平面向量知识点复习练习

1、平面向量知识点分类复习深圳明德实验学校刘凯1、向量有关概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(吗可以平且)。配合练习1、已知A(1,2),B(4,2),则把向量就按向量3=(1,3)平移后得到的向量是(2)零向量：长度为0的向量叫零可量，三作：0,注意零向量的方向是任的；(3)单位向量：给定一个非零向量a,与a同向且长度为1的向量叫向量a的单位向量.I-»a的单位向量是皂；|a|(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；(5)平行向量(也叫共线向量)：如果向量的基

2、线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a/b,规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的线平行或重合，但两条直线平与包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有0);三点AB、C共线仁aB>K共线;(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量配合练习2、下列命题：(1) 0归b , 则a=b。 们的起点相同，目同。(31 q ?B jDC u贝IJBCD ： 四边形，则 ab =dc。(5)若a =b,b =c,则 a = c。a的相反向量是一a(2)两个向量相等的充要条件是它是

3、平射4举4。(4)/ ABCD是平行(6)若a/b,b/c,则a/c。其中正确的2、向量的表水方法(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终点在后；(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；(3)坐标表示法：a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终卒坐标就不叫.练习1、(04年上海卷.文6)已知点A-1,5)和向量a=(2,3)，若福=3之，则点B的坐标为.(5,14)3.平面向量的基本定理：如果巳和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内

4、的任一向量a,有且只有一对实数£1、儿2,使a=Ae+%e,e1、e2称为一组基底.注：这为我们用向量解决问题提供了一种方向：把参与的向量用一组基底表示出来，使其关系容易沟通.配合练习3、若a=(1,1),b=(1,1),c=(-1,2),则用a,b表示配合练*4下&向量组中，能化为平面内乎有向量基底的是A.e1=(0,0)©=(1,-2)B.e1=(-1,2),展=(5,7)-1.13C.e=(3,5)e=(6,10)D.e1=(2,-3)e=(-,-)24_|配合练习5、已知AD,BE分别是MBC的边BC,AC上的中线，且aD=a,BE=b，贝UBC可用向量a,

5、b表示为配合练习6、已知AABC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD=raB+sAC,则r+s的值是4、实数与向量的y:实数人与向量a的积是一个向量，记作九a,它的长度和方向规定如下：°“：=四a,（2）当九o时，九a的方向与a的方向相同，当九o时，九a的方向与T、-I、ra的方向相反，当九=0时，Ka=0,注意：儿a*。5、平面向量的数量积：.（1）两个向量的夹角：对于非零向量a,b,作OA=a,OB=b,/AOB=H（0£日Wn）称为向量a,b的夹角，当日=0时，a,b同向，当日=n时，a,b反向，当8=三时，a,b垂直。2提醒：（1）向量的夹角要求这两个向量同起点

6、.（2）角的问题（如三角形内角）可转化为向量的夹角来解.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为9,我们把数量|a|b|cosB叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a*b,即ab=ab'cosB。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。配合练习7、4ABC中，|冠|=3,|航|=4,|BC|=5,则ABBC=;一人,4一一1414T叶TT-配合练习8、已知a=（1,_）,b=（0,一）,c=a+kb,d=abc与d的夹角为一，贝Uk=224配合练习9、已知）=2乩=5,菰=3则2+b等于334444444配合练习10、已知a,

7、b是两个非零向量，且a=b1=1a-b1,则a与a+b的夹角为（3）b在a上的投影为|b|cos8,它是一个实数，但不一定大于00配合练习11、已知|"a|=3,日|=5,且Wb=12,则向量a在向量芸上的投影为（4）ab的几何意义：数量积a,b等于a的模iai与b在a上的投影的积。（5） .向J数4旧的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为9,则：a_Lb=a,b=0；当a,b同向时，ab=a"'b,特别地，a=a：=|a'，0=Ja"当a与b反向时，a*b=ab;当为锐角时，a*b0,且a、b不同向。a;*w*.非苓向重a,b夹角8的计算公式：c

8、osQ=备用；|a,b国a|b|。ab配合练习12、已知a=（%2九），=（3九,2）,如果与b的夹角为锐角，则九的取值范围是_，,_一3m.1J.3m.配合练习13、已知AOFQ的面积为S,且OF'FQ=1,若1<S<,则OF,FQ夹角日的22取值范围是一练习1、已知atb均为单位向量，它们的夹角为60o,那么|1+3胃|=2（04年全国卷二.理9）已知平面上直线l的方向向量e=（±3）,点0（0,0）和A（1,2）在,55l上的射影分别是0'和A',则0A=其中”（D）.A.nB.I!C.2D.-2553设平面上有四个互异的点A、B、GD,已知

9、（dB+DC_2dA）（aB-aC）=0,则4ABC的形状是（BA.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6、向量的运算：（1）几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行侬产背纥适用于不共J的量,.如此之外，y力嗒还父工“三角形法则”：设福=a,bc=b，那么向量ac叫做a与b的和,即a+b=AB+BC=AC；提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到AA2+AA3+口A,An=AA（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b,那么：-力=菰

