第一章 静电场(一)

1、第一章 静电场(一)第一章 静电场(一)1-1 电场与电场强度1-2 电场的叠加原理1-3 电场的图示1-4 真空中的高斯通量定理1-5 电介质中的高斯通量定理1-6 电场强度的环路定理与电位函数1-7 电位梯度1-8 微分形式的高斯定理1-9 微分形式的电场强度环路定理1-10 泊松方程与拉普拉斯方程1-11 静电场的边界条件1-12 静电场的边值问题 库仑定律库仑定律( Coulomb Law)( Coulomb Law)在真空中，在真空中， 两个静止点电荷之间的相互作用力大小，两个静止点电荷之间的相互作用力大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方与它们的电量的乘积成正比，与它

2、们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。斥，异号电荷相吸。1 2212qqfKrr电荷电荷2 2受电荷受电荷1 1的力的力r为从电荷为从电荷1 1指向电荷指向电荷2 2K140真空介电常量真空介电常量 真空电容率真空电容率01222885 10.cm N1-1 电场与电场强度一一. .电场电场 (electric field)(electric field) 带电体周围存在的特殊运动形态的物质。带电体周围存在的特殊运动形态的物质。 电场的基本性质电场的基本性质 对放其内的任何电荷都有作用力对放其内的任何电荷都

3、有作用力 电场力对移动电荷作功电场力对移动电荷作功具有能量具有能量静电场：相对于观察者静止且量值不随时间变化的静电场：相对于观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场电荷所产生的电场动态的静止二二. .电场强度电场强度 (electric field strength)(electric field strength)描述场中各点电场的强弱的物理量描述场中各点电场的强弱的物理量电场强度定义电场强度定义q试验正点电荷放到场点试验正点电荷放到场点P P处处qQPF P P点的电场强度与试验点电荷无关点的电场强度与试验点电荷无关qFE0qlim空间带电体电量为空间带电体电量为Q试验电荷受力为试验

4、电荷受力为F 1.1.矢量场矢量场2.2.量纲量纲电场强度单位为牛顿每库仑电场强度单位为牛顿每库仑( (N N/ /C C），在国际单位制），在国际单位制( (SISI）中的单位为伏特每米）中的单位为伏特每米( (V V/ /m m） 。1 1V V/ /m m=1=1N N/ /C C电场强度电场强度E E微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微小正点电荷电量之比的极限小正点电荷电量之比的极限 点电荷在外场中受的电场力点电荷在外场中受的电场力 FqE 三三. .电场强度的计算电场强度的计算1.1.点电荷的场强公式点电荷的场强公式根据库仑定律和场强的

5、定义根据库仑定律和场强的定义q0204qqFRRFEq0204qERR由库仑定律由库仑定律由场强定义由场强定义Rq有点电荷有点电荷 ，q0R FP Pq在其外部在其外部p p点放入试验正点电荷点放入试验正点电荷F试验电荷受到电场力为试验电荷受到电场力为 ，P P点场强为点场强为E E点：相对点：相对 概念上的概念上的场强方向：正电荷受力方向场强方向：正电荷受力方向1-2 电场的叠加原理Efqniiiniiiqfqf11EEii如果带电体由如果带电体由 n n 个点电荷组成，如图个点电荷组成，如图iqniiiff1qir由受力叠加原理由受力叠加原理由场强定义由场强定义整理后得整理后得或或niii

6、irqE1204 ri在线性媒质中，电场强度亦服从叠加原理。在线性媒质中，电场强度亦服从叠加原理。媒质电容率媒质电容率与场强无关与场强无关矢量叠加矢量叠加电场的叠加原理电场的叠加原理在由若干个点电荷共同激发的电场中，任一点的电场强度，等于每一个点电荷单独存在时，该点所具有的电场强度的矢量和(矢量叠加)。这一结论称之为场的叠加原理。Ed Ed qrrQQ402 dE若带电体可看作是电荷连续分布的，如图示若带电体可看作是电荷连续分布的，如图示Qdq把带电体看作是由许多个电荷元组成，把带电体看作是由许多个电荷元组成，然后利用场强叠加原理。然后利用场强叠加原理。P PrdV 线线电荷密度电荷密度 面面

