数学建模论文两种随机存贮管理模型的建立和求解

1、两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要:本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。采用连续的时间变量更合理地描述了问题,简化了模型的建立。模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计,解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种(m 种存贮模型,论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理,给出了证明,指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。讨论了销售速

2、率具有随机性时的存贮模型,实际当中调整修正订货点的方法,以及仓库最大存贮量的一种预测办法。最后指出了模型的优缺点。0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料,商家销售要成批地购进各种商品。无论是原料或商品,都有一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求,影响利润;存得太多,存贮费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。问题1 某商场销售的某种商品。市场上这种商品的销售速率假设是不变的,记为r ;每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关;使用自己的仓库存贮商品时,单位商品每天的存贮费用记为2c ,由于自己的仓库容量有限,超出时需要使用租借的仓库存贮商品,单位商品每天的

3、存贮费用记为3c ,且32c c ;允许商品缺货,但因缺货而减少销售要造成损失,单位商品的损失记为4c ;每次订货,设货物在X 天后到达,交货时间X 是随机的;自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ,每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止,且Q Q 0;在销售过程中每当存贮量q降到L 时即开始订货。 请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L (最优订货点的数学模型。问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据,按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。问题3 问题1是只有一种商品需要订货的情形。实际上常遇到在库存容量有限的情况下,有多种商品需要同

4、时订货的情形,这时需考虑充分利用存贮体积的问题。设有m 种商品需要订货,它们每次一同从一个供应站订货,每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关;订购的货物同时到达,到货天数X 如问题1所述是随机的。这m 种商品的销售速率分别为i r (袋或盒/天,.,2,1(m i =,每袋(或盒的体积分别为i v ,.,2,1(m i =。使用自己的仓库和租借的仓库时单位体积商品每天的存贮费分别记成i c 2和i c 3,.,2,1(m i =,单位体积商品每天的缺货损失记成i c 4,.,2,1(m i =,自己的仓库用于存贮这m 种商品的总体积容量为0Q ,每次到货后这m 种商品的存贮量总体积

5、补充到固定体积容量Q 为止,且Q Q 。1.00L Q ,订货点大于自己仓库的最大容量这又可以分为两种情况,分别如图2-1中左、右所示。 损失费变化率时间Q Q L库存量图2-1 0L Q 时库存量及日损失费随时间的变化曲线I :L rx ,即不会发生缺货现象,在送货到达时商品还有剩余或恰好售完。这一情况如图2-1中左边部分所示。看左上图,以每个周期开始时刻为0点,此时总的库存量为Q ,它以不变的销售速率r 均匀减少。到1t 时刻降为0Q ,也即租借仓库内的商品销售完全。2t 时刻库存降至L ,此时发出订货单。在3t 时刻,商品仍有库存或恰好售完,而补充货物送到,将其补充至Q ,故3t 也即下

6、一周期的起点。23t t 段长度即为滞后时间x 。定义一个日损失费N ,它是指单位时间(天内除订货费之外其他损失费之和。这一值是随着时间改变的。在一个周期的时间上对它进行积分,可得到一个周期存贮和缺货损失费之和。在10t 时段内,单位时间内自己仓库内的库存不变,其单位时间内的损失费用不变,为02Q c ;而租借仓库内的商品以速率r 减少,其库存费用的减少速率为3r c ,在左下图中即表现为AB 段的斜率为3r c 。在A 即周期起点处,总库存为Q ,其中0Q 部分存在自己仓库内,0Q Q -部分存在租借仓库内,0203(A N Q c Q Q c =+-。在13t t 时段,库存只剩下自己仓库

7、里的,日库存费用N从02B N Q c =以速率2r c 减少,至2t 时刻库存降为2C N Lc =。而3t 点为该周期的终点,此时送货到达,而2(D N L rx c =-。很直观地,10t 段的累积损失费为梯形A0B 1t 的面积1S ,12t t 段累积损失费用为梯形B 1t 2t C 的面积2S ,23t t 段的累积损失费用为梯形C 2t 3t D 的面积3S 。 计算如下:10t :02030112(22A BQ c Q Q c Q Q N N S t r+-+=12t t :020221(22B C N N Q L c Q LS t t r +-=-=23t t :223322

