清华大学微积分试题库完整

1、(3343).微分方程 y， yta nx_cosx=0 的通解为 y=(xC)cosx。1 y(4455).过点(一,0)且满足关系式 y arcsinx1的曲线方程为2 才x21y arcs in x = x 。2C2(4507).微分方程xy”3y、0的通解为 y2。x(4508) 设y1(x), y2 (x), y3(x)是线性微分方程 目 a(x)y ： b(x)y = f (x)的三个特解，且 人- y1(x) =c，则该微分方程的通解为y3(x) -yx)y =G(y2(x) - y,x) C2(y3(x) - y,x) yMx)。22_x(3081).设y3 x , y3 x

2、e 是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为y3二x，则该微分方程的通解为y = 3 x2 C2e。(4725).设出微分方程 y"-2y'-3y =x - xe" ex cos2x的一个特解形式*_xxy = Ax B x(Cx D)e e (E cos2x F sin 2x)。(4476).微分方程 y"-2y、2y=eX 的通解为 y = ex(1 0 cosx C2 sin x)。(4474).微分方程 y"4y=e2x 的通解为 丫=。代'+ C2 + x 。I 4丿(4477).函数y = C co Q

3、x C2s i r2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 y 4 y 0。2x t2x(4532) 若连续函数 f(x)满足关系式 f(x) = .° f(2)dt Tn2，则 f(x)二 e In 2。(6808).设曲线积分 J f (x) -exsin ydx- f (x) cosydy与路径无关，其中f (x)具有一阶 连续导数，且f(0) =0，则f(x)等于11(A)丄(e" -ex)。(B)丄(exe)。221 1(C)©+e)1。(D)1 -(ee-)。答B1注：根据题意， -f (x)cosy 二f (x)excosy，解得 f (x)ex Ce

4、»。由11f(0) =0，得 C，所以 f(x)(ex -ex)，即选项(B)正确。226907.若函数y =cos2x是微分方程、 p(x)y =0的一个特解，则该方程满足初始条件y(0) = 2的特解为(A) y=cos2x 2。(B)y = cos2x 1。(C) y =2cosx。(D)y = 2cos2x。注：根据解的结构，通解为 y =Ccos2x，由y(0) =2得C = 2。故选项(D)正确。其他选项经验证不满足方程或定解条件。6126.设函数yjx), y2(x)是微分方程y p(x)y =0的两个不同特解,则该方程的通解为(A) y = C1 y1 C2 y2 。

5、(B)= y1Cy2。y = C( y2 - y1)。(C) y =y1 C(y1 y2)。(D)答D注：因为(x), y2(x)是微分方程y - p(x)y =0的两个不同特解，所以方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为y二C(y2 - %)，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当y2三0时，选项(B)不对。当y2 - - y1时，选项(C)不对。6579已知函数 y =y(x)在任意点x处的增量 y/手 o(，x), y(0)-二，贝U y(1)等1 + x于娄3T(A) 2二。(B) 二。(C) e4。(D):e4。答D注：根据微分定义及微分与导

6、数的关系得严二一耸，解得In y二arctanx C，由1 +x2y(0)才：，得C = In二，所以y(1)=負earctan1 =昭刁。因此选项(D)正确。6215.设函数 y 二 f(x)是微分方程 y、-2y：4y=0 的一个解。若 f (x0) . 0,(x0) = 0， 则函数f (x)在点x0 (A)取到极大值。(B)取到极小值。(C)某个邻域内单调增加。(D)某个邻域内单调减少。答A注：因为 f(x0)=0， f (x0H -4f (x0h： 0，所以选项(A)正确。6316.设y1 ,y2是二阶常系数线性齐次方程y p/ q 0的两个特解，C1,C2是两个任意常数，则下列命题