7、电荷密度电荷密度 体体电荷密度电荷密度dVdqdsdqdqdl0204dRRlEl0V204dVRRE0204dRRSES电电荷荷密密度度1-3 电场的图示一一. .电力线电力线 用一族空间曲线形象描述场强分布用一族空间曲线形象描述场强分布 通常把这些曲线称为电场线通常把这些曲线称为电场线(electric field line)(electric field line)或电力或电力线线 (electric line of force)(electric line of force)1.1.规定规定 方向：有向曲线，电力线上每一点的切线方向表征该方向：有向曲线，电力线上每一点的切线方向表征该店

8、场强方向；店场强方向； 大小：用电力线的疏密表征该点场强的大小。大小：用电力线的疏密表征该点场强的大小。在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强的量值。使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强的量值。2.2.电力线的性质电力线的性质1)1)电力线起始于正电荷电力线起始于正电荷( (或无或无穷远处穷远处) )，终止于负电荷，不，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；会在没有电荷处中断；2)2)两条电场线不会相交；两条电场线不会相交；3)3)电力线不会形成闭合曲线。电力线不会形成闭合曲线。有源场有源场无旋

9、场无旋场静电场的性质静电场的性质电力线的基本性质是由静电场的基本性质和场的单值电力线的基本性质是由静电场的基本性质和场的单值性决定的性决定的+-1-4 真空中的高斯通量定理一一. .电通量电通量 (electric flux)(electric flux)藉助电力线认识电通量：通过任一面的电力线条数藉助电力线认识电通量：通过任一面的电力线条数dEdS通过任意面积元的电通量通过任意面积元的电通量SSdE dS对任意曲面，把曲面分成许多个面对任意曲面，把曲面分成许多个面积元，每一面元处视为匀强电场，积元，每一面元处视为匀强电场，电场强度通量表示为电场强度通量表示为场强通量的单位为伏特米场强通量的单

10、位为伏特米(V(Vm)m)通过闭合面的电通量通过闭合面的电通量E dSSSdEd正与负取决于面元的法线方向的选取正与负取决于面元的法线方向的选取SdSEsdE00sdE00SdSE面元正面元正方向方向面元正面元正方向方向规定：面元方向由闭合面内指向面外规定：面元方向由闭合面内指向面外S SEdSdS0Eds电力线穿入电力线穿入0Eds电力线穿出电力线穿出二二. .静电场的高斯定理静电场的高斯定理 Gauss theoremGauss theorem1.1.表述表述在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合面所包在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和除以围的

11、电量的代数和除以 。E dSqSii内00 高斯通量定理用数学语言定量揭示了穿过任意闭合高斯通量定理用数学语言定量揭示了穿过任意闭合曲面的场强通量与曲面内电荷曲面的场强通量与曲面内电荷( (源源) )的关系。在大的空的关系。在大的空间范围内描述了静电场的性质。间范围内描述了静电场的性质。它说明静电场是一个它说明静电场是一个有源场有源场。2.2.高斯定理的应用高斯定理的应用-求对称电荷分布的场强分布利用高斯定理的解题步骤：、对称分析；、选择合适的高斯面，求高斯定理等式左端的通量；求高斯定理等式右端的面内总电荷；（要求面上场强处处相等或分片相等或与面垂直，以便将 提到积分号外； 要求场强与面的法线

12、的夹角处处相等或分片相等，以便将cos提到积分号外； 要求高斯面应是简单的几何面，以便计算面积）、利用高斯定理求电场分布。E 常见的电量分布的对称性：常见的电量分布的对称性： 球对称球对称 柱对称柱对称 面对称面对称均均匀匀带带电电的的球体球体球面球面( (点电荷点电荷) )无限长无限长柱体柱体柱面柱面带电线带电线无限大无限大平板平板平面平面3.3.高斯定理的应用高斯定理的应用-对称性分析1-5 电介质中的高斯通量定理 一般情况下，电场并不总是处在真空中，可能存在于各种不同媒质中。此时，静电场是有源场这一特性不会改变，只是当外界媒质条件改变时，高斯定理应作量方面的修改。 若在电容率为0的真空媒

13、质中，放入其它电介质，在电场的作用下，电介质将受到极化，其分子的正、负电荷等效中心将受到电场力的影响而产生一微小位移，亦即形成电偶极子。在均匀介质内部仍然呈现中性，但在不同介质的左、右两侧边缘处，则附着了过剩的或正或负的束缚电荷。束缚电荷对电场的影响(a)分子极化示意； (b)介质极化示意 电介质边缘束缚电荷对电场的影响电介质边缘束缚电荷对电场的影响电介质电介质电场作用电场作用极化极化电偶极子电偶极子微观微观电介质边缘出现束缚电荷电介质边缘出现束缚电荷产生附加电场产生附加电场宏观宏观使介质中原电场削弱使介质中原电场削弱 考虑了介质边缘处的束缚电荷，可认为场中介质的电容率为0，或者考虑了介质边缘

