计量经济学 第五章 异方差

1、第第5章章 异方差异方差以下讨论都是在模型某一个假定条件违反，而其他以下讨论都是在模型某一个假定条件违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。分假定条件都成立的情况下进行。分5个步骤。个步骤。回顾假定条件。回顾假定条件。假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。定性分析假定条件是否成立。定性分析假定条件是否成立。假定条件是否成立的检验（定量判断）。假定条件是否成立的检验（定量判断）。假定条件不成立时的补救措施。假定条件不成立时的补救措施。第第5 5章章 异方差异方差异方差概念异方差概念异方差来源与后果异方差来源与后果异方差检验（异方差检验（Goldfeld-

2、Quandt 检验、检验、 white检验、检验、Glejser检验）检验）异方差的修正方法（异方差的修正方法（GLS、WLS）异方差案例分析异方差案例分析5.1异方差概念异方差概念同方差假定：模型的假定条件同方差假定：模型的假定条件 给出给出Var(u) 是一个对角是一个对角矩阵，且主对角线上的元素都是常数且相等。矩阵，且主对角线上的元素都是常数且相等。Var(u) = E(u u ) = 2I = -2024681012050100150200XY1010125.1异方差概念异方差概念当这个假定不成立时，当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。不再是一个纯量对角矩阵。Va

3、r(u) = 2 = 2 I 当误差向量当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。若系列存在异方差。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。若 非非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。异方差通常有三种表现形式，（异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（）递增型，（2）递减型，（）递减型，（3）条件自回）条件自回归型。归型。0123456720406080100 120 140

4、160 180 200Y-8-6-4-202464005006007008009001000 1100 1200DJPYTT00221125.2 异方差来源与后果异方差来源与后果异方差来源：异方差来源：(1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。(2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。0.0E+002.0E+114.0E+116.0E+118.0E+111.0E+121.2E+128486889092

5、9496980002GDP of Philippin-8.0E+10-4.0E+100.0E+004.0E+108.0E+101.2E+1184868890929496980002RESID 5.2 异方差来源与后果异方差来源与后果 5.4 异方差检验异方差检验5.4.1 定性分析异方差定性分析异方差(1) 宏观经济变量容易出现异方差宏观经济变量容易出现异方差(自回归条件异方差自回归条件异方差)。 (2) 利用散点图做初步判断。利用散点图做初步判断。(3) 利用残差图做初步判断利用残差图做初步判断(以解释变量为横坐标，残差平方以解释变量为横坐标，残差平方为纵坐标为纵坐标)。0123456720

6、406080100 120 140 160 180 200Y-3-2-10123050100150200TY 散点图散点图 残差图残差图5.4 异方差检验异方差检验(1) Goldfeld-Quandt 检验检验H0: ut 具有同方差，具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。具有递增型异方差。把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量顺序排列，略去测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值个处于中心位置的观测值（通常（通常T 30时，取时，取m T / 4，余下的，余下的T- m个观测值自然分成个观测值自

7、然分成容量相等，容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。），的两个子样本。）01234567050100150200XYY 5.4 异方差检验异方差检验(1) Goldfeld-Quandt 检验检验用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。 相对于相对于n2 和和n1 分别用分别用SSE2 和和SSE1表式。表式。 构造构造F统计量。统计量。F = ，（，（k为模型中被估参数个数）为模型中被估参数个数） 在在H0成立条件下，成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k) 判别规则如下，判别规则如下， 若若 F F (n2 - k

8、, n1 - k), 接受接受H0（ut 具有同方差）具有同方差） 若若 F F (n2 - k, n1 - k), 拒绝拒绝H0（递增型异方差）（递增型异方差）注意注意： 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 此法只适用于递增型异方差。此法只适用于递增型异方差。 对于截面样本，计算对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。121122)/()/(SSESSEknSSEknSSE2tu(2) White检验检验White检验由检验由H. Wh

9、ite 1980年提出。年提出。White检验不需要对观测值排序，也不检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量统计量进行进行异方差检验异方差检验。以二元回归模型为例，。以二元回归模型为例，White检验的具体步骤如下。检验的具体步骤如下。 yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut 首先对上式进行首先对上式进行OLS回归，求残差回归，求残差ut 。做如下辅助回归式，做如下辅助回归式， = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + 3 xt12 + 4 xt22 + 5 xt

10、1 xt2 + vt 即用即用 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。回归。注意，上式中要保留常数项。注意，上式中要保留常数项。求求辅助回归式的可决系数辅助回归式的可决系数R2。2tu5.4 异方差检验异方差检验White检验的零假设和备择假设是检验的零假设和备择假设是 H0：ut不存在异方差，不存在异方差， H1：ut存在异方差。存在异方差。 在同方差假设条件下，统计量在同方差假设条件下，统计量 TR 2 2(5) 其中其中T表示样本容量，表示样本容量，R2是辅助回归式的是辅助回归式的OLS估计的可决系数。

