第二章 随机变量及其分布_17517

1、第二章 随机变量及其分布一、选择题1假设连续函数F(x)是分布函数且F(0)=0，则下列函数可以作为分布函数的是(A) (B) (C) (D) 2下列pn能成为概率分布的是(A) (B) (C) (D) 3设随机变量X服从正态分布N(，2)，且满足PXPX，则比值/(A) 小于1 (B) 等于1 (C) 大于1 (D) 不确定4假设随机变量X的概率密度f(x)是偶函数，分布函数为F(x)，则(A) F(x)是偶函数 (B) F(x)是奇函数(C) F(x)+F(-x)=1 (D) 2F(x)-F(-x)=15假设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数f(x)=af1(x)+b2(x)，其

2、中f1(x)是正态分布N(0，2)的密度函数，f2(x)是参数为A的指数分布的密度函数，已知，则(A) a=1，b=0 (B) (C) (D) 6假设随机变量X的密度函数f(x)是偶函数，分布函数为F(x)，则对任意实数a有(A) (B) (C) F(-a)=F(a) (D) F(-a)=2F(a)-17假设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是(A) 如果F(a)=0，则对任意xa有F(x)=0(B) 如果F(a)=1，则对任意xa有F(x)=1(C) 如果，则(D) 如果，则8假设X为随机变量，则对任意实数a，概率PX=a=0的充分必要条件是(A) X县离散型随机变量 (B)

3、 X不是离散型随机变量(C) X的分布函数是连续函数 (D) X的密度函数是连续函数9假设随机变量X服从参数为的指数分布，则随机变量Y=min(X，2)的分布函数(A) 是连续函数 (B) 是阶梯函数(C) 恰好有一个间断点 (D) 至少有两个间断点10假设随机变量X服从参数为p(0p1)的两点分布，Y服从参数为的指数分布，X与Y相互独立，则随机变量Z=XY，的分布函数(A) 是连续函数 (B) 是阶梯函数(C) 存在唯一间断点 (D) 至少存在二个间断点11假设X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，则随机变量X+Y的分布函数(A) 是连续函数 (B) 是阶梯函数(C) 恰有

4、一个间断点 (D) 至少有二个间断点12假设随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数f(x)是x的连续函数如果X与-X有相同的分布函数，则(A) F(x)=F(-x) (B) F(x)=-F(-x)(C) f(x)=f(-x) (D) f(x)=-f(-x)13假设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2的指数分布的是(A) X+Y (B) X-Y(C) max(X，Y) (D) min(X，Y)14已知X为随机变量Y=kX(k0，k1)，则下列结论不成立的是(A) 如果X服从正态分布N(，2)，则Y服从正态分布N(k，k22)(B) 如果X服从参数为的指数

5、分布，则Y服从参数为k的指数分布(C) 如果X在a，b上服从均匀分布，则Y在ka，kb上服从均匀分布(D) 如果X服从二点分布，则Y亦服从二点分布：15假设X1，X2为两个相互独立的随机变量，则下列结论正确的是(A) 如果XiB(ni，p)(i=1，2)，则X1+bX2仍服从二项分布(B) 如果XiP(i)(i=1，2)，则X1+bX2仍服从泊松分布(C) 如果Xi(i=1，2)，则X1+bX2仍服从正态分布(D) 如果Xi2(ni)(i=1，2)，则X1+bX2仍服从2分布(其中b0或1)16假设X与Y是随机变量，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，如果它们的期望和方差都存在，现在有四个

6、结论X=Y； PX=Y=1；FX(x)=FY(y)； EX=EY，DX=DY如果用“PQ”表示由结论P可以推出结论Q，则下列正确的是(A) (B) (C) (D) 17假设一个设备在任何长为t的时间内发生故障次数N(t)服从参数为t的泊松分布(0)，T表示相继两次故障之时间间隔，则对任意t0，概率PTt等于(A) 0 (B) t (C) e-t (D) 1-e-t18设随机变量X与Y相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，则(A) (B) (C) (D) 19设随机变量X与Y相互独立且分别服从参数为2和3的泊松分布，则PX+Y=0等于(A) e-5 (B) e-3 (C) e-2 (D) e