8、(22CD N N L c rX c S t t x +-=-=则在无缺货情况下, 一个周期内总的损失费用是面积1S 、2S 、3S 之和加上订货费,即:2222322112310002(2(222c c rc F c S S S c Q Q Q L Q Q Lc x xrr=+=+-+-+-(2-1II :L rx ,要发生缺货的情况。10t 、12t t 段与I 的情况相同,3t 时刻库存降至0,而订货尚未送到,此后34t t 时段都处于缺货状态,单位时间的缺货费用(即缺货费用的变化率是由0开始按4r c 的速率增加。在34t t 时段,右上图库存量变化折线延伸到了0点以下,但它并不表示库

9、存量为负,而是为了体现出缺货的状态。到4t 时刻订货送达,缺货状态解除,而此时缺货费用增长到最高,4(E N rx L c =-。三角形DE4t 的面积4S 即该周期内总的缺货损失费。同上可计算得出:10t :02030112(22A BQ c Q Q c Q Q N N S t r+-+=12t t :020221(22B CN N Q L c Q LS t t r+-=-=23t t :22332(22CN c LS t t r=-=34t t :24443(22E N c rx L S t t r-=-=故在有缺货时,一个周期内总的损失费为面积1S 、2S 、3S 、4S 之和加上订货费

10、。222223224112341000(2(2222c c L c c rx L F c S S S S c QQ Q L Q Q rrrr-=+=+-+-+(2-2观察发现,I 、II 情况中求得的总损失费用表达式的右端存在着相同的部分222321000(2(22c c c Q Q Q L Q Q rr+-+-,即其12S S +是相等的,12S S +表示租借仓库存贮量至销售完时所积累存贮费用与自己仓库存贮量降至L 时积累存贮费之和。不同的只是滞后时间部分,该部分开始时间是存贮量降为L 的时刻,结束时间为送货到达时刻。对于情况I ,不包含缺货费用,而II 中多了缺货费用一项。故可以把式子写

11、成:1(2(M M x L rx F X M M x L rx+=+,订货点大于自己仓库的最大容量 Q QL库存量时间图2-2 0Q L Q 时库存量及日损失费随时间的变化曲线如图2-2所示,此时还要分三种情况考虑:I :0L rx Q -,送货到达时租借仓库内仍然存有商品,无缺货;II :00L rx Q -,送货到达时租借仓库内已无存贮商品,而自己仓库内还存有部分商品,无缺货;III :0L rx -,送货到达时租借仓库和自己仓库内均空,有缺货现象。 下面分别加以推导这三种情况下总损失费用表达式。I :0L rx Q -由于分析过程与0L Q 时相同,故以下只给出计算表达式,而不给出推导过

12、程。0203(A N Q c Q Q c =+-;3B N Lc =;3(C N L rx c =- 10t :302031(222Q L c Q c Q c Q LS r+-=12t t :03022(2L Q c Q c L rxS x -+-= 总的损失费用为:3020303021121(22(22Q L c Q c Q c L Q c Q c L rxQ L F x c S S c xr +-+-=+=+ (2-5 II :00L rx Q -0203(A N Q c Q Q c =+-;0203(B N Q c L Q c =+-;02C N Q c =;2(D N L rx c =

13、-10t :302031(222Q L c Q c Q c Q L S r +-=12t t :03022(22L Q c Q c L Q S r-+-= 23t t :02203(2Q c L rx c Q L rxS r+-+=302031123103020220(22(2(2(22Q L c Q c Q c Q LF x c S S S c r L Q c Q c L Q Q c L rx c Q L rxrr+-=+=+-+-+-+(2-6III :0L rx -+-(2-9在此目标函数中具有积分项,它是一个非线性目标优化模型。通过求解该优化模型可得出L的最优解即最低订货点*L,它使得

