第一章电子光学中的电场与磁场

1、电子光学中的电场与磁场电子光学中的电场与磁场西安交通大学西安交通大学 康永锋康永锋 电子光学 第一章 (Kang) P.2提纲提纲n旋转对称静电场旋转对称静电场n旋转对称磁场旋转对称磁场n直轴多极场直轴多极场 n预备的电磁场知识预备的电磁场知识 电子光学第一章(Kang) P.3预备的电磁场知识预备的电磁场知识),(ifrrn为什么需要电磁场为什么需要电磁场n电子光学是一门研究真空中带电粒子在电场和磁场中运动规律的电子光学是一门研究真空中带电粒子在电场和磁场中运动规律的科学。科学。n研究带电粒子的运动规律则首先研究的对象就是电场和磁场。研究带电粒子的运动规律则首先研究的对象就是电场和磁场。n首

2、先应该确定电场和磁场的分布规律和特性。只有知首先应该确定电场和磁场的分布规律和特性。只有知道了电、磁道了电、磁场的分布规律后，才可以进一步确定电子在电、磁场中的运动规场的分布规律后，才可以进一步确定电子在电、磁场中的运动规律和状态。律和状态。 电子光学第一章(Kang) P.4预备的电磁场知识预备的电磁场知识),(ifrrn电磁场分布规律电磁场分布规律n求解电磁场问题可归结为数学上求解偏微分方程边值问题。求解电磁场问题可归结为数学上求解偏微分方程边值问题。n在电子光学中，所遇到的场一般须满足以下条件：在电子光学中，所遇到的场一般须满足以下条件： 1.1.场与时间无关，只是空间坐标的函数，既静电

3、场和恒定磁场；场与时间无关，只是空间坐标的函数，既静电场和恒定磁场； 2.2.介质为真空中；介质为真空中； 3.3.忽略电子束本身的空间电荷作用（弱流电子光学）。忽略电子束本身的空间电荷作用（弱流电子光学）。 电子光学第一章(Kang) P.5预备的电磁场知识预备的电磁场知识),(ifrrn电磁场分布规律电磁场分布规律n根据电磁场中的麦克斯韦尔方程，真空中的静电场和静磁场可以根据电磁场中的麦克斯韦尔方程，真空中的静电场和静磁场可以表示为：表示为：0E DjH 0 B （11） （12）说明静电场和静磁场可以分别独立地讨论 电子光学第一章(Kang) P.6预备的电磁场知识预备的电磁场知识),(

4、ifrrn电磁场分布规律电磁场分布规律n如果考虑电磁场中不存在空间电荷和空间电流时，麦克斯韦尔方如果考虑电磁场中不存在空间电荷和空间电流时，麦克斯韦尔方程组可以写为：程组可以写为：0E0E0B0 B （13） （14） 电子光学第一章(Kang) P.7预备的电磁场知识预备的电磁场知识),(ifrrn电磁场分布规律电磁场分布规律l从（从（1 11 1）式可以看知，静电场为有源无旋场，因此可以用电位）式可以看知，静电场为有源无旋场，因此可以用电位函数的梯度描述电场强度，即函数的梯度描述电场强度，即 （15） （16）UE结合（结合（1 11 1）第二式，有）第二式，有()()EU 电子光学第一章

5、(Kang) P.8预备的电磁场知识预备的电磁场知识),(ifrrn电磁场分布规律电磁场分布规律 电势应满足泊松方程电势应满足泊松方程 （17） （18）无自由空间电荷区域，满足拉普拉斯方程无自由空间电荷区域，满足拉普拉斯方程20U 02 Un方程（方程（1-71-7）表示的是一个位函数）表示的是一个位函数U U在空间的分布规律，是静在空间的分布规律，是静态的，和时间没有关系；态的，和时间没有关系；n磁场也可以做相应的分析磁场也可以做相应的分析 电子光学第一章(Kang) P.9预备的电磁场知识预备的电磁场知识),(ifrrn电磁场分布规律电磁场分布规律l从（从（1 12 2）式可以看知，恒定