14、所出现的束缚电荷之后，可认为电场处在真空媒质之中。 高斯定理修改如下 0qqSdES束缚电荷示意图式中：q为闭合曲面S内存在于介质交界面上的所有束缚电荷量。0SSSdPqSdE电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理 SSdPqqSdPES0qSdDSEPe0000001eerDEPEEEEE 整理后在各向同性线性介质中P引入电极化强度矢量DED2C m电位移矢量电位移矢量量纲：量纲：D和E方向一致电位移线（D线）和电力线（E线）分布一致电位移矢量使得高斯定理更加普遍，抛开了电介质的影响D的分受与介质电容率 的影响高斯通量定理中等号右端的电荷为自由电荷，与极化电荷高斯面之外的自由电荷无关qSdDS

15、1-6 电场强度E E的环路定理与电位函数一一. .静电场力的功静电场力的功 电势能电势能1.1.静电场力是保守力静电场力是保守力( (证明略证明略) )2.2.静电场力作功等于相应电势能的减量静电场力作功等于相应电势能的减量 AfdlWWabaabbabqE点电点电势能势能ab点电点电势能势能二二. .静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势1.1.静电场的环路定理静电场的环路定理circuital theorem of electrostatic fieldcircuital theorem of electrostatic field1)1)表述表述静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒

16、等于零，即静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零，即EdlL0 这一积分形式定理说明，静电场是无旋场静电场是无旋场，静电场中场强矢量线(电力线)不可能是闭合曲线或旋涡线。 fdlqEdlWWabababEdlWqWqabababqE如图示点电荷在场中受力如图示点电荷在场中受力Eqf二二. .电位电位qWqWba根据静电场的环路定理根据静电场的环路定理与试验电荷无关，与与试验电荷无关，与a a，b b两点间路径的选择无关两点间路径的选择无关反映了电场在反映了电场在a a，b b两点的性质两点的性质BAABl dEA A、B B两点间的电位差两点间的电位差电位差电位差其值为将单位正点电荷从点A

17、搬移至点B时，电场力所作之功。在国际单位制中，其单位为伏特(V)点点A A的电位的电位单位正点电荷从点A搬移至参考点P时，电场力所作之功，即场中任意点A（零电位点）对参考点的电位差值。在电荷分布于有限区域的情况下，一般选择无限远处为参考点AAl dE 场中某点的电位亦是表征该点电位能的物理量，它表示单位正点电荷在电场中该点所具有的位能。RqRdRRql dEAAq020044点电荷电场的电位点电荷电场的电位等位线等位线 由电位差的表达式可知，等位线或等位面恒与电场强度E E线(电力线)垂直。等势体等势体电位的相对性与绝对性电位的相对性与绝对性 电位是一个相对量。场中任一点的电位数值，随参考点选

18、取不同而不同，但场中任意两点间电位差或电压却是固定的，它们与参考点的选择无关。RQU04Rr Rr与电量集中在球心的与电量集中在球心的点点电荷电荷的电势分布相同的电势分布相同等势体等势体1-7 电位梯度一一. . 等位面等位面由电位相等的点组成的面叫等位面由电位相等的点组成的面叫等位面 满足方程满足方程1U2312UUnnEUCzyxU,当常量当常量C C取等间隔数值时取等间隔数值时, ,可以得到一系可以得到一系列的等势面列的等势面2U3U等势面的疏密反等势面的疏密反映了场的强弱映了场的强弱二二. .电力线与等位面的关系电力线与等位面的关系1.1.电力线处处垂直等位面电力线处处垂直等位面2.2

19、.电力线指向电位降落的方向电力线指向电位降落的方向0Edl三三. .电势梯度电势梯度 电场强度与电位函数的微分关系表达式电场强度与电位函数的微分关系表达式把单位正点电荷从点A沿l搬至点B 电位为一空间点坐标的函数，在直角坐标系中表示为 。现若将点A沿x方向，移动单位正点电荷，行经距离x至点P，则有zyxxzyxxExExEPAx,cos xzyxzyxxxEAPxxx,limlim 00zyx,xEx即yEyzEz同理同理场中任意一点场中任意一点A A的电场强度的电场强度 zeyexeEeEeEeEzyxzzyyxxzeyexegradzyx记记 称之为函数称之为函数 的梯度。的梯度。zyx,