14、总损失费用(F L最小。至此,问题1得到解答。2.4单品种存贮问题的求解与结果1.概率密度函数的确定:题中指出x为随机变量,没有具体给出其变化规律,但在问题2中各个具体商品却提供了一些滞后期的数据。通过这些数据,可以确定出x的分布函数,即其概率密度函数(f x。1商品一:康师傅精装巧碗香菇炖鸡面统计连续的36次订货后到达时间天数纪录,得到表2-1。表2-1 商品一交货时间X在不同时间点的概率分布 x由QQ图可见各点基本在直线附近,说明x分布的正态性较好。利用统计学中的参数估计得知该样本符合均值为2.9722,方差为1.521的正态分布。 图2-3 商品一交货时间的概率密度图 图2-4 验证商品

15、一交货时间是否正态分布的QQ图2商品二:心相印手帕纸统计连续的43次订货后到达时间天数纪录,得到表2-2。表2-2商品二交货时间x 在不同时间点的概率分布 由QQ 图可知商品二的交货时间服从威布尔分布。其密度分布函数1(0,(bb a xf x a b xeI x-=,由最大似然估计确定W elbull 分布参数a=0.0380 ,b=3.1434。 图2-5 商品二交货时间的概率密度图 图2-6 验证商品二交货时间是否威布尔分布的QQ 图3商品三:中汇香米5KG 装表2-3商品三交货时间x 在不同时间点的概率分布 采用与(2相同的方法得到图2-7和2-8,图2-8QQ 图可知商品三的交货时间

16、也服从威布尔分布,其分布参数为a= 0.2312 ,b= 1.8424。 图2-7商品三交货时间的概率密度图 图2-8 验证商品三交货时间是否正态分布的QQ图2.求解方法和结果:该问题是一个比较复杂的单变量求极值的问题,因为含有复杂而繁琐的积分项,常用的通过求导找解析解的方法就难以适用。对于问题2中给出的具体问题,由于数据Q取值均不大,可以采用遍历搜索方法。从L=0开始直至L=Q,依次得出不同L值下的总损失费用(F L,比较选出其中最小值即为最低总损失费用,此时对应的L即为最低订货点*L。另外,从优化角度看,本题属于非线性优化问题,也可从利用matlab中的相关函数,将上面列出的目标函数及其约

17、束条件代入求解。表2-4中列出了三种商品在采用遍历搜索和优化方法求解的结果。可以看出两者相差不大,但优化方法能找到更精确的解。在附表中给出了遍历搜索的过程。表2-4 题目2的求解结果 3 多品种存贮问题3.1符号约定m :商品种类;i r :第i 种商品的销售速率(盒/天,1,2,.,i m =;i v :第i 种商品单个商品的体积(3m;vi r :体积的销售速率(3/m 天,vi i i r r v =;1c :每次进货的定货费(元; 2i c :使用自己仓库存贮时,第i 种商品每天的存贮费(/元盒个,1,2,.,i m =;3i c :租借仓库存贮时,第i 种商品每天的存贮费(/元盒个,

18、1,2,.,i m =;4i c :缺货时第i 种商品的损失为(/元个,1,2,.,i m =;x :每次订货后交货的滞后时间为(天; (f x :x 的概率密度函数; 0Q :自己仓库最大容量(3m ;0iQ :自己仓库用于存贮第i 种商品的最大容量(3m ,1,2,.,i m =;Q:商品存贮量达到的固定值(3m ;i Q :第i 种商品订货到达时存贮量达到的固定值(3m ,1,2,.,i m =;L:订货点(3m ;i L :达到订货点时每种商品的库存量(3m ,1,2,.,i m =; F:总日均损失费用;i F :每种商品的日均损失费用, 1,2,.,i m=;3.2多品种存贮问题的