7、中正确的是(A) C1y1 C2y2 一定是微分方程的通解。(B) C1y1 C2y2不可能是微分方程的通解。(C) Cm «2丫2是微分方程的解。(D) C1 y1 C2 y2不是微分方程的解。答C注：根据叠加原理，选项(C)正确，选项(D)错误。当屮小2线性相关时，选项(A) 错误，当y1, y线性无关时，选项(B)错误。1897.微分方程y一 y二ex 1的一个特解应具有形式x .(A) ae b。(B)axex b。(C) aex bx。(D)axex bx。注：相应齐次方程的特征根为1, -1，所以y'”-y =ex的一个特解形式为axex，y ” _ y =1的一

8、个特解形式为 b。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为axex b ,即选项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。1890.具有特解 力=:e= y2 =2xe y3 =3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是(A) y曲y _ y y =0。(B)y y _ y _ y =0。(C) y 6y 11y - 6y =0。(D) y 2y y 2y = 0。答B注：根据题意，1, -1是特征方程的两个根，且-1是重根，所以特征方程为 (九一1)(人+1)2 =九3 +几2 丸1 = 0。故所求微分方程为y""+y"y" y = 0,即选项(B) 正确。7819

9、.设y1二ex, y2二x是三阶线性常系数齐次微分方程厂 ay ” by ' cy = 0的两个特解，则a,b,c的值为(A) a =1,b = -1,c =0。(B)a =1,b=1,c = 0。(C) a = 一 1,b = 0,c = 0。(D)a =1,b = 0, c = 0。答C注：根据题意，1,0是特征方程的两个根，且o是重根，所以特征方程为 (丸1)丸2 = Z?九2 = 0。故原微分方程应为 y y =0，所以a = 1,b = 0,c = 0即选 项(C)正确。2670.设二阶线性常系数齐次微分方程y " by y =0的每一个解y(x)都在区间(0,=)

10、上有界，则实数b的取值范围是(A) b - 0。(B) b - 0。(C) b - 4。(D) b - 4。答A22_/bx_bxo注：因为当b- -2时，y(x)=Se 2C2e 2 ，所以，当b-40时，要想使 y(x)在区间(0：)上有界，只需要 b 、b2 -4 -0, b-：b2 -4 - 0 ,即b 2。当b2 -4 ： 0时，要想使 y(x)在区间(0, ：)上有界，只需要 b b2 -4与 b - .、b2 -4的实部大于等于零，即 0乞b ： 2。当b =2时，y(x)=。停 c2xex在区 间(0, ：)上有界。当 b =-2 时，y(x) = C|ex C2xex (cj

11、 C； = 0)在区间(0,，：)上无 界。综上所述，当且仅当 b _ 0时，方程y ” byy = 0的每一个解y(x)都在区间(0厂：) 上有界，即选项(A)正确。3296 .求微分方程xJ y2 对x2=0的通解。dxxdx厂X21ydk°,解：方程两端同乘以;；1 + y、：1 + x2此方程是一个变量分离方程，其通解为.1 y21 x2 二 C(C 2)。5678 求微分方程/ 厂迥的通解。解：这是一个一阶线性微分方程,求解其相应的齐次方程¥ 丄"。,dx x得其通解为CIn y = ln ，即x令y = QQ，代入原方程,xxC (x) -C(x) C

12、(x)-J-2 2xx解得C(x) - - cosx C。所以原方程的通解为1y(_cosx C)。x注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得sin x 1 dx1 dx 1y=( e Xdxdx c)e_ xdx(_cosx c)。xx22312 .求解微分方程 xdy - ydx = y ey dy。解：将y看成自变量,x看成是的y函数，则原方程是关于未知函数X二x(y)的一阶线性微分方程dx xyye ，dy y此方程通解为Hy"c-“eye±dydyLcy-yey，其中C是任意常数。2367 .求微分方程xyy2满足初始条件y(1) = 1的特解。解