7、-120已知随机变量X服从正态分布N(，2)，则随的增大，概率P|X-|(A) 单调增大 (B) 单调减少(C) 保持不变 (D) 增减不定二、填空题1设随机变量X的分布函数且，则a=_；b=_2设f(x)=ke-|x|(-x+)是一概率密度，则k=_3设X的概率密度若常数。，使得PXa=PXa，则a=_4设随机变量X的密度函数且P1X2=P2X3，则常数A=_；B=_；概率P2X4=_；分布函数F(x)=_5设X服从参数为的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率P0X23=_6已知X的概率密度且aX+bN(0，1)(a0)，则A=_；a=_；b=_7已知随机变量Y服从0，5上的均匀分布，则关于

8、x的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0有实根的概率=_8已知随机变量YN(，2)，且方程x2+x+Y=0有实根的概率为，则未知参数=_9一枚硬币连续投掷8次正反面出现的次数分别为X，Y，则一元二次方程t2+Xt+Y=0有实根的概率=_；有重根的概率=_10设随机变量X服从参数为1的指数分布，已知事件A=aX5与B=0X3相互独立，则a=_(0a3)11已知随机变量X的概率密度则P|X|5X-2=_12已知随机变量X的概率分布为，当X=k时随机变量Y在(0，k)上服从均匀分布，即则PY2.5=_13袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试

9、验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止用X表示抽取次数，则PX=k=_(k=1，2，)，14已知随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度为f(x)，当x0时f(x)连续且f(x)=F(x)，若F(0)=1，则F(x)=_；f(x)=_。三、解答题1()10件产品中有3个次品，现逐个取出直至取到正品为止，试求抽取次数X的概率分布；()10件产品中有3个次品，每次从中取出一个产品同时放入一个正品，直至取到正品为止，试求抽取次数X的概率分布2抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0p1)，以X表示一直掷到正、反面都出现时所需要投掷的次数，求X的概率分布3已知厂家

10、生产每台仪器为合格品的概率为80%，为提高产品的合格率，决定对不合格品进行调试假设不合格品调试后为合格品的概率是70%，现生产100台这种仪器，试求经调试后100台产品至多有一台不合格品的概率，并用泊松分布近似计算结果4假设有10台设备，每台的可靠性(无故障工作的概率)为0.92，每台出现故障时需要由一人进行调整问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班?5设随机变量X服从参数为的指数分布，求：()的分布函数；()的分布函数6已知X在(0，1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度7已知X的概率密度，求的概率密度8已知Y=lnXN(，2)，求X的概率密

11、度9已知X为随机变量，Y=X2+X+1()已知X的概率分布为PX=-1=PX=0=PX=1=，试求Y的分布函数FY(y)；()已知X的分布函数FX(x)，求Y的分布函数FY(y)；()已知X在(0，1)上服从均匀分布，求Y的概率密度fY(y)10已知随机变量X的概率密度求分布函数F(x)；若令Y=F(X)，求Y的分布函数FY(y)11设随机变量X的绝对值不大于1，且PX=0=，已知在X0的条件下，X在其取值范围内服从均匀分布，求X的分布函数F(x)一、选择题1C分析 应用分布函数充要条件判断由Gi(x)的形式是分段函数，x=1是分界点，于是立即想到要判断是否成立，易计算由此可判断正确选项是(C

12、)如果需要证明G3(x)是分布函数，那就需要按充要条件逐条加以验证：若x1x21，则所以 即G3(x1)G3(x2)同理当x11x2时，当1x1x2时，G3(x1)=G3(x2)=0，故G3(x)是x单调不减函数G3(x)是右连续函数若x01，则；若x0=1，则；若x01，则G3(-)=0，2B分析 pn能成为分布列且由于发散，故(A)、(C)不能选而所以应选(B)3A分析 由于连续型随机变量为任何给定值的概率等于0，则PX+PX=1-PX=1，PX=1-PX1-PX因此 由此可见，因此/1故选(A)4C分析 由分布函数充要条件知，(A)、(B)、(D)都不成立，因此选择(C)事实上，由于F(