6、磁场为有旋无源场，因此可以用磁）式可以看知，恒定磁场为有旋无源场，因此可以用磁矢位函数矢位函数A A描述恒定磁场，即描述恒定磁场，即 （19） （110）对于线性介质，对于线性介质，为常数，有为常数，有AB20()AAAJ 电子光学第一章(Kang) P.10预备的电磁场知识预备的电磁场知识),(ifrrn电磁场分布规律电磁场分布规律l磁矢位的确定可选取不同规范，电子光学中一般取磁矢位的确定可选取不同规范，电子光学中一般取 （111）有有0 A20AJ 恒定磁场在无自由电流区域磁矢位满足恒定磁场在无自由电流区域磁矢位满足02 A 电子光学 第一章 (Kang) P.11提纲提纲n预备的电磁场知

7、识预备的电磁场知识n旋转对称磁场旋转对称磁场n直轴多极场直轴多极场 n旋转对称静电场旋转对称静电场 电子光学第一章(Kang) P.12旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场旋转对称静电场l是由具有公共对称轴的，若干个旋转对称电极构成的，既，旋转是由具有公共对称轴的，若干个旋转对称电极构成的，既，旋转对称电极形成的电场分布称为旋转对称静电场。对称电极形成的电场分布称为旋转对称静电场。l旋转对称静电场的电场和电位分布具有旋转对称性。旋转对称轴旋转对称静电场的电场和电位分布具有旋转对称性。旋转对称轴为为z z轴。轴。l一般情况下，带电粒子运动围绕该轴进行，当采用圆柱坐标系时，一

8、般情况下，带电粒子运动围绕该轴进行，当采用圆柱坐标系时，旋转对称系统满足下列关系：旋转对称系统满足下列关系： （112）0EU即电位即电位U U 电场强度电场强度 E E只是只是 r, zr, z函数函数 与方位角与方位角 无关无关 电子光学第一章(Kang) P.13旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场旋转对称静电场不考虑空间电荷效应，圆柱坐标下的拉普拉斯方程表示如下不考虑空间电荷效应，圆柱坐标下的拉普拉斯方程表示如下 （113）012222rUrzUrU当研究轴附近区域场时，当研究轴附近区域场时， 电势常用幂级数表示，设电势常用幂级数表示，设0( , )( )nnnU

9、 z rA z r （114） 电子光学第一章(Kang) P.14旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场旋转对称静电场把（把（1-141-14）代入拉普拉斯方程（）代入拉普拉斯方程（1-131-13），可得），可得 （115）撇号表示对撇号表示对z z求导数，根据场的旋转对称性求导数，根据场的旋转对称性 （116）220( )( )0nnnnnA z rn A z r),(),(rzUrzU所有奇次项均为零，只有偶次项所有奇次项均为零，只有偶次项 电子光学第一章(Kang) P.15旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场旋转对称静电场由（由（1-151

10、-15）和（）和（1-161-16），有），有2021( )( )2A zA z 4221( )( )4A zA z （117）（118）221( )( )nnA zAzn （119） 电子光学第一章(Kang) P.16旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场旋转对称静电场当当n=0n=0，A A0 0（z z）应表示轴上电位）应表示轴上电位（z）,利用上面递推公式有利用上面递推公式有2021( )( )2A zz (4)421( )( )(2 4)A zz 2( )221( 1)( )( )( )2 ( !)2nnnnnA zAzznn （122）（121）（120） 电

11、子光学第一章(Kang) P.17旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场旋转对称静电场故的静电场的电势空间分布为故的静电场的电势空间分布为（124）电场强度空间分布为电场强度空间分布为（123） 4)4(2)(641)(41)(),(rzrzzrzU 12)2(1) 6(5) 4(3)2)(!)!1() 1()(384)(16)(2),(kkkrrzkkzrzrzrrzE12(5)4(21)2211( 1)( , )( )( )( )( )( )464( )!2kkkzrE z rzz rz rzk（125） 电子光学第一章(Kang) P.18旋转对称电磁场旋转对称电磁场