13、：将原方程变形，得lx丿这是一个齐次型方程。令y = XU，代入上式，得xu = u2 - 2u，分离变量，得du _ dxu2 -2ux积分，得u -2u-Cx2，2=Cx 。因为y(1) =1，所以C = T。于是所求特解为2x1 x22368.设=ex施微分方程xyp(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y(ln 2) = 0的特解。解：将y二ex代入原方程,xexp(x)ex 二 x，解出p(x) = xe- x。所以原方程为解其对应的齐次方程，得y=Cex。所以原方程的通解为_xy=ex Cexe 。由 y(ln 2) = 0，得 C1=_e弓。故所求特解为2402 .求微分方程

14、_y4x . y = X的通解。x21解：将原方程化为y 4xX2 J" 丫，这是一个伯努利方程。令z = y，则原方程化为dz 2x xz =。2dxx21这是一个一阶线性微分方程,解得z J(x241)(C In(x2 1)，所以原微分方程的通解为y = z2 =1Z =16(x2 +1)(C +1 n(x2 +1)仁xxx u(y)二y2405 求微分方程(i e')dx J(1 _?)dy =0的通解。 y解：将y看成自变量，则X = x( y)是y的函数。由于原方程是齐次型方程，令原微分方程化为ue ueu i这是一个变量可分离的方程，解得y(eu所以原方程的通解为

15、xyey另解：令 P(x,y) =1 ey,Q(x, y)二xe"i»)，则：P(x，y) y :yx2e y：Q(x,y).x所以，在y .0时，原方程为全微分方程。令x(x,y)u(x,y(o,1)(1yx)dx ey (1 )dy，y由于此曲线积分与路径无关，所以u(x, y)就是全微分式(rHe')de；(-)dy的一个原，y函数，且xxu(x,y)(x,y)二-x(1 + ey )dx + ey (1 _ _) dy(0,1)y0xy0x1 ey(1)dy (1 ey)dx1y0xy T x y(ey T)xyeyx _1。所以原方程的通解为xyey x

16、= C。2489 设为实数，求微分方程 解：此方程的特征方程为 ，-0，所以，(1) 当.0时，特征方程有一对复根 彊=：i. .1,方程有两个线性无关解cos JUx, sin JUx。因此微分方程的通解为y 二 Ci cos. Jx C2 sin 'x (Ci ,C R)。(2) 当卩=0时，特征方程有一个二重根h = 0。方程有两个线性无关解 l,x,于是微 分方程的通解为y 二 C C?x。(3) 当-' : 0时，特征方程有两个单重实根o方程有两个线性无关解 e"Fx，e-'x，所以微分方程的通解为y =Cie 亠 C2e(Ci,C R)。2909

17、.求微分方程y ” y丄2x21的通解。解 将方程写作y亠y = (2x2亠1)e°x °因为，=0是特征方程 /、-0的单根，所以原 方程一个特解形式为*32y (x) = ax bx cx,将此解代入原方程，得3ax2(2b 6a)x (c 2b) =2x21 ,比较两端同次项的系数，有3a 二 2,2b 6a = 0, c 2b = 1 °解上述方程组，得2 -a , b = -2, c = 5 o3从而得到原方程的一个特解* 2 3 2y (x)x32x2 5x o3又因为相应齐次方程 y ” y = 0的通解为y =C1C2e o所以原方程的通解为y =

18、 CC2e -x3- 2x2 5x。另解：方程yy'2x-1两端积分，得2 3y y x x Ci,这是一个一阶线性微分方程，其通解为y = e(C2 亠 i(2 x3 x C1 )exdx) 3=C1 C2ex3 一 2x2 5x 一 532C1 C2ex3 _2X2 5X。32356.求解微分方程 y -2y"Y，y =4xex。解：因为，=1是特征方程，2_2'1=：0的重根，所以原方程的一个待定特解为y* 二 x2 (ax b)ex,将此解代入原方程，得(6ax 2b)ex = 4xex。2比较两端系数，得 a ,b =0。于是得到原方程的一个特解3*2 3