11、估计的可决系数。自由度自由度5表示辅助回归式表示辅助回归式中中解释变量项数（注意，不计算常数解释变量项数（注意，不计算常数项）。项）。T R 2属于属于LM统计量。统计量。判别规则是判别规则是 若若 T R 2 2 (5), 接受接受H0（ut 具有同方差）具有同方差） 若若 T R 2 2 (5), 拒绝拒绝H0（ut 具有异方差）具有异方差）5.4 异方差检验异方差检验(2) White检验检验 5.4 异方差检验异方差检验（3）Glejser检验（直接拟合法）检验（直接拟合法）5.5 异方差的修正方法异方差的修正方法（GLS）（第（第2版教材第版教材第115页）页）（第（第3版教材第版教

12、材第94页）页） 5.5 异方差的修正方法异方差的修正方法（GLS）5.5 异方差的修正方法异方差的修正方法（GLS）5.5 异方差的修正方法异方差的修正方法（GLS）（2）利用）利用Glejser检验结果消除异方差检验结果消除异方差 （3）通过对数据取对数消除异方差）通过对数据取对数消除异方差0.0E+002.0E+114.0E+116.0E+118.0E+111.0E+121.2E+12808284868890929496980002GDP OF PHILIPPIN25.025.526.026.527.027.528.0808284868890929496980002LNGDP OF PH

13、ILIPPIN-400-2000200400600800556065707580859095EXT-IMP-2-1012556065707580859095LNEXT-LNIMP中国进出口贸易额差（中国进出口贸易额差（1953-1998） 对数的中国进出口贸易额之差对数的中国进出口贸易额之差5.5 异方差的修正方法异方差的修正方法（GLS）例例5.1 个人储蓄个人储蓄（Y）与可支配与可支配（X）收入模型收入模型 （课本第（课本第125125页）页） 例例5.1 个人储蓄个人储蓄（Y）与可支配与可支配（X）收入模型收入模型 （课本第（课本第125125页）页）Goldfeld-Quandt 检验

14、检验去掉中间去掉中间9个观测值。个观测值。用第用第1个子样本回归：个子样本回归： ，SSE1=150867.9用第用第2个子样本回归：个子样本回归： ，SSE2=958109.4H0: ut 具有同方差，具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。具有递增型异方差。 构造构造F统计量。统计量。因为因为F =6.35 F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。，存在异方差。35. 69 .1508674 .958109)/()/(121122SSESSEknSSEknSSEFXY09. 064.744XY05. 098.414 例例5.1 个人储蓄个人储蓄（Y）与可支配与可支配（X）

15、收入模型收入模型 （课本第（课本第125125页）页）更正：课本第更正：课本第130130页丢页丢此输出结果（图此输出结果（图5.105.10）。）。书中书中图图5.10应为图应为图5.11。White检验的检验的EViwes操作：操作：在回归式窗口中点击在回归式窗口中点击View键键选选Residual Tests/ White Heteroskedasticity 功能。功能。(含有无交叉项两种选择。含有无交叉项两种选择。)White检验检验White检验式检验式加权估计（加权估计（WLS）方法（）方法（1）例例5.1 个人储蓄个人储蓄（Y）与可支配与可支配（X）收入模型收入模型 （课本第

16、（课本第125125页）页）点击此处点击此处 填入权数填入权数 例例5.1 个人储蓄个人储蓄（Y）与可支配与可支配（X）收入模型收入模型加权估计（加权估计（WLS）方法（）方法（1）例例5.1 个人储蓄个人储蓄（Y）与可支配与可支配（X）收入模型收入模型 加权估计（加权估计（WLS）方法（）方法（2）: 用加权变量回归用加权变量回归自己把回归式还原为自己把回归式还原为Y对对X回归情形。回归情形。回归系数回归系数OLS估计结估计结果是果是0.088，WLS估估计结果是计结果是0.090。0.09的统计特性更好。的统计特性更好。（不讲（不讲Spearman等级等级相关系数法）相关系数法）对于截面数

17、据一定要先按解释变量排序才有可能观察到异方差对于截面数据一定要先按解释变量排序才有可能观察到异方差案例案例1 ：取：取1986年中国年中国29个省市自治区农作物种植业产值个省市自治区农作物种植业产值yt（亿元）和农作物播种面积（亿元）和农作物播种面积xt（万亩）数据（万亩）数据（file:hete01，hete02）研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下，）研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (-0.6) (12.4) R2 = 0.85, T = 29 残差图中看不到异方差（左图）。原因是没有把数残差图中看不到异方差（左图）。原因是

18、没有把数据按解释变量排序。数据排序并估计后得到的残差图据按解释变量排序。数据排序并估计后得到的残差图明显存在异方差（右图）。明显存在异方差（右图）。 附录：用附录：用EViews 4.0给序列中的数据排序给序列中的数据排序在在Workfile窗口点击窗口点击Procs键并选择键并选择Sort Series功能，将出功能，将出现一个要求填写以哪一个序列为标准（基准序列）排序的对现一个要求填写以哪一个序列为标准（基准序列）排序的对话框。填写基准序列名，并在下侧的另一个选择框中说明是话框。填写基准序列名，并在下侧的另一个选择框中说明是按从小到大排列（按从小到大排列（Ascending），还是从大到小排列），还是从大到小排列（Descending）。缺省的选择是从小到大排列。）。缺省的选择