12、),(ifrrn旋转对称静电场旋转对称静电场 电位分布的级数表达形式称为谢尔赤公式，它建立了轴上电位与电位分布的级数表达形式称为谢尔赤公式，它建立了轴上电位与空间电位的关系；空间电位的关系； 因此，在旋转对称场中只要知道轴上电位分布就可以完全唯一地因此，在旋转对称场中只要知道轴上电位分布就可以完全唯一地确定空间电位分布。确定空间电位分布。 一般来说，对于远轴区，幂级数需要较多的项才有足够的精度。一般来说，对于远轴区，幂级数需要较多的项才有足够的精度。只有离轴距离只有离轴距离r r不是很大的情况下，级数收敛于电势不是很大的情况下，级数收敛于电势U U。一般收敛。一般收敛半径不超过对应的电极半径。

13、半径不超过对应的电极半径。 电子光学第一章(Kang) P.19旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场（旋转对称静电场（旁轴旁轴） 近轴情况指离轴距离远远小于电极半径区域，可以忽略的近轴情况指离轴距离远远小于电极半径区域，可以忽略的3 3次以上次以上高阶项，可得到电位和电场强度的表示式为：高阶项，可得到电位和电场强度的表示式为： 2)(41)(),(rzzrzU )(),(zrzEz)(2),(zrrzEr （126） （127） （128） 电子光学第一章(Kang) P.20旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场（旋转对称静电场（旁轴性质旁轴性质）

14、1.旋转对称性 2.电场基本上是轴向 3.轴附件等位面形状 电子光学第一章(Kang) P.21旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场（旋转对称静电场（旁轴性质旁轴性质） 1.旋转对称性 任一子午面上电位关于任一子午面上电位关于Z Z轴对称轴对称),(),(zruzru（129） 0r轴上轴上0rE其中轴为电力线，其与等位线垂直其中轴为电力线，其与等位线垂直轴上轴上r r方向的电场强度为零，可以作为求解二维拉斯方程的边界条件方向的电场强度为零，可以作为求解二维拉斯方程的边界条件 电子光学第一章(Kang) P.22旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称静电场（旋转对称静电场

15、（旁轴性质旁轴性质）径向场径向场rE正比于坐标正比于坐标 r r, ,2.电场主要表现为轴向场，等于轴上电场zErE)(zEEz方向取决于方向取决于 - - 旋转对称场中电子的运动方向主要是轴向，且轴上的场强最大，旋转对称场中电子的运动方向主要是轴向，且轴上的场强最大，电子的轴向速度最大电子的轴向速度最大 电子光学 第一章(Kang) P.23旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称静电场（旋转对称静电场（旁轴性质旁轴性质）n电场主要表现为轴向场，等于轴上电场因此径向的作用力可以写成因此径向的作用力可以写成 rzeFr)(21 (1-30) ( )0z0rF 电子电子e0e0e0区域区域力离开轴

16、，为发散力；力离开轴，为发散力；( )0z0rF 区域区域力指向轴，为汇聚力；力指向轴，为汇聚力； 电子光学 第一章(Kang) P.24旋转对称电磁场旋转对称电磁场2000001( )()()()()()2zzzzzzzz n旋转对称静电场（旋转对称静电场（旁轴性质旁轴性质）在旁轴区，电势在旁轴区，电势n轴附件等位面形状对于一个给定的电位值，等位面方程为：对于一个给定的电位值，等位面方程为：在轴上一点在轴上一点z=zz=z0 0附近，可将轴上电位展为附近，可将轴上电位展为2)(41)(),(rzzrzU 021)(21)(220000 rzzzzzz该曲线为以z为对称轴的旋转双曲面。 (1-

17、31) (1-32) 电子光学 第一章(Kang) P.25旋转对称电磁场旋转对称电磁场2232211 () d zdrRdzdrn旋转对称静电场（旋转对称静电场（旁轴性质旁轴性质）n等位面的曲率经过化简后，轴上某点的曲率为经过化简后，轴上某点的曲率为从等位线方程（从等位线方程（1 13232）中可以求得等位面在轴上的曲率。子午面）中可以求得等位面在轴上的曲率。子午面上等位线看做上等位线看做z(rz(r) )函数的图像。曲率为函数的图像。曲率为00()2()zRz上式表明等位面轴上曲率取决于轴上电位分布。 电子光学 第一章(Kang) P.25旋转对称电磁场旋转对称电磁场0)(2202zzrn