19、xy x e 。3又因为相应齐次方程的通解是y = (G C2x)ex。因此原方程的通解为2y = (G C2x)exx3ex。1123 .求微分方程 y ” y二x - cosx的通解。解：原方程所对应齐次方程的通解为y = G cosx C2 sin x。设非齐次方程y： y = x的一个特解为y Ax B , 代入次方程，得 A=1, B =0。所以 =:x。设非齐次方程y'3：hy二cosx的一个特解为y2 = Ex cosx Dx sin x ,11代入方程，得 E = 0, D 。所以 y2xsi nx。22因为yiy2为原方程的一个特解，所以原方程的通解为1 . y =C

20、i cosx C2 sin x x xsin x。21278.求解微分方程yy"-(y)2 =y2iny。解：因为原微分方程不显含自变量X ,所以这是一个可降阶微分方程。令 u(y)二 y (x)，则 y (x) = u (y)y (x) = u u。原方程变为， 2 2 .yuu - u再令P(y) = u2(y)，则有=2y ln y ,2P Py这是一个一阶线性微分方程，求得2 2p = y (C In y)。所以u = Jy2(C In2 y),故y = , y2 (C ln2 y)。这是个变量可分离微分方程，解得In In y C ln2 y = x C1,这就是原微分方程

21、的通解。注：方程yuu -u2二y21 ny是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。2456.求解微分方程 y 3y 6¥ = ex(x 5)。解：微分方程 y 3y 3y 目=0的特征方程为'盒.是其三重特征根。所以该齐次方程的通解为y = ex(C1C2x C3x2)。令原微分方程的一个特解形式为y = x3(ax b)e，代入原微分方程，并整理得24ax 6b = x - 5，所以a二丄，b - - 5。因此原微分方程的一个特解为246(4x"故所求通解为3 iy"Cl 6x E).(严5)/。3214 .求解微分方程 xy - y = x2

22、。解：令u(x)二y(x)，则原方程化为1u U = X ,x这是个一阶线性微分方程，解得u = x(C1 x)。因此 y = x(C1 x)，所以原微分方程的通解为1 3 121 32y x C1x C2 xC1xC2 ,3 23其中Cn C2是任意常数。x(x C1)另解：令p(x)二y (x)，则原方程化为p"二1,所以 x C1。由y" = xpx132yxC1xC2。33333.求解微分方程 Xy _2xy 2y =x31n x。解：原方称为二阶欧拉方程。令x二et，得所以原微分方程化为.dy2 * d y dyxy, x y ：dtdt2dtd 2ydy3t2-

23、32y = e t，dt2dt其中t是自变量。这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得所以原微分方程的通解为t2t13、3ty 二 C1eC2e(t )e。222133y =Gx C2X-x (Inx-?)，其中Ci, C2是任意常数。3337 已知函数f(x )在0,=)上可导，f(0) =1，且满足等式1 xf (x) f(X)- 一-f(t)dt = 0，x +1 0求 f (x)，并证明 e < f (x)乞 1(x _ 0)。解：根据条件，得x(x 1)(f (x)f(x) - .0 f(t)dt = 0,因为f (x)在0, r)上可导，由上式，知 f(x)在0, r )上二阶

24、导数存在，所以1f (x) (1 -) f(X)= 0，x +1这是f(X)满足的一个一阶线性齐次方程，解得f (x)二Ce"由于 f (0) =-f(0) =-1，所以 c = -1，故f (X)-Xe_当x _0时，因为f (x)0，所以f(x)乞f (0) =1。又X _ 0时，X +1.X.Xf(x)_e公二-£ e = Xe 0,所以 f(x)-e_ f(0) _e° =0。x+1x + 1故e_ f(x) _1(x _0)。注：证明不等式时，只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函数的表达式。3338.设p(x),q(x)为连续函数，证明方程鸟 p(x)y二q(x)的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。证：记y二y1(x)为方程月 p(x) y = q(x)的一条积分曲线，贝U方程月 P(x)y二q(x)的任一条积分曲线可记为 y=Cy(