13、x)是x单调不减的非负函数，故(A)、(B)不成立又F(+)=1，F(-)=0，所以2F(+)-F(-)=21，(D)不成立因为f(x)是偶函数，所以故应选(C)5D分析 由，知四个选项均符合这个要求，因此只好通过确定正确选项由于，正确选项为(D)6B分析 方法1 特殊值法 应用，即知正确选项是(B)事实上，此时相应的四个选项为因此正确选项为(B)方法2 图形法 由于f(x)是偶函数，应用几何图形知正确选项为(B)方法3 计算法 由于f(x)是偶函数，又所以选择(B)7D分析 由于F(x)是单调不减且0F(x)1，F(x)=PXx，因此(A)、(B)、(C)都成立，而选项(D)未必成立，因此选

14、(D)事实上，已知F(a)=0，则对任意xa有0F(x)F(a)=0，从而有F(x)=0；若F(a)=1，则对任意xa有1F(x)F(a)=1，从而有F(x)=1；当时，F(a)=PXa=又PXa=1-pXa=1-F(a-0)，如果在x=a处连续，此结论未必成立，例如8C分析 对任意实数a有PX=a=0是连续型随机变量的必要条件但不充分，因此(B)、(D)不能选而对离散型随机变量，必有PX=a0，(A)不能选，故正确选项是(C)事实上，PX=a=0F(a)-F(a-0)=0对任意实数a，F(a)=F(a-0)F(x)是x的连续函数9C分析 选项(B)肯定不能选，否则(C)、(D)至少有一个成立

15、，因此该题是问：Y=min(X，2)的分布函数FY(y)有几个间断点由于FY(y)在y=a间断FY(a)-FY(a-0)0PY=a=FY(a)-FY(a-0)0，因此我们可以通过计算概率PY=a或求Y的分布函数来确定正确选项方法1 概率法 由全概率公式知，有PY=a=Pmin(X，2)=a=Pmin(X，2)=a，X2+Pmin(X，2)=n，X2=P2=a，X2+PX=a，X2=P2=a，X2所以Y的分布函数在x=2处间断，选择(C)方法2 分布函数法 Y的分布函数FY(y)=Pmin(X，2)y=1-Pmin(X，2)y=1-PXy，2y由此可知Y的分布函数存在唯一间断点y=2，选择(C)

16、10C分析 方法1 概率法 已知所以由全概率公式得PZ=a=PXY=a=PXY=a，X=0+PXY=a，X=1=Pa=0，X=0+PY=a，X=1Z=XY分布函数FZ(a)存在唯一间断点a=0且为非阶梯函数，故选(C)方法2 分布函数法 由全概率公式可得Z=XY的分布函数FZ(t)=PZt=PXYt=PXYt，X=0+PXYt，X=1=P0t，X=0+PYt，X=1由此可知FZ(t)在t=0处间断，故选(X)11A分析 已知X的概率分布为PX=a=p，PX=b=1-p，Y的概率密度为f(y)，要讨论X+Y的分布函数F(t)是否连续，即是否存在t0R，使F(t0)-F(t0-0)0若存在，则F(

17、t)在t0处间断；若不存在，则F(t)是t连续函数而F(t0)-F(t0-0)=PX+Y=t0，因此我们通过计算概率PX+Y=t0来确定正确选项对任意实数t，由全概率公式及概率性质得0PX+Y=t=PX+Y=t，X=a+PX+Y=t，X=b=PY=t-a，X=a+PY=t-b，x=bPY=t-0+PY=t-b=0(因为P(AB)P(A)，又Y是连续型随机变量，所以对任意实数c，有PY=c=0)故对任意实数t，PX+Y=t=0X+Y的分布函数是连续函数，选(A)12C分析 由分布函数与密度函数充要条件知，F(x)不能是偶函数，也不能是奇函数；f(x)不能是奇函数，即(A)、(B)、(D)都不成立

