求数列通项公式的十种方法

1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一.利用递推关系式求数列通项的 11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四.求数列通项的基本方法是 ：累加法和累乘法。五.数列的本质是一个

2、函数，其定义域是自然数集的一个函数、累加法1 .适用于：an an f (n) 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之2.若 an 1 -an 二 f (n) (n 一 2),a2 - ai 二 f 则比-去'(2)III IIIan 1 -an 二 f(n)n两边分别相加得anq-a/V f(n)例1已知数列an满足anan 2n T,日=1 ,求数列an的通项公式。解：由 an 1 = an 2 n 1 得 an 彳 - an = 2n 1 则an =(an -an4)(an4 - an/) III (a3 -a2) (a2 -aj & 二2(n-1)1 2( n-2

3、) 1 |l|(2 2 1) (2 11)1=2(n -1) (n -2)|l| 2 1 (n -1) 1=2此加(n-1) 12=(n -1)(n 1)1二 n2所以数列an的通项公式为an = n。例2已知数列an满足an 1 -an - 2 3n 1, a3,求数列%的通项公式。解法一：由 an an ' 2 3n 1 得 1 -令=2 3n 1 则an (an - an 丄)(an-an_2)丨l| (a3 - a2) (a ai) ai=(2 3nJ 1) (2 3n1WI - (2 32 1) (2 311) 3= 2(3nJ -3n- 32 31) - (n 一 1) 3

4、3(1 一3心)=2(n -1) 31-3=3n -3 n -1 3=3n n -1an21nn333所以 an =3n - n -1.解法二：an#=3an +27n十1两边除以3n+，得黑3则霧专吟右，故an an an 1 an J an _2 an _2 an _3a2 a1 ai衣珂顛兀)(兀产)(尹一乔)川(衣一R §2 1 2 1 2 1 2 珂3 R(3丽)七产)川(3 1二沁4 2丄二川1)13333332(n1)和-汨31-313丄丄22 3n '则务誇n 3n 1 T评注：已知 a1 =a ,an 4 - an =f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次

5、函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3已知数列an中,an 0且1 nSn = "2 (an *)2 an ,求数列an的通项公式Sn=£(an+E) Sn解:由已知 2an得Sn化简有Sn-Sn-,由类型有Sn2S2 _ n(n +1) 又S1二a1得a1 "，所以"2<2 n(n +1)，又 an >0,Sn =2an则.

6、2n(n 1) -、2n(n -1)此题也可以用数学归纳法来求解二、累乘法1.适用于：an 1 = f (n )an 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2.若也=f(n),则电二 f(1),鱼二 f(2),川川，也二 f(n)anaia2ann两边分别相乘得,也=內|丨f (k)k a例4已知数列an满足an 1-2(n 1)5n a.,印=3 ,求数列an的通项公式。解：因为 an 1=2(n 1)5n a.an 1= 2(n 1)5n ,故ananan Jan Jan _2a2ai二2(n1 1)52(n2 1)5心川2(2 1) 522(1 1) 51 3= 2nn(n _

7、1)3 2 5(nJ1)心"2 1 3n(n=3 2nl 5 2 n!n(n J.)所以数列an的通项公式为an =3 2nJ 5 n!.jn22例5设3 是首项为1的正项数列，且n 1 % 1 一 nan ' an何=0( n =1 , 2, 3，)，则它的通项公式是 an=解：已知等式可化为(an 1 an) (n 1)an 1 - naj - 0an 1_ nan >0 ( n N * y. (n+1) an卅一 nan = o 即 an n + 1亚 a1 口 .口1 1 丄an .1an J2a1= n n -12= n评注：本题是关于an和an 1的二次齐次

8、式，可以通过因式分解 (一般情况时用求根公式 )得 到an与an 1的更为明显的关系式，从而求出an.练习已知an 1二nan 5 一1® 一1，求数列伽的通项公式.答案：an = (n 一 1)!(a1 +1) -1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 1二nan n -1,转化为an 1 . 1 = n(an 1),若令bn = an T ,则问题进一步转化为 bn 1 = nbn形式，进而应用累乘法 求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于an1 =qan f(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数 ，其定义域是自然数集的一个函数。an 1 =

9、can*d,（cHO其中务=a）型(c 1V _d “J,(gO)(c -1) =d ,所以 c -1所以有anFrc(anc-1)因此数列dan c 1构成以ai以c为公比的等比数列，所以an ± 二佝丄)cnc 1c 1即:古c c1规律：将递推关系ddancan d化为and .二VCR .二1）,构造成公比为c的等比数an 宀an 1 Cn'(a1列c 1从而求得通项公式1 _Cc - 1逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an can d中把n换成n-1有an "can4 d ,两式相减有an 1 -缶二c（an - az）从而化为公比为c的等比数列a