18、旋转对称静电场（旋转对称静电场（旁轴性质旁轴性质）n鞍点附近的等位面即子午面上的等位线为通过即子午面上的等位线为通过z0z0点的两条直线，其倾角点的两条直线，其倾角在轴上某点在轴上某点z=zz=z0 0处电场为零，而附近电场不为零，等位面方程为处电场为零，而附近电场不为零，等位面方程为 (1-33)(20zzr1254.74tg 0z点称为鞍点。 电子光学(Kang) P.26旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称静电场旋转对称静电场 下面为一个有三个圆筒电极组成的旋转对称场系统的例子。下面为一个有三个圆筒电极组成的旋转对称场系统的例子。 图1-1 三圆筒静电透镜示意图 电子光学

19、 第一章 (Kang)提纲提纲n预备的电磁场知识预备的电磁场知识n旋转对称静电场旋转对称静电场n直轴多极场直轴多极场 n旋转对称磁场旋转对称磁场 电子光学(Kang) P.27旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称磁场旋转对称磁场n旋转对称磁场是具有公共对称轴的通电电流导线和铁磁介质产生的磁场构旋转对称磁场是具有公共对称轴的通电电流导线和铁磁介质产生的磁场构成的。成的。n在圆柱坐标系中，所有磁场量与方位角无关在圆柱坐标系中，所有磁场量与方位角无关(,)0rzB BB 电子光学(Kang) P.28旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称磁场旋转对称磁场n激磁电流是向量

20、，与电荷不一样；旋转对称磁场可由两种条件形成：激磁电流是向量，与电荷不一样；旋转对称磁场可由两种条件形成：0Bz0zrBB（1）励磁电流只有方向，磁感应强度在子午面上（2）励磁电流有和方向，磁感应强度在旋转方向r图1-2 两类旋转对称场 电子光学(Kang) P.29旋转对称电磁场旋转对称电磁场),(ifrrn旋转对称磁场旋转对称磁场n显然，第一类旋转对称场的旁轴区有磁场而无激磁电流导线，方便应用于显然，第一类旋转对称场的旁轴区有磁场而无激磁电流导线，方便应用于电子光学系统中；即激磁电流密度为电子光学系统中；即激磁电流密度为0zrjjjj 方位角方向的磁感应强度为零，磁场有r,z两个方向构成，

21、即根据比奥定理，dB应该和ds垂直，垂直， dB没有方向分量，整个B也没有方向分量034ststIdsrBr0B00zBrBBzr（134） 电子光学(Kang) P.30旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n磁标位（自由空间）磁标位（自由空间）由于（第一类系统）磁感应强度由于（第一类系统）磁感应强度B B与旋转对称电场的场强与旋转对称电场的场强E E一样都只有子午面一样都只有子午面分量，且在电子经过区域都是无源场，磁标位可以和电位同样处理，满足分量，且在电子经过区域都是无源场，磁标位可以和电位同样处理，满足磁标位没有明确物理意义，不便直接测量。muB0（135）012222

22、zururrummm 电子光学(Kang) P.31旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n磁矢位磁矢位磁场求解中采用更多的是磁矢位，因为矢量位的物理意义清楚，而标磁场求解中采用更多的是磁矢位，因为矢量位的物理意义清楚，而标量位无物理意义，且磁矢位可以用于传导电流区域，其定义为：量位无物理意义，且磁矢位可以用于传导电流区域，其定义为：ABjB0jjAAAB020 A20Aj 由麦克斯韦方程得由麦克斯韦方程得其中其中因此有因此有为传导电流，根据矢量运算可得为传导电流，根据矢量运算可得（138） 电子光学(Kang) P.32旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n

