通常运用的是单利增长率指标。在前面，我们讨论了因变量是对数形式而解释变量是线性形式的增长模型，为了描述方便，称之为对数线性模

36、型（log-lin model）或增长模型（growth modei）。下面，我们将介绍因变量是线性形式而解释变量是对数形式的模型。相应地，称之为线性对数模型(lin-log model)。我们用一个具体的例子来介绍线性对数模型。例3 表4-7给出了中国1985-1998年之间的国内生产总值（GNP）与国家银行现金支出的具体数据。 表4-7 中国1985-1998年国内生产总值与银行现金支出 单位： 亿元 年份 GDP（Y） 银 行 现 金支 出（X） 年份 GDP（Y）银行 现 金支 出（X） 1985 8964.400 5694.800 1992 26638.100 32406.200 1

37、986 10202.200 6843.900 1993 34634.400 50412.500 1987 11962.500 9015.700 1994 46759.400 72671.000 1988 14928.300 13490.000 1995 58478.100 97322.300 1989 16909.200 15267.600 1996 67884.600 121179.900 1990 18547.900 17471.400 1997 74462.600 142988.300 1991 21617.800 21998.500 1998 79395.700 204993.100资

38、料来源：1999年中国统计年鉴。通过例3我们想了解一下货币支出与国内生产总值的影响，现考虑建立下面的模型：即 =+ （4-6-19）其中， ：国内生产总值 ：现金支出根据表4-7得出回归结果如下： （4-6-20） （16448.66） （1576.438） = （-10.8890） （13.1019） = （0.0000） （0.0000） = 0.9347对于式（4-6-20）的回归结果通常的解释就是，斜率系数20654.32表示银行现金支出每增加一个百分点，GDP的绝对变化量为20654.32亿元。如何来理解这一解释呢？我们首先来回顾以下对数形式的变化，对数形式的变化又称为相对变化，则模

39、型（4-6-19）中的斜率系数的度量方法为：如果 =+用微分，可以证明： 因此 = （4-6-21） 式（4-6-21）表示斜率系数等于Y的绝对变化量除以X的相对变化量。对式（4-6-21）可以变形为： （4-6-22）式（4-6-22）表明，Y的绝对变化量等于乘以X的相对变化量。则式（4-6-22）说明X每变动一个百分点，Y的绝对变动量（即若每变化0.01个单位或1%,则Y的绝对变化量为0.01。如若=386，则Y的绝对变化量为0.01×386=3.86。因此，在用OLS法估计线性对数模型即形如式（4-6-19）的回归方程时，求Y的绝对变化量时，需将用估计的斜率系数乘以0.01或者除以100。我们再来看模型（4-6-20）给出的GDP银行现金支出的回归结果，不难发现银行支出每增加一个百分点，平均而言，GDP将增加206.5432(注：将估计的斜率值除以100)。因而，形如式（4-6-19）这样的线性对数模型，通常用于研究解释变量每变动1%，相应的因变量的绝对变化量。另外如果式（4-6-19）中，有多个对数形式的解释变量，那么，同样每一个偏斜率系数度量了在其它变量保持不变的条件下，某一给定变量X每变动1%，所引起的因变量的绝对变化量。 三