19、分析和建模1. 问题分析和模型建立同第一题中的分析,这里仍然认为时间和库存量都是连续的变量。总损失费 用最低等价于单位时间(即天的平均损失费用(即日均损失费用最低。当有m 种商品同时订货时,单独看每种商品的进货、存贮、销售、订货、缺货流程和第一题中建立的模型是相同的,故当0i i i Q L Q 和00i i L Q 时,i F 的表达式推导过程与单品种模型中完全相同,这里就不再做讨论了。在第一题中不会出现商品缺货了还没有订货的情况,同理在这个问题中也不会出现m 种商品都缺货了还没有订货的情况。但是也有两点不同:1这里的存贮费用和缺货费用都是按体积衡量的,而不是按袋(盒。 2在这里由于目标函数

20、是多种商品的费用总和的平均,要进行总体的规划使总费用最小,当某种商品的缺货费用较低时也可能出现这种商品已经缺货,但别的商品仍在销售,订货还没有发出。即相对于第一题的模型,不仅可能出现00i i L Q ,0i i i Q L Q ,则1(j j vjQ L T r -=。0,1j A j L j m = A 点日损失费为0203(A i i i i i N Q c Q Q c =+-,B 点为02B i i N Q c =,C 点为0,D 点12414(i D vi i vi i viQ N T t x r c T x r c r =-+=+-。与单物品存贮模型相同方法分析,算得:10t :0

21、2030112(22i i i i i i iA Bi viQ c Q Q c Q Q N N S t r +-+=12t t :022221(22i iBi viQ c N S t t r =-=24t t :21212344(22i vi i vi ivi i Q T x r T t x S r c r c +- -+=则0i L =时,在一个周期内的总损失费用为:212(3000324(2222i vii i i i iviii i i vivi Q T X r Q Q Q Q Q r F c c c r r +-=+(3-1这里没有把订货费用1c 写进,这是因为这m 种商品只付一次订货

22、费用就可以了。这样对第i 种商品,在一个周期内的平均每天损失费用为0i0i 01230(10120(2000(3(/(,(0(/(i i vi vi i i i iivi i viL L Q rr L L Q i i i i i i i r r ii i i i i viL r L i i i r i i i i ii i i i vi i i iF F f x dx F f x dx F f x dx F Q L Q x Q L r M M x f x dx M x f x dx F L Q Q F L Q x Q L r Q Q F -+=+-+=+-=2120032401(2(222 (

23、0 0i vii i i vii i i vi vi i i iQ T x r Q Q Q r c c c f x dx r r L T x L Q +-+=+ (3-2其中:(j i F 下标i 区分不同的商品种类,上标j 区分i L 的不同取值范围,前两种情形下的计算式完全类似于第一题中得到的计算式,且有:22223000(2(22i i i i i i i i i vivic c M Q Q Q L Q Q r r =-+-2212(2i vi ii L c xr c M x x-=22242(22i i vi i i i viviL c r X L c M X r r -=+。3020

24、301(222i i i i i i i i ii i viQ L c Q c Q c Q L F S r +-=,0i 3021(2i i i i i vi i L Q c Q c L r xF x-+-=,030i 200220i 2(2(22i i i i i i i i i vi i i vi i vi viL Q c Q c L Q Q c L r x c Q L r xF r r -+-+-+=+,22030200243(2(222i i i i i i i i vi i ii vi vi viL Q c Q c L Q Q c r x L c F r r r -+-=+得到这m

25、种商品平均损失费用为 (1110(101(,(,mj m m m ii i i i c F L Q Q FL Q Q T=+(3-3对110(1(,m m m F L Q Q 的说明:记m 维向量112,.,m m L L L L =,112,.,m m Q Q Q Q =,0(101020,.,m m Q Q Q Q =则110(1(,m m m F L Q Q 的表达式与1mL 每一个分量的取值范围都有关。其中每一个i L 的取值范围都有三种,根据排列组合理论1m L 的取值范围有3m 种,再减掉i L 同时为0,即同时卖完货时才订货的那种可能性,110(1(,m m m F L Q Q