18、，故选(C)事实上，由题设知F(x)=f(x)，又F(x)=PXx=P-Xx=PX-x=1-PX-x=1-F(-x)，F(x)=f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数13D分析 显然我们不能通过计算每个选项中随机变量的分布来确定正确选项，只能利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断由于由此立即可以判断选项(A)、(B)、(C)都不成立，只能选择(D)这是因为E(X-Y)=EX-EY=0，所以(A)、(B)不成立又max(X，Y)的分布函数所以选项(C)不成立由排除法应选择(D)事实上，min(X，Y)的分布函数为Pmin(X，Y)x=1-Pmin(X，Y)x=1-PXx，Yx=1-PXxP

19、Yx=1-1-F(x)2即min(X，Y)E(2)14B分析 由于Y=kX(k0)，因此应用基本结果知，选项(A)、(C)、(D)是成立的，不成立的结论是(B)方法1 数字特征法 由于所以Y=kX不服从参数为k的指数分布方法2 分布函数法 Y=kX的分布函数事实上，若XF(x)(或f(x)则或如果XN(，2)，则YN(k，k22)，即(A)成立如果XUa，b，则Y=kXUka，kb，即(C)成立如果，则Y=kX可取ka，kb值，且PY=ka=PkX=ka=PX=a=pPY=kb=PkX=kb=PX=b=1-p即，选项(D)成立15C分析 应用正态分布性质知正确选项应该是(C)我们知道如果X服从

20、某种分布，那么kX未必还服从这种类型的分布(如果服从，其分布中的参数一般说来是改变了)，而正态分布却具有这种性质，因此由“分布的可加性”，选项(C)成立，其他选项不成立我们可以应用数字特征来验证：如果XiB(ni，p)，X1与X2独立且X1+bX2B(n，p)，则E(X1+bX2)=EX1+bEX2=n1p+bn2pnp=n1p+bn2p又 D(X1+bX2)=DX1+b2DX2npq=n1pq+b2n2pq，与已知矛盾所以(A)不成立如果XiP(i)，X1与X2独立，且X1+bX2P()，则与已知矛盾，(B)不成立如果Xi2(ni)，X1与X2独立且X1+bX22(n)，则b2=bb=0或1

21、，与已知矛盾，选项(D)不成立16B分析 具有相同分布的随机变量并不意味着这两个随机变量相等或以概率1相等，即与不一定成立，故(C)、(D)不成立又PX=Y=1，并不意味着对一切样本点都有X()=Y()，即不一定成立，因此选项(A)不成立，由排除法可知，正确选项是(B)事实上，如果PX=Y=1，则PXY=0，FX(x)=PXx=PXx，X=Y+PXx，XY=PXx，X=Y=PYx，X=Y=PYx=FY(x)，即分布相同，相应的数字特征(只要它们存在)就应该相等，所以成立因此正确选项是(B)：其他选项不成立，我们通过一个例子即可明白将一枚硬币随意投掷一次，记1=“掷出正面”，2=“掷出反面”，则

22、样本空间=1，2，令随机变量显然X与Y同分布，因而EX=EY，DX=DY；然而X(1)=1Y(1)=0，并且P：X()=Y()=P()=0，故与都不成立17C分析 事件Tt意味着“相继两次故障之时间间隔超过t”，它等价于“在时间间隔为t内不发生故障”，所以Tt=N(t)=0，其中N(t)P(t)，故选(C)18D分析 由题设X与Y独立，且XN(0，1)，YN(0，1)，故X+YN(0，2)，X-YN(0，2)，因此选项(A)，(B)不正确(因为PX+Y0=PX-Y0=)由于Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-PX0，Y0Pmin(X，Y)0=PX0，Y0=PX0PY0，选(D)

23、19A分析 已知又X与Y独立，于是PX+Y=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0=e-3e-2=e-5，故选(A)20C分析 由于XN(，2)，所以概率P|X-|=(1)-(-1)=2(1)-1为一定值，与无关，故选(C)二、填空题1，分析 应用分布的充要条件与已知条件，写出两个含未知参数a，b的方程，解方程求得a，b已知，即，由F(x)得又F(x)在x=-1处右连续，所以有F(-1)=F(-1+0)，即联立与解得21/2分析 由概率密度的性质，有因此k=1/23分析 由概率密度计算出相应事件的概率，从而求得未知参数由于PXa=PXa，故，即1-a4=a4，解得4分析由于，又P1X2=P2X