20、Egrad u标量函数的梯度为矢量标量函数的梯度为矢量u场强的方向：由高电位到低电位场强的方向：由高电位到低电位u静电场是一个位场，梯度场静电场是一个位场，梯度场u梯度方向：标量函数梯度方向：标量函数 增加率最大的方向；总方向：由增加率最大的方向；总方向：由低电位到高电位，与场强方向相反低电位到高电位，与场强方向相反1-8 微分形式的高斯定理qSdDS积分形式的高斯通量定理积分形式的高斯通量定理对场的整体性质的数学描述对场的整体性质的数学描述微分形式的高斯通量定理微分形式的高斯通量定理对场中每一点特性的描述（分布及强弱）对场中每一点特性的描述（分布及强弱）散度定理散度定理vSdDDSv0lim

21、div推导方法：无限紧缩高斯面于场中一点推导方法：无限紧缩高斯面于场中一点引出散度引出散度闭合高斯面闭合高斯面s s所界定的体积所界定的体积物理意义：空间任一点内发出的物理意义：空间任一点内发出的D D的通量的通量直角坐标下的体积元 以点A(x，y，z)为中心，作无限小正六面体积元，其边长分别为dx、dy、dz，且各自平行于坐标轴。 设点A处电位移矢量为 ，则其三个分量分别为Dx、Dy、Dz，沿x、y、z方向上的变化率分别为 电位移矢量的x方向分量分别为zDyDxDzyx,2,2dxxDDdxxDDxxxx故通过面元dS1的电位移矢量 的通量dxdydzxDdydzDdSdxxDDxxxx21

22、21通过面元dS2的电位移矢量 的通量为dxdydzxDdydzDdSdxxDDxxxx2121DDD 通过微小正面体的左、右两面元dS1与dS2的电位移矢量通量之和为同理dxdydzxDxdxdydzyDydxdydzzDzyxzSDDDD dSdxdydzdxdydzxyz若此时微小正六面体内含有体密度为的体积电荷，则有zDyDxDzyx0limSvD dSdivDv 直角坐标系中微分形式的高斯定理为dvdxdydzdivDu矢量的散度是标量u微分形式定理与所选坐标系无关u散度是空间点的坐标的函数，当自由电荷体密度 为零时0divDD线发出的点0D线汇集的点0u静电场为有源场，但场中各点不

23、一定处处有源无源区0有源区01-9微分形式的电场强度环路定理积分形式的电场环路定理积分形式的电场环路定理E dlL0微分形式的电场环路定理微分形式的电场环路定理推导方法：无限紧缩积分环路于场中一点推导方法：无限紧缩积分环路于场中一点引出旋度引出旋度旋度定理旋度定理0rotlimlsE dlEs 闭合曲线闭合曲线l l所所界定的面积界定的面积旋度是空间点的矢量函数旋度是空间点的矢量函数 设空间有 场，在平面yoz上以任意点A(x，y，z)为中心作一微小闭合矩形回路，其绕行方向为abcda，长边长为dy，短边长为dz。直角坐标系下选取的矩形回路设点A的场强矢量为 ，其三个分量分别为Ex，Ey，Ez

24、，若以 表示Ez沿y方向的变化率，则在ab线段中点处，电场强度z方向分量为2dyyEEzz沿ab段电场强度的线积分为dydzyEdzEdzdyyEEzzzz212EyEz2dyyEEzz同理cd线段中点处，电场强度z方向分量为E同理沿线段da及bc的电场强度的线积分分别为dydzzEdyEdydzzEEyyyy212dydzzEdyEdydzzEEyyyy212沿微小闭合矩形回路abcda的电场强度矢量的环路积分为dydzzEyEl dEyzldydzyEdzEdzdyyEEzzzz212沿cd段电场强度的线积分为场强 的旋度的x向分量 的直角坐标系表达式为zEyEErotyzx静电场中E E