10、nan,进（1）若c=1时，数列an为等差数列（2）若d=0时，数列an为等比数列（3）若c"且d = 0时，数列%为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列待定系数法：设an 1 . ' =c（an）d,比较系数得得 an =can +(C0 九 与题设 an* =can而求得通项公式 an勺一 =C心2 一引）,再利用类型（1）即可求得通项公式我们看到此方法比较复杂例6已知数列an中，ai -1,a2ani 1（n _2），求数列的通项公式。解法一 ：an =2anJ 1(n _2),.an 1 =2(an1)又7a1 2, an V是首项为2，公比为2的等比数列

11、.an 1 =2n，即 an =2n -1解法二：an = 2an j 1(n _ 2),-an 1 =2an 1两式相减得Oitan= 2（an-an）（n亠2），故数列and-af是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习.已知数列an中,=2,an iTan -,22求通项an答案：/ 1 2 丄 anT 12.形如：an厂P an q（其中q是常数，且n = o,1） 若p=1时，即：an1an q ,累加即可. 若P 1时，即：码1二P °n q ,n十求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以p .目的是把所求数列构造成等差数列第二聲+丄注广 5=5卄bn =丄d）

12、n即：pqpq,令p ，则pq，然后类型1，累加求通ii.两边同除以q 目的是把所求数列构造成等差数列即：an 1 p an 1 qg q qn qbn令冷bn 1 P bn -q ,则可化为qq 然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列in n 卅/设 an 1' qP(an通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求p = q，否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an 1 = 2an 4 3，a 1，求数列：9n '的通项公式。解法一（待定系数法）：设V '2（务，比较系数得勺=-4,匕二2，n -1 ；

13、1 j则数列® 一4 3'是首项为a1 一4 3八5，公比为2的等比数列，n二ndnnV所以 一4 32 ，即务=4 3 一5 2n *解法二（两边同除以q ）：两边同时除以n出解法三（两边同除以p ）：两边同时除以an _2鱼显n 1n 1n 23得：3333 ，下面解法略an1 an 十 4(3)nn "1n "1n2得：2232，下面解法略3 形如 a n 十-pa n + kn + b（其中k,b是常数，且k =0）方法1:逐项相减法（阶差法）方法2 :待定系数法通过凑配可转化为(an xn 护二p(anx(n -1) y)；解题基本步骤： 1、确

14、定 f (n) =kn+b2、设等比数列bn =(an Xn y)，公比为p3、列出关系式(an +xn+y) = p(an°+x(n 1)+y),即 bn = pbn4、比较系数求x,y5、解得数列(an xn y)的通项公式6、 解得数列的通项公式 例8 在数列an中，务二1，% 1 =3务 2 n,求通项an.(逐项相减法)解军：丁 an 卅=3an +2 n,，” n H2时，an =3an J +2(n 0两式相减得 an1 一办=3(an 一务4)+ 2 令 bn an 41 an 则 bn 3bn * 再由累加法可得22利用类型5的方法知bn =52n-1即 an i

15、a n 5*315 c n 二1an = 一 -3 n 一5 c n J an =； 3-亦可联立解出 23例9.在数列an中，印°,2an 一弘厂6" -3,求通项an.(待定系数法)解 :原递推式可化为2(anxn y)二anx(n -1)y比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2bn 一 bn91b二 - 6n ： 9 二所以bn，是一个等比数列，首项2，公比为21an _6n 9=9 n2an =9)n 6n 一9故2(其中a,b,c是常数，且a = °)4 形如 an + = pan +a n2 + b，n +c基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是

16、一个函数 ，其定义域是自然数集的一个函数2例10已知数列an满足an 2an - 3n 4n 5, a1，求数列a.的通项公式。2 2解：设 an 1 - x(n 1) y(n 1) z = 2(an xn yn z)比较系数得x =3,y =10,z =18，22所以 an 1 3(n 1) 10(n 1) 18 =2(an 3n 10n 18)由 a +3汇12 +10 心十18 =1 +31 =32 式0，得 an +3n2 +10n +18 式0则 an1 3(n 巴 1°(n 1)叭2，故数列an 3n2 10n 18为以 an +3n2 +10n+182a1 3 110