24、3，即，解得，且且52e-2分析 已知，由于PX=1=PX=2，即，解得=2故P0X23=PX=1=2e-26分析 由于，根据正态分布概率密度知XN(-1，2)，故A=又aX+bN(aEX+b，a2DX)，而题设aX+bN(0，1)，所以即解得7分析 按条件写出相应事件并用分布计算其概率，进而可求得未知参数已知所求的概率为=P方程有实根=P判别式0=P16Y2-16(Y+2)0=P16(Y2-Y-2)=16(Y-2)(Y+1)0=P(Y2)(Y-1)=PY2+PY-1=8分析 已知YN(，2)，且P方程有实根=，即9分析 由题设知，Y=8-X，所以=PA0=PX2-4Y0=PX2+4X-320

25、10分析 已知A与B独立，X的概率密度故有P(AB)=P(A)P(B)，其中P(B)=P0X3=1-e-3，P(AB)=PaX3=e-a-e-3，所以 11分析 显然我们需要将事件|X|5X-2转换为用X取值范围表示的等价事件，而后应用概率密度计算其概率，为此需要将X绝对值符号去掉，由于X0X0=，根据全概率公式得P|X|5X-2=P|X|5X-2，X0+P|X|5X-2，X0=PX5X-2，X0+P-X5X-2，X012分析 由题设知，根据全概率公式得13分析 若记Ai=“第i次取出4个球为2个白球，2个黑球”，由于是有放回取球，因而Ai相互独立，根据超几何分布知，又由几何分布得14分析 由

26、于F(x)是单调不减函数，又F(0)=1，故对任意x0，有F(x)F(0)=1，即F(x)=1又当x0时f(x)连续，故有f(x)=F(x)又f(x)=F(x)，从而有F(x)=F(x)，解得F(x)=cex，由F(0)=1可得c=1，故F(x)=ex综上得三、解答题1显然X是离散型的，确定X可能取得的值，并计算出相应的概率，从而求得X的分布列()依题意在7个正品、3个次品中，逐个取出产品直至取到正品为止，因此抽取次数X可能取1，2，3，4，且容易算得X的概率分布为(记Ai=“第i次取到正品”)()依题意X可以取1，2，3，4由于试验是每次取出一个产品而后都要放入一个正品，因此产品总数都是10

27、个，而且正品数逐一增加如果记Ai=“第i次取出产品为正品”，则所求得X的概率分布为2显然X可以取2，3，4，k，且X=k=前k-1次投掷全部出现反面，第k次投掷出现正面或前k-1次投掷全部出现正面，第k次投掷出现反面，若记Ai=“第i次掷出正面”，则P(Ai)=p，由于Ai相互独立，所求的概率分布为=qk-1p+pk-1q，其中k=2，3，4，3记A=“仪器为合格品”，B=“仪器最终为合格品”，依题设P(A)=0.8，P(A)=0.2，P(B|A)=1，P(B|A)=0.7，若用X表示“100台产品经调试后最终为不合格品的产品数”，则=PX1=PX=0+PX=1根据n重伯努利概型知，XB(10

28、0，p)，其中p=P()为计算，需先求出p=P()事件与其前提条件：产品是合格品还是不合格品有关因此应用全概率公式可以计算得=0.20.3=0.06所以 =0.94100+1000.060.9499=0.9499(0.94+6)=6.940.9499由于n=100充分大，p=0.06充分小，=np=1000.06=6，根据泊松定理有故4由条件知每台设备出现故障的概率为0.08，以X表示“10台设备中同时出现故障的台数”，则X服从参数为(10，0.08)的二项分布需要安排的值班人数k应满足条件：PXk0.95因此，需要对不同的k进行试算首先，设k=1，有PX1=PX=0+PX=1=0.9210+100.9290.080.81设k=2，有PX2=PX1+PX=2=0.9210+100.9