23、磁矢位磁矢位( (只存在于方位角方向只存在于方位角方向) )0A 对（对（1-381-38）积分可得（无穷远处）积分可得（无穷远处 ）r rstst为电流元与场的观测点之间的距离，为电流元与场的观测点之间的距离，N N为独立电流的回路数。为独立电流的回路数。（139）stNiistrsdIrdvjA10044 电子光学(Kang) P.33旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n磁矢位磁矢位( (只存在于方位角方向只存在于方位角方向) )不难看出，不难看出，dAdAl l和和dAdAr r数值相等，数值相等，dAdA在方位角方向。有在方位角方向。有图1-3圆环电流产生的向量磁矢

24、位0zrAAAA 电子光学(Kang) P.34旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n磁矢位磁矢位有有001000rAzrzrrrAB圆柱坐标系旋度的表示式为圆柱坐标系旋度的表示式为（1-40）zAzrArBr)(1rrArBz)(10B （1-41） 电子光学(Kang) P.35旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n磁矢位磁矢位即即既然只有方位角方向存在电流，有既然只有方位角方向存在电流，有（1-42）22022()1()()rArArArjzrrr 2222()1()()0rArArAzrrr2222210AAAAzrrrr （1-44）01 ()1

25、()()()()rzBBrArABjzrzrzr rr （1-43）在无传导电流区域在无传导电流区域或或 电子光学(Kang) P.36旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n磁通量函数磁通量函数取磁感应强度在一个以取磁感应强度在一个以z z轴为中心的圆面积上的通量轴为中心的圆面积上的通量rArA具有独特的物理意义，被称为具有独特的物理意义，被称为磁通量磁通量函数；函数；()B dsAds根据斯托克斯定理根据斯托克斯定理2A dlrA所以所以rArA正比于圆周正比于圆周C C内的磁通量，沿内的磁通量，沿rArA为常数的面，磁通量相等，形成磁力线流管。为常数的面，磁通量相等，形成

26、磁力线流管。在子午面上，在子午面上，rArA的等值线即为磁力线。的等值线即为磁力线。 电子光学(Kang) P.37旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n幂级数展开幂级数展开则则A A应为奇函数，故应为奇函数，故A A可展为函数可展为函数把把A A按照按照r r展开为幂级数，由旋转对称性可知，展开为幂级数，由旋转对称性可知，BzBz应为偶对称，应为偶对称，BrBr应为奇对称应为奇对称将（将（1-451-45）代入（）代入（1-441-44），模仿静电场的情形，可得），模仿静电场的情形，可得3211321( )( )( )kkArf zr f zrfz （1-45）(4)351

27、112( )( )( )2 42 46f zfzArf zrr 电子光学(Kang) P.37旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n幂级数展开幂级数展开为确定为确定f f1 1(z),(z),利用利用当当r=0r=0时，时，2f2f1 1(z)(z)应为轴上磁感应强度应为轴上磁感应强度B(zB(z),),故可得故可得B(zB(z) )为轴上磁感应强度为轴上磁感应强度(4)241112( )( )1 ()2( )22 4zf zfzrABf zrrrr 12)2(422)()!1( !) 1(42)()(21),(kkkrzBkkrrzBrzBzrrA （1-46） 电子光学(

28、Kang) P.38旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n幂级数展开幂级数展开已知已知rArA, ,可得轴外磁感应强度可得轴外磁感应强度和电场一样，已知轴上磁感应强度和电场一样，已知轴上磁感应强度B(zB(z) )，便可确定空间的磁场。，便可确定空间的磁场。 12)12(12)2)()!1( !) 1()(161)(21),(kkkrrzBkkrzBrzBzrB kkkzrzBkrzBzBzrB2)2(2)2)(!) 1()(41)(),( 电子光学(Kang) P.39旋转对称电磁场旋转对称电磁场n旋转对称磁场旋转对称磁场n旁轴区域磁场（忽略高阶项）旁轴区域磁场（忽略高阶项