25、的环路积分恒为零0zEyEErotyzx0 xEzEErotzxy0yExEErotxyz0zxyyzxxyzeyExEexEzEezEyEErot同理因而直角坐标系下场域中任意一点A的电场强度 的直角坐标系中场强 的旋度表达式可记为zyxzyxEEEzyxeeeErotEErotxEE等效等效0gradrotErot0ErotgradE0rotE u静电场为无旋场u与坐标系的选取无关u梯度的旋度恒为零1-10 泊松方程与拉普拉斯方程一一. .静电场的定理静电场的定理积分形式定理积分形式定理微分形式定理微分形式定理qSdDSdivDE dlL00rotE 场中每一点的特性场中每一点的特性场的整

26、体特性场的整体特性gradEDE二二. .静电场特性方程的推导静电场特性方程的推导divD直角坐标系下直角坐标系下zDyDxDDdivzyx1.1.2.直角坐标系下直角坐标系下DExxyyzzDExDEyDEz zzyyxx综合综合1，2gradE222222yyx0222222yyx线性介质线性介质为常数为常数0泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程三三. .哈密尔顿算子哈密尔顿算子在直角坐标系中，哈密尔顿算子定义为zeyexezyx1. 算子 作用于标量函数zeyexezeyexezyxzyx矢性矢性微分微分运算符号运算符号( , , )x y zEgrad D2. 算子 作用于矢量函数

27、，矢量点乘zDyDxDDeDeDezeyexeDzyxzzyyxxzyxDDdivE3. 算子 作用于矢量函数，矢量叉乘yExEexEzEezEyEeEeEeEezeyexeExyzzxyyzxzzyyxxzyxEErot4.2222222xyzxyzeeeeeexyzxyzxyz 2()()DE DEE D四四. .静电场特性方程的算子形式静电场特性方程的算子形式2 适用于所有坐标系适用于所有坐标系2222222xyy 引入算子，比在直角坐标系下直接运算大大节省了运算量1-11 静电场的边界条件一一. .导体和绝缘体导体和绝缘体1.1.导体导体 存在大量的可自由移动的电荷存在大量的可自由移动

28、的电荷 conductorconductor2.2.绝缘体绝缘体 理论上认为一个自由移动的电荷也没有理论上认为一个自由移动的电荷也没有 也称也称 电介质电介质 dielectricdielectric3.3.半导体半导体 介于上述两者之间介于上述两者之间 semiconductorsemiconductor静电场的求解问题静电场的求解问题转化转化泊松方程/拉普拉斯方程给定条件场域内部场域内部点的特性点的特性场域边界条件场域边界条件二二. .导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件1.1.静电平衡静电平衡 electrostatic equilibriumelectrostatic equilibr

29、ium导体内部和表面无自由电荷的定向移动，导体内部和表面无自由电荷的定向移动，说导体处于说导体处于静电平衡状态。静电平衡状态。2.2.导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件0内E3.3.导体的电势导体的电势导体静电平衡时，导体各点电势相等，导体静电平衡时，导体各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面即导体是等势体，表面是等势面。导体等势是导导体等势是导体体内电场强体体内电场强度处处为零的度处处为零的必然结果必然结果4.4.导体静电平衡的性质导体静电平衡的性质a.a.导体体内处处不带电导体体内处处不带电表面电荷面密度表面电荷面密度外法线方向外法线方向0En表b.b.导体表面导体表面场域边界条件场

30、域边界条件三三. .静电场的边界条件静电场的边界条件导体与介质交界面导体与介质交界面导体表面导体表面介质与介质交界介质与介质交界不同介质交界面不同介质交界面1.1.导体表面的边界条件导体表面的边界条件 （1）导体内部任一点场强为零，导体为等电位体；（2）导体表面场强及电位移矢量只具有法线分量。 处于静电平衡状态处于静电平衡状态作一微小扁平圆柱体包围此面元dSdSdS21qSdDSSd在导体与介质的交界面上截取一微小面元h0dSdSDSdDn2nnEDD在导体与介质交界处作一微小矩形令矩形的短边趋于零沿此微小矩形取场强E E的环路积分，0lE dl0tE nnEDD0tEnC导体表面的边界条件为上述边界条件是导体静电平衡的表现。上述边界条件是导体静电平衡的表现。2.2.不同介质交界面的边界条件不同介质交界面的边界条件 作扁平圆柱体，其上、下底面积相等，dS1dS2dS，分别位于1及2的电介质中,若在介质交界面有自由电荷面密度存在运用高斯定理于此圆柱体表面有 dSSdDS2211221121nnnnDdSD dSdSDdSDdSd