26、的表达式共有31m -种可能。不同的表达式对应的L取值范围不同,这31m -种可能涵盖了1m L 所有的取值。在1m L 的每一个取值范围内即110(1(,m m m F L Q Q 的表达式是确定的,即110(1(,m m m F L Q Q 是一个分段函数,它的表达式具体写出为:(1(1(1(1(1112310(1(1(1(1(21123100(1(1(1(1(11231110(1 ,1,2,., ,1,2,.,1;0(,m m i i m m i i m m m m m m m c F F F F F Q L Q i mT c F F F F F Q L Q i m L Q T c F

27、F F F F T F L Q Q -+=+=-+=30(3(3(3(3(311231 ,1,2,.,1;00,1,2,.,i i m m m i Q L Q i m L c F F F F F L i mT -=-=+=(3-4其中,T 代表周期平均值,(j i F (1,2,.,;1,2,3i m j =的表达式见式(3-2。得到了目标函数110(1(,m m m F L Q Q ,再加上根据题意得到的各个变量约束条件,则可以得到一个多变量的最优化问题:110(11001101m in (,.0,1,2,.,m mm mi i mi i m i i i ii j jj vjF L Q QS

28、 T Q Q Q Q L L L Q i m Q Q Q L T L A r =-= (3-52. 对于上述最优化问题自由变量个数的讨论在上述最有化问题中,目标函数中含有3m 个变量i L ,i Q ,0i Q 。它们有隐含的互相决定关系。比如当i Q 确定,L 确定时(1m +个变量,所有的i L 就是唯一确定的。这是因为各种商品的最初存贮体积确定,体积销售速率已知,则每种商品的存贮量变化曲线是确定的,则总存贮量的变化曲线也是确定的(把各种商品的销售曲线按相同时间点相加即可,则L 唯一地对应于一个时刻T ,在每一种商品的销售曲线上,T 对应的存贮量就是i L 。当自己仓库的存贮量0i Q (

29、m 个变量也确定时,目标函数的值即日均损失费用也就确定了。即自由变量为21m +个。再根据模型中还有两个等式约束1mi i Q Q =,001mi i Q Q =,得到所建立的最优化模型的目标函数的自由变量为21m -个。 3. 模型的求解思路解法一:用现成软件的带约束最优化函数求解上面的最优化模型,因为实际上商品的体积是离散的,不可能有半个商品出现,还需要再将得到的最优解转换为相应的离散最优解。解法二:分别写出每一个取值范围上的110(1(,m m m F L Q Q 的表达式,和相应的约束条件。选取合适的21m -个变量目标函数分别对它们求偏导,令结果为0,则可以解出此范围内使F 最小的解

30、。将所有31m -种情形都求解之后,进行比较,最小的(F L 值对应的就是这个问题的最优解*L 。但是这种方法只适用于m 取值小而且密度函数的表示比较简单的情形。3.4多品种存贮问题的求解与结果可以利用以上建立的多品种存贮模型来求解具体的问题。下面将对问题4进行求解。1.具体问题的分析及模型简化针对题目四提供的相关数据,分析得到下表 所示的三重商品各类费用比较。可以看出任何一种商品的缺货费用都远远高于其他费用。如果某种商品出现了缺货,缺货费的增加是其他存储费的减少所不能抵消的;另一方面,缺货的出现会使销售周期T 增大,日平均订货费用会相应减少,但是本题中一次订货、也就是一个周期内的订货费用为1

31、0元,故日平均订货费用的减少也远不足以抵消缺货费的增加。也就是说,本题中要实现总损失费用降低,在订货时各种商品都要有一定量的存储,也即订货点i L 都大于0。表3-1三种商品单位时间内各类费用的比较 另外,如前面分析,3种商品有23-1=5个自由变量。这里取为1L 、2L 、L 、01Q 、02Q ,其他的参数可以通过这5个自由变量求取:记订货时,各产品已销售的时间为t ,易知,31i ii Q Lt r v=-=,312L L L L =-,(1,2,3i i i i Q L r v t i =+=。将01Q 、1Q 、1L 代入式(3-2得到商品一的损失费用1F ,同理可得商品二、三的损失