17、1 '18=1 -31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此an3 n210 n18=322nd，则 an=2n4-3 n2-10 n-18。5.形如anpan 1 qan时将a“作为f (n)求解分析：原递推式可化为an 2 ' an 1 =( P ' )(an 1 ' an)的形式，比较系数可求得，数列an 'an /为等比数列例11 已知数列an满足an 2 =5an 1 -6an ,ai = -ha? = 2 ,求数列an的通项公式。解：设an 2 ' an 1 =(5 )(an 1 an)比较系数得-3或-2 ,不妨取-2 ,(取-3

18、结果形式可能不同，但本质相同)则an 2 -2an 1 =3(an2an )，则玄1 - 2an是首项为4 ,公比为3的等比数列二 an* 2an =4 3n所以 an =4 3n5 2n-练习数列 4中，若a1 =8，a2,且满足冇，2 一4冇1 ' 3an ",求an答案：an =11 -3n四、迭代法ran nf2 2二Pan(其中p,r为常数)型3(n 1)2n例12已知数列an满足 1，4 =5，求数列an的通项公式。_3(n+)2n解：因为an 1 一 an，所以3n 2n 3( n 4) 2n 2 3n 2n丄_ 32 (n J) n 2(n3 十少an = a

19、n i二an 2= an 2=a3( n J2) 2 n .3n _3_32(n 4) n 2(n (n 1又曰=5，所以数列an的通项公式为n(n 1)»5宀2 丁33(n 4)(n -1)n 2心+ *d 二 a. =IH3n J2 3|，|«(n Q) (.nJ.) n 21 卡如+'丄如二如亠 二 Q注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式五、对数变换法适用于a1 = pan （其中p,r为常数）型p>0 , an 0例14.设正项数列 'n '满足ai " , an =2a爲（n浆）.求数列的通项公式解：两边取

20、对数得bn = 2bn _1log；n =1+2log；n丄,log；n+1 = 2(log；nJL +1)，设bn=log；n+1，则bn '是以2为公比的等比数列，b1二log21 = 1log；n+1 =2nlog；n =2心-1 an练习数列乩'中，a1 "，9°二2®(n 浆),求数列"an '的通项公式n 5例15已知数列aj满足务i = 2 3an , a = 7 ,求数列 an的通项公式。解：因为 an 1 = 2 3an, al = 7 ,所以 an0, an 1 0。两边取常用对数得lg an彳=5lg an

21、n Ig3 lg 2设 lg an i x(n 1) y =5(lg anxn y)(同类型四)比较系数得，“罟畀詈号由X也1也W416= lg7也也更44164 7得%罟"詈晋9所以数列lg an ' n4歹U,贝U lg an ' n4Ig3 lg 2lg3是以lg 7 1644更叱他7也四 164416lg3 lg 2为首项，以5为公比的等比数164lg 2 n ）5,因此lg3 lg3 lg 2xr. lgan=(lg7)5411641nJ lg3 lg3 lg 2二lg(7 34 3岳 24 )5n-lg(3刁 3花 2刁)= lg(7 34 316 24)

22、-lg(34 316 24)5n-d2F)5n -1= lg(75n _4n _13 165n _4n _15n 丄二n丄则 q 二75 _ 3 162 4六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项2a例16已知数列an满足an 1n ,印=1，求数列an的通项公式。an+2解：1求倒数得丄an 1丄丄2 anan 1 an1 1 " 1'为等差数列，首项一 =1，公差为an 1ana11 1(n 1), aan 2七、换元法适用于含根式的递推关系1 ,例17已知数列an满足an彳 (1 4an 、1 24an )，印=1，求数列 an的通项公式。16解：令 bn

23、二 1 24an，则 an 二丄(b： -1)241 .代入 an 1(1 4an 、1 24an)得16盘时1 T)计1煜1)bn2 2即 4bn(bn 3)因为 bh »1 24an _0,1 3则 2bhi 二 bh 3，即 bhibh2 21可化为0 1 -3匚-3),1所以bh -3是以b11 24a <1 24 1-3=2为首项，以1为公比的等比数列，因11 1 1 1此 bn -3 =2()h：L =()h',则bn =()h' 3 ,即.1 24an =()h' 3，得2 2 2 2a|(4)h (2)h 3。3 423八、数学归纳法通过

24、首项和递推关系式求出数列的前h项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例18已知数列an满足an 1 = an8( h +1)(2n1)2(2 n 3)28，求数列an的通项公式。9解：由 an1 =an (2n 黑2：)3)2 及 a9，得8(1+1)8 丄 8224a2 = a1 2 2 :(2 1 1) (2 1 3)99 2525丄8(2 +1)248疋 348a3 = a? 22 :(2 2 1) (2 2 3)2525 4949丄8(3+1)48 丄 8汇480a a22 :(2 3 1) (2 3 3)4949 8181由此可猜测an2(2n 1) -12-(2n 1)F

