Newton插值多项式ppt课件

1、 本节内容提要本节内容提要根本思想根本思想 NewtonNewton插值多项式的构造插值多项式的构造 差商差商 定义、计算、性质定义、计算、性质 NewtonNewton插值多项式的误差插值多项式的误差；，：插值多项式以构造项式的存在唯一性，可由插值多，个互异插值节点已知nkiiikiknkkknnxxxxxlyxlxLexxxn0010)()()(Lagrang1根本思想根本思想 缺陷：添加节点时，需求计算缺陷：添加节点时，需求计算 ，而已得的，而已得的 )(1xLn)(xLn不能被利用；不能被利用；为此我们思索对为此我们思索对LagrangeLagrange插值多项式进展改写；插值多项式进

2、展改写； 由独一性，仅是方式上的变化由独一性，仅是方式上的变化 期望：期望： 作一个简单的修正；的计算只需对)()(1xLxLnn；，从而可由由新增节点可以计算出待定；，的零点是即；，且有的多项式，是次数，则令)()()()()()()()()()(2100)()()(1)()()()(111101110111xLxLaaxxxxxxaxLxLxxxxxxaxhxhxnjxLxLxhnxhxLxLxhnnnnnnnnnnjjnjnjnn；)()()()()()()()()()()()()(110102010110210121101nnnnnnnnnnnxxxxxxaxxxxaxxaaxxxxx

3、xaxxxxxxaxLxxxxxxaxLxL普通递推得：普通递推得：；，；比较点斜式直线方程：；时，有：特别，当01011000010100101)()()()()()()()()(1xxxfxfaxfaxxxxxfxfxfyxxaaxLn 上述修正正的上述修正正的 可看成是由点斜式直线方程往可看成是由点斜式直线方程往 )(xLnn+1个插值点情形的推行，而个插值点情形的推行，而Lagrange插值多项式是插值多项式是由两点式直线方程推导而来的。由两点式直线方程推导而来的。 注：注： 一、系数一、系数 确实定确实定ka；，取；，取；，取来确定待定系数；，由插值条件；设1201010202120

4、202102221202202102201011101101100000110010)()()()()()()()()()(210)()()()()(xxxxyyxxyyxxxxxxayyayxxxxaxxaaxLxxxxyyayxxaaxLxxyxfaxLxxnjyxLxxxxxxaxxaaxLnnnjjnnnn10101010101010111011101)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(niinknknkiiikinniinnniinknknknniinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxfxxxxxxxfxxxfxlxfxxxLxLax

5、xxxxxaxLxLxxxxxxxxaxLxL，取一般，由：LagrangeLagrange插值插值插值条件插值条件基函数基函数；nnkknknknkiiikknknkiiikkniinnnknkiiikknkniinnaxxfxxxfxxxfxxxfxxxxxfxxxf010010010101010)()()()()()()()()()()()()( 依此公式费事！依此公式费事！ 二、差商二、差商1 1、定义：、定义：上的变化率；，在区间；表示，记作的一阶差商；，关于节点为称)()()()(jijijiijijxxxfxxfxxxfxxxfxf；，记作：的二阶差商，关于节点的均差为，称一阶均

6、差ikjikjkjikjikjjixxxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxf)(；，阶差商，有阶差商的均差为一般，称011021101xxxxxfxxxfxxxfnnnnnn注：为一致记号，规定：注：为一致记号，规定： ；)(iixfxf称为零阶差商称为零阶差商类比：类比：导数：导数：差商：差商：；000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx；，ijijjixxxfxfxxf)()(2 2、差商的计算、差商的计算,3,2,10321032132332102122101100 xxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxkk三阶差商二阶差商一阶差商零阶差商列差商

7、表列差商表列出差商表；，已知：11014)(76421kkxfx1801121610174607412116365210423121410四阶三阶二阶一阶kkxfxk解一：解一：例：例： 1801912121174607535316365340423121410四阶三阶二阶一阶kkxfxk解二：解二：可见，求各阶差商是方便的，且可见，求各阶差商是方便的，且 ，100 xxfxf，210 xxxf位于差商表的对角线上。位于差商表的对角线上。3 3、性质、性质；的线性组合阶差商可表为即；，)()()()()(1010010knkknknknkiiikknxfnxxfxxxfxxxf证明：归纳法证明