10、-羡=前，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同，指向被减向量（用向量的减法来引进新的起点或者消去不必要的起点）。向量加减运算的运算结果非0,在移项时要注意.容易得出：|a|一|b|&|a士b|&|a|+|b|.耳习/切： (AB -CD) -(AC -BD)= 7B BC CD 二zTB AD -DC 二配合练习16、若正方形ABCD的边长为1, AB=a,Bc=b,AC配合练习17、若。是L ABC所在平面内一点，且满足c C则1a + b + c | =0B+0C-20A ,贝Ul_ABC的形状为配合练习18、若幼AABC的边BC的中点，M

11、BC所在平面内有一点P,满足PA+BP+Cp=0,设晔j则儿的值为|PD|=_-配合练习19、若点0是4ABC的外心，且fAOB+COY，则fBC的内角C为*第习1、（04年全国卷二.文9）已知向量a、b满足：|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=（）_A.1B.应C.75D.屈2、已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA+PB+PC=AB,则点P与ABC的关系为（A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点(曰坐标运耳：设a=(。y1),b=(x2,幻向量的加减法运算：a土b=(K±x2,y1土y2)。.配合练

12、习20、已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+九AC(九wR),则当九=时，点P在第一、三象限的角平分线上配合练习21、已知A(2,3),B(1,4)，且1TB=(sinx,cosy),x,y(-,-),贝Ux+y=2.22配合练习22、已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=三.F2的终点坐标是实数与向量的积：入a=九(%，丫1)=(Kx1,九y1)。若A(X,y)B%,y?),则AB=(x2-%,y2-y1,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。配合练习23、设A(2,3),B(

13、1,5),且品=1定，AD=3AB,则GD的坐标分别是3平面向量数量积：ab=为“+y1y2。配合练习24、已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(1,0)。(1)右x=,求向重a、c的夹角；(2)右xC,函数f(x)=，=ab的取大值为3841,求的值2，一.22c42，cCC向重的模：|a|=Jx+y,a=|a|=x+y。距离的求法：转化为向量的数量积：22IaI=Va*a=qx1+y1*“T3配合练习25、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a+3b|=两点间的距离：若A(x1,y1),BM,y2),则|AB尸加二7"5二。配合练习26

14、、在平面纥标再xOy中，"喝=601平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xe+y&,其中6|,备分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。若点P的斜坐标为(2,2),求P到O的距离|P0|;7、向量的运算律(1)交换律：a+b=b+a,九(Na)=(/*)a,ab=ba；444444444444*44(2)结合律：a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),(Ka),b=Ma,b)=a(九b)；(3)分配律：(九十N)a=?田+a,九(a+b)=?a+Kb,(a+b),c=ac+bc。配合练习27、下列命题中：TTTTTTT

15、TTTTTTa(b-c)=ab-ac;a(bc)=(ab)c;TTTTTTTTTT(ab)21a一2|a|b|+|b|2；若a，b=0,则a=0或b=0；若ab=Cb,则3=C；a=a2；a2b=b;(ab) 、一 _*配合练习35、已知A(a,0), B(3,2 +a),直线y =-aX与线段AB父于M ,且AM =2MB ,=Vb2;aa42,02(a-b)=a-2ab+b。其中正确的th提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量

16、不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(bC)#(ab)c,为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：(i)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数九，使得b=73a.实数人是唯一存在的，当了与b同向时，入0;当a与b异向时，入0o|人|的大小由"a及1的模 定了。这就是实数乘向量中确定。因此，当K确定时，入的符号与大小就确入的几何意义。若a二(%,y)，b=(X2,y2),则22ab：=Xiy2-X2yi=0=(ab)=(|a|b|)./c、，',.2TT2配合练习配合练习配合练习(3)a/bu(ab)2=(|a岬|)2._时a与b共线且方向相同4

17、 '厂"一 则X 28、若向量a=(x,1),b=(4,x),当*=.ii44r29、已知a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b,Hu/v,30、设PA=(k,12),PB=(4,5),品=(10,k),则k=时，A,B,C共线练习(04年上海卷.理6)已知点A(1,-2),若向量"AB与a=(2,3)同向，|'AB|二2/3,则点B的坐标为B(5,4)证明平行问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量平行9、向量垂直的充要条件：a_Lbuab=0u|a+b|=|a-b|uX1X2+yy2=0.特别地(-AB+rAC1)i(-AB-f

18、AC)。ab|ac|abIAC.-配合练习31、已知OA=(1,2),OB=(3,m),若OA_lOB,则m=配合练习32、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB/B=901则点B配合练习33、已知n=(a,b),向量n_1m，且汗="m1,则m的坐标是(证明垂直问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量垂直线段的定比分点：1-配合练习34、若M(-3,-2),N(6,-1),且MP=-MN、则点P的坐标为3则a等于10.向量中一些常用的结论：(D一?封.图“吓辛而平的向量和为零qq,要注意运0；(2) |a|_|b|Ma,±b|Ma|+|b|,特别地,当a、b同向或有0u|a+b|=|a|+|b|训 a| |b|Ra b|；当 a、b 反向或有 0u |abRa | + |b | 之 |a |_|b|Ra+b |;当 a、b 不共线 * * * * *4445一,-H,，产，一f5一，一二|a|_|b|：|a_b|：Ja|b|(这些和实数比较类似).若A(x,y1 ),B(X2,y2 )6(X3,羽、，则其重心的坐标为(3)在MBC中，xX2x3y，y2yG,配合练习36、若/ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则/ABC的重心的坐标为.三一d