32、费用2F 、3F ,至此得到数学模型如下:min F =(1L ,2L ,L ,01Q ,02Q S.T.01020326010(1,2010i Q Q Q L L L L i L +=+=(3-6 2.滞后期概率密度题中指出滞后期服从在1天到3天之间的均匀分布,我们采用连续的方法来处理问题,认为x 的取值在1天至3天内是连续的。在下图给出了x 取1天至3天的概率密度(f x ,01之间表示1天,12表示2天,23表示3天。 0.050.10.150.20.250.350.450.5滞后期/天概率密度图3-2 滞后期的概率密度曲线写成表达式为:103(30x f x 则*1212*12*12(

33、,.,(,.,(,.,(,.,m n n m f X X X f X X X Mf X X X M f X X X =+=这个结果与*12,.,mX X X 是最优解矛盾。 故定理成立。根据题意,我们想找到与其他部分的费用无关的局部模型,那么得到的最优解必定也是使这个局部模型费用最低的最优解。考虑当模型符合在货物送达时租借仓库的产品已经全部卖完的特定情形下,这时租借仓库中各种货物所占的体积除了对租借仓库比用自己的仓库多花的那部分贮存费有影响之外,对其他的费用都没有影响。从现实意义上理解这主要是因为多花的那部分费用相当于用自己的仓库免费、租仓库的费率为32i i c c -时,存贮需要花的钱。在

34、我们的前提假设下当商品总量一定时贮存在那个仓库对于销售,缺货等流程完全没有影响。即这部分的费用与其他部分的费用是独立的。应用上面提出的最优性原理,得到(3-2的最优解应使2321(2mii i i viQ c c r =-,0i i iQ Q Q -= (3-7也取最小值。将约束条件01mi i Q Q Q =-代入(3-2式,则(3-2式中含有1m -个变量,分别对它们求偏导数可以得到1m -个线性方程,解之就可以求得i Q 。 2. 最优性原理的应用1 在满足原理前提条件时,i Q 和0i Q 可以相互决定,自由变量减少1m -个。 2 对结果的验证:在第四题中用计算机程序求解得到的L 值

35、为6.4254,即订货在租借仓库内的商品将要卖完时发出,而到货时间服从1天到3天的均匀分布,我们计算时将这段时间连续化为(0,3天。所以基本符合租借仓库的商品卖完之后货才送到的前提。将第四题中数据带入(3-7式中求导之后解线性方程可得最优解应当基本满足如下一组关系式:31016077Q Q m-=,32024877Q Q m-=,330320077Q Q m-=列表比较如下:表3-4:在最优方案中租借仓库存贮量计算值和验证值的比较 时是从0开始取的,模型有大约3%的概率不符合原理的前提。两组数据基本相符,这从另外一方面说明了本模型的计算结果是比较可信的。4进一步讨论对于问题5将进行讨论。题中对

36、于销售速率、订货费用、存贮费用、缺货费用等假定是固定的,这些都是做了一定的简化。而实际的情况要复杂的多。以销售速率为例,题中假设销售速率固定,即单位时间内销售量不改变。而显见的,在实际当中,销售情况不可能时时一样,而是要变化三的。只能说它是以某个规律、某个分布函数随机变化的。这一分布函数可以由商家在此前统计的资料进行分析确定。假定销售速率取值的概率密度函数为(g r ,(g r 的出现增加了问题的复杂度。在单品种存贮模型中,建立总损失费用的模型为:000101223001(2(/m in(/S.T.0Lr L rL Q Lr rL L Q rrM M x f x dx M x f x dxL Q x Q L rF L c F F x f x dx F x f x dx F x f x dxQ L Q x Q L rL Q-+-=+-(F L 取的是对x 的概率平均值,在考虑销售速率的随机性后,还应该对(F L 取r 上的概率平均值,可得到:000101223001(2(/(/Lr L rL Q Lr r L L Q rrM M x f x dx M x f x dx g r drL Q x Q L rF L c F F x f x dx F x f x dx F x f x dx