《极限运算法则》PPT课件课件

1、福州大学数计学院福州大学数计学院1定定义义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim0lim, ,.nnnxaNZnNxa 使使恒恒有有定义N定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当 复习复习 Axfxx)(lim0时时当当福州大学数计学院福州大学数计学院2定定义义 Axfxx)(lim0.|)(|,|0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当000000000| | xxxx xxxxx xxxx xxx 注注意意：说明说明.,)10有有关关的的正正数数与与任任意意给给定定的的接接近近程程度度与与用用来来刻刻划划 xx.,|0

2、)20不不能能去去掉掉是是重重要要的的定定义义中中xx .)()30是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf福州大学数计学院福州大学数计学院3左极限左极限右极限右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .福州大学数计学院福州大学数计学院4第五节第五节 极限运

3、算法则极限运算法则一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则二、极限的运算法则 新课新课 第一章第一章 福州大学数计学院福州大学数计学院5一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大1. 无穷小无穷小(infinitesimal ).若若 , ,则称则称 为为 x x0 时的时的无穷小无穷小. .0)(lim0 xxx )(x v 若若 , ,则称则称 为为x 时的时的无穷小无穷小. .0)(lim xx )(x v 福州大学数计学院福州大学数计学院6注意：注意：福州大学数计学院福州大学数计学院72) 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:引理引理.)()()()(lim00时的无

4、穷小时的无穷小是当是当其中其中xxxxAxfAxfxx 意义意义1) 将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()()20 xAxfxxf 误误差差为为附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数 福州大学数计学院福州大学数计学院8注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小乘积是无穷小. .推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .xxxxx1arctan,

5、1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小福州大学数计学院福州大学数计学院92、无穷大、无穷大定义定义: 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.0lim( )xxf x 0000, ,( )Mxxf xM 有有当当时时lim ( )xf x 00, ,( )MXxXf xM 有有当当时时福州大学数计学院福州大学数计学院10定义中定义中| f(x) |M 换成换成 f(x) M (或或 f(x) 0, x0=2My(x)在在R上无界：上无界： M 0, x0 R, 有有 | y(x0) | M有有 | y(x0) | =(2M)cos(2M)M 无界无界lim(

6、 )xf x 00, ,( )MXxXf xM 有有 当当时时 M0, X 0 , 但有但有x1=X使得使得| y(x1) | = (2X+/2)cos(2X+/ 2)0且且A1, B为常数为常数) ) 00lim ( ),lim ( )xxxxf xAg xB000 xxxxlim g(x)lim g(x)g(x)Bg(x)Bxxxxxxxx则则有有limf(x)lim f(x)A .limf(x)lim f(x)A .22011lim00lim(cossin)lim(cossin)xxxxxxxxxxx 但如但如1若若补充补充(书书P56 )福州大学数计学院福州大学数计学院35三、小结三、

7、小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3）无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量 , 但是无界但是无界变量未必是无穷大变量未必是无穷大.福州大学数计学院福州大学数计学院361. 极限的四则运算法则及其推论

8、极限的四则运算法则及其推论; 2. 极限求法极限求法;1) 多项式与分式函数多项式与分式函数代入法代入法求极限求极限;2) 消去零因子法求极限消去零因子法求极限;3) 无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;5) 利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;6) 利用左右极限求分段函数在分段点处的极限利用左右极限求分段函数在分段点处的极限;4) 分母或分子有理化分母或分子有理化.福州大学数计学院福州大学数计学院37.sin114lim 22xxxxxx 求极限求极限例例解解xxxxxxsin114lim22 22sin111114limxxxxxx .1 练习练习:福州大学数计学院

9、福州大学数计学院38另解另解则则令令,xt xxxxxxsin114lim22 ttttttsin114lim22 22sin111114limtttttx .1 .sin114lim 22xxxxxx 求极限求极限例例练习练习:福州大学数计学院福州大学数计学院39一、填空题一、填空题: :1 1、 凡无穷小量皆以、 凡无穷小量皆以_为极限为极限. .)(,_2的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数直直线线条条件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是无穷小是无穷小则则是无穷大是无穷大若若、在同一过程中、在同一过程中xf.10

10、,21,0:4 yxxxyx能能使使应应满满足足什什么么条条件件问问是是无无穷穷大大函函数数时时当当二二、根根据据定定义义证证明明练练 习习 题题福州大学数计学院福州大学数计学院40.,0,1,0(1sin1这这个个函函数数不不是是无无穷穷大大时时但但当当上上无无界界在在区区间间三三、证证明明函函数数 xxxy福州大学数计学院福州大学数计学院41一、一、1 1、0 0； 2 2、Cxfxx )(lim； 3 3、； 4 4、)(1xf. .二、二、210104 x. .练习题答案练习题答案福州大学数计学院福州大学数计学院42._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填

11、空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题福州大学数计学院福州大学数计学院43._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、福州大学数计学院福州大学数计学院4438231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、福州大学数计学