25、面用数学归纳法证明这个结论8，所以等式成立92a1(2 11) -12(2 1 1)(2)假设当n = k时等式成立，即ak二(2k° 21，则当n二k T时,(2k +1)a a8(k 1)乳 k (2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)2 2 (2k+1)2(2k+3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 1)2-(2k+1)2(2k+3)2(2 k 3)2 -1(2k 3)22(k 1) 12 -1-2(k 1) 12由此可知，当n = k 1时等式也成立。根据(1),( 2)可知，等式对任何N*都成立。九、阶差法(逐项相减法)1、递推公式

26、中既有Sn，又有an然后采用相应丄 S),n = 1 分析：把已知关系通过an转化为数列或Sn的递推关系IS-S 丄 n2n的方法求解。1例19 已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn(an 1)(an - 2)6等比数列，求数列an的通项公式。1解：对任意 n N 有 S-(an 1)(an 2)61当 n=1 时，二印 佝 1)(a12),解得 a1 或 a 261当 n>2 时，Sn4 =1(an4 1)(an4 2)6-整理得：(an an4)(an-3) =0 an各项均为正数,an-an4=32 当 q =1 时，an =3n-2 ,此时= a?a9成立2 当q

27、=2时，an =3n -1 ,此时a4 =a2ag不成立，故印=2舍去所以 an =3n - 21 2练习。已知数列an中，an 0且Sn（an 1），求数列an的通项公式2答案：Sn - Sn 1 = a n（冇-1）（务1）a*=2 口-12、对无穷递推数列例 20 已知数列an满足 a1=1，a a12a23a（n-1）an（n _ 2），求an的通项公式。解：因为 aa1 - 2a2 3a J 1| (n -1)an(n _2)所以 an 1.二a1 2a2 3a3 Jl| - (n -1归“nan 用式一式得an十一an二nan.则 an 1 =(n 1)an(n 一2)故加an所以

28、ananan 4an .1an -2. j a3i j in!川匸空十山一1川4观亍.由 a - a1 ' 2a2 ' 3a H (n - 1)an 4 (n - 2), 取 n = 2得 a - a1 2a2 ,则 a - a1 ,又知I a1 =1,则 a2 =1 ,代入得 an = 1 3 4 5 川 n = 。2n!所以，an的通项公式为an .2十、不动点法目的是将递推数列转化为等比 （差）数列的方法不动点的定义：函数f(x)的定义域为D ,若存在f(X)XoD ,使f(Xo) = Xo成立，则称X0为f (x)的不动点或称(x(),f(x0)为函数f (x)的不动点

29、。分析：由f(x)=x求出不动点X。，在递推公式两边同时减去X。，在变形求解。类型一：形如an .1二qan d例21 已知数列an中，a1,a2anJ 1(n _ 2)，求数列aj的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为f (x2x 1，由f (x) = x得，不动点为-1-an 11 - 2(an 1),类型二：形如an.厂a an bc -an +d分析：递归函数为f(x)二p,q ,再将两式相除得(1)若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点an 1 - P . an - P. a 一 PC .(a1q - 卩4沐2 -(a1 p - Pq)K ，, 中 k ，a

30、n n_1an 1 -q an -qa-qc(a - p)k -(-q)(2 )若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p ,然后用1除，得1an 1 一 Pk ,an 一 P5a +4例22.设数列an满足心,尹,求数列©的通项公式 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解解：对等式两端同时加参数t,得：an 1 t50t2an 7(2t5)an 7t2an 7= (2t5)an7t 42t 52an 77t +4令t,解之得t=1,-22t +5丄丄an +t代入an1Z(2t5)亍得相除得公比为an - 12anan 1 1an 12,an.1 2=922an +7an 2a1 -11a124 '1a 1-的等比数列，n3an231,解得an4 -3nJ23nJ -1方法2:-an1十3护"2an两边取倒数得2an 73(an-1)2(an -1)9-3(an-1)丄，an - 1令bn则bn2- 3bn,转化为累加法来求321a _ 24例23已知数列an满足an 1n ，印=4，求数列an的通项公式。4an +121x 24是函数f（xr盂的两个不21x242解：令 x，得 4x-20x 20，贝U x2,4x +1动点。因为21an -24n 2an 1 -24an 121务 -24 - 2(4an&q