8、：归纳法 ；，时)(000 xfxfn；，；，时成立，即设11111210010)()()()(mkmkiiikkmmkmkiiikkmxxxfxxxfxxxfxxxfmn)()()()(11001111010110121110mkmkiiikkmkmkiiikkmmmmmxxxfxxxfxxxxxxxfxxxfxxxfmn，时，有：则)()()()()()()()(1100101111101miimkmkiiikkmkiiikkmiimmmxxxfxxxfxxxfxxxfxx得证。，10101100111100)()()()()()()()(mkmkiiikkmkmkiiikkmiimmmi

9、ixxxfxxxfxxxfxxxf)(11010101xxxxxxxxxxkmkmkmk通分：通分： 注：注： ；，10nnxxxfa 对称性对称性差商与节点的陈列次序无关；线性组合差商与节点的陈列次序无关；线性组合 因此当添加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可！因此当添加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可！差商定义亦可变成：差商定义亦可变成：；，202110212010210 xxxxfxxfxxxxfxxfxxxf；，有：则，个节点阶可导，且上，在若)(!)(1)(2)(10banfxxxfbaxnnbaxfnnk。，；即，至少有一个零点个互异零点；至少有个互异零点；至少有个互异零

10、点，由有；即：，由于，；令，其中；)(!)(0!)()()(0)()()(1)()(1)(100)()()()()()()()()(10)()()()()(10110010banfaxxxfanfLfRbaxRnxRnxRThRollenxRnkxRxLxfxRxxxfaxxxxxxaxxaaxLnnnnnnnnnnnnnknnnnnnnn证明：证明：三、三、NewtonNewton插值多项式插值多项式1 1、定义：、定义：)()()()()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN， 称为称为 次次NewtonNewton插值多项式插值多项式

11、n插值多项式；次求，给定数据：Newtonxfxkk411014)(76421；：插值多项式为，则有见上例先求差商表)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65) 1(34)()(4xxxxxxxxxxxNNewton例：例： 解：解： 2 2、余项：、余项： ；)(!) 1()()()(1)1(xnfxNxfnnn带余项的带余项的NewtonNewton插值公式插值公式 ；，的任意性，可得：由；，从而：其中；，则有：，增加节点，；得，已知互异节点)()()()()()()()()()()()()(1101101110110 xxxxxfxNxfxxxxxxfxNx

12、fxfxNxxxxxfxNxNxbaxxNxxxnnnnnnnnnnnnn；，阶连续导，则：上有，在若)(!) 1()()()(!) 1()(1)(1)1()1(10 xnfxNxfnfxxxxfnbaxfnnnnn比较可知，比较可知， 与与 确实只是方式上的不同，确实只是方式上的不同， 注：注： NewtonNewton插值多项式便于计算，而插值多项式便于计算，而LagrangeLagrange插值插值多项式多用于实际推导。多项式多用于实际推导。)(xNn)(xLn性质性质2 2例：例：( (上例中上例中) )插值余项为：插值余项为：有界，则可估计误差。连续若；)()7)(6)(4)(2)(

13、1(!5)()()()5()5(4xfxxxxxfxNxf插值多项式。次的出；并写，证明：互不相同，且设Newtonnxfnkxaxxxfxxxaxaxfkiikn)(21)(11)(01021例：例：；，)(1111)()(1100101010110 xaxaxaxaxxxxxfxfxxfk证明：归纳法证明：归纳法 ；，；，时成立，即：设11121010)(1)(1miimmiimxaxxxfxaxxxfmk；由归纳法得证。，时，有：则1001101011010110121110)(1)11()(11)(1)(1(11miimmiimmiimiimmmmmxaxaxaxaxxxaxaxxxxxxxfxxxfxxxfmk；，)()()()()(1)()()()(101101000110100100nnnnnxaxaxaxxxxxxxaxaxxxaxxxxxxxxxfxxxxfxfxNNewton插值公式求解插值问题的算法插值公式求解插值问题的算法算法算法1.初始化初始化 xn保管保管n个插值点；个插值点； fnn保管保管n个插值点的函数值和各阶差商个插值点的函数值和各阶差商 i-求解求解j阶差商的下标阶差商的下标 j-差商的下标差商的下标j=1,n2.按