29、）和电场一样，旁轴区的性质为和电场一样，旁轴区的性质为1.1.轴本身为磁力线轴本身为磁力线; ;2.2.旁轴区基本为轴向，且大致均匀，等于轴上磁场旁轴区基本为轴向，且大致均匀，等于轴上磁场; ;3.3.径向场正比于离轴距离径向场正比于离轴距离r r即轴上场即轴上场 B(zB(z) )的变化率的变化率. .2)(21rzBrA)(),(zBzrBz1( , )( )2rB r zB z r 电子光学 第一章 (Kang)提纲提纲n预备的电磁场知识预备的电磁场知识n旋转对称静电场旋转对称静电场n旋转对称磁场旋转对称磁场n直轴多极场直轴多极场 电子光学(Kang) P.41直轴多极场直轴多极场n直轴

30、多极场直轴多极场n为什么引入多极场为什么引入多极场1.1.旋转对称系统由于横向作用力小，不能应用于高能粒子聚焦；旋转对称系统由于横向作用力小，不能应用于高能粒子聚焦；2.2.多极场可用于旋转对称系统的像差校正。多极场可用于旋转对称系统的像差校正。直轴多极场在圆柱坐标下，仍然满足拉普拉斯方程直轴多极场在圆柱坐标下，仍然满足拉普拉斯方程2222222110uuuurrrzr（148） 与旋转对称系统不同，电势也是方位角的函数。与旋转对称系统不同，电势也是方位角的函数。 电子光学(Kang) P.42直轴多极场直轴多极场n直轴多极场直轴多极场n降维降维 对电位在方位角方向做傅立叶级数展开对电位在方位

31、角方向做傅立叶级数展开（149） 显然显然, ,上式中右边为上式中右边为m m次谐波电位，当次谐波电位，当m=0m=0时，时，0 0次谐波电位为旋转对称系统。次谐波电位为旋转对称系统。第一项关于第一项关于=0=0子午面左右对称；第二项相对于子午面左右对称；第二项相对于=0=0子午面左右反对称，相当子午面左右反对称，相当于第一项的对称面移动了于第一项的对称面移动了 ；可以认为是斜的；可以认为是斜的m m系谐波电位。系谐波电位。sin),(cos),(),(0mzrmzrzrummm/2m 电子光学(Kang) P.43直轴多极场直轴多极场n直轴多极场直轴多极场n求解求解 将（将（1-491-49

32、）代入（）代入（1-481-48）可以得出）可以得出0122222mmmmrmzrrr0122222mmmmrmzrrr（150） （151） 电子光学(Kang) P.44直轴多极场直轴多极场n直轴多极场直轴多极场n求解求解 分离变量法分离变量法（152） )()(),(0krIzzrmkmkm)(krImmr其中其中为为m m阶变态贝塞尔函数，一般可展开为阶变态贝塞尔函数，一般可展开为的乘积，即的乘积，即r r的偶次项级数与的偶次项级数与20)(),(rzArzrkmmm（153） 电子光学(Kang) P.45直轴多极场直轴多极场n直轴多极场直轴多极场n求解求解代入解的形式中，得到系数满

33、足的递推公式：代入解的形式中，得到系数满足的递推公式：01) 1)(1(4 mmAmA（154） 令令)(0zAmm，可以得到系数为，可以得到系数为 )()()2)(1( !4) 1(2zmmmAmm（155） 电子光学(Kang) P.46直轴多极场直轴多极场n直轴多极场直轴多极场n求解求解 代入式（代入式（1 15353）即得到了解形式）即得到了解形式202)()() 2)(1( !4) 1(),(rzmmmrzrkmmm同理可得到同理可得到),(zrm代入到方程解中得到解为：代入到方程解中得到解为：220( 1)( , )( )4!(1)(2)()mmmkr zrzrmmm 电子光学(Kang) P.47直轴多极场直轴多极场n直轴多极场直轴多极场n电势电势 一般对任意非旋转对称场，总是可以用各次谐波函数一般对任意非旋转对称场，总是可以用各次谐波函数(z), 1(z), 2(z), 1(z), 2(z)来描述，如果忽略来描述，如果忽略r5以上项以上项 442644),(rrzr