理论力学第三章空间力系

1、第四章第四章 空间力系空间力系空间力系：空间力系：空间汇交（共点）力系空间汇交（共点）力系空间力偶系空间力偶系空间任意力系空间任意力系, ,空间平行力系。空间平行力系。4 41 1空间汇交力系空间汇交力系平面汇交力系合成的平面汇交力系合成的力多边形法则力多边形法则对空间汇交力对空间汇交力系是否适用？系是否适用？对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？ 用用解析法解析法直接投影法直接投影法1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影cosFFxcosFFzcosFFy2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理空

2、间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 间接（二次）投影法间接（二次）投影法Fxyxy为矢量为矢量cossinFFxcosFFzsinsinFFysinFFxyiRFFxixRxFFFyiyRyFFFzizRzFFF空间汇交力系空间汇交力系平衡平衡的充分必要条件是：的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。合力的大小合力的大小222)()()(zyxRFFFF方向余弦方向余弦RxxFFiF),cos(RyyFFjF),cos(RzzFFkF),cos(该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即 由式（由式（4 41 1）0RF(4-2)(4-2)0 xF0yF0z

3、F例例4-14-1已知：已知：nF、求：力求：力 在三个坐标轴上的投影。在三个坐标轴上的投影。nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF例例4-24-2已知：已知： 物重物重P=10kN，CE=EB=DE；030，求：杆受力及绳拉力求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图，解：画受力图如图，列平衡方程列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA结果：结果：kN54. 321 FFkN66. 8AF1

4、1、 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢4 42 2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩(2)(2)作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。(3)(3)方向方向: :转动方向转动方向(1(1）大小）大小: :力力F F与力臂的乘积与力臂的乘积三要素：三要素：FrFMO)(kzj yi xrkFjFiFFzyx其中其中:)()()(kFjFiFkzj yi xFMzyxOzyxFFFzyxkjikyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(力对点力对点O 的矩的矩 在三个在三个坐标轴上的投影为坐标轴上的投影为)(FMOyzxOzFyFFM)(zxyOxFzF

5、FM)(xyzOyFxFFM)(2.2.力对轴的矩力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。力对该轴的矩为零。符号规定符号规定: :右手螺旋法则右手螺旋法则hFFMFMxyxyOz)()( 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 求：力求：力 对对 x, y, z轴的矩轴的矩( (解析表达式解析表达式) )FyzxzFyFFM)(zxyxFzFFM)(xyzyFxFFM)(已知：力已知：力 , ,力力 在坐标轴上的分力在坐标轴上的分力 ， ， ，力，力 作作用点的坐标用点的坐标

6、 x, y, zxFFyFzFFF比较可得比较可得即，力对点的矩矢在过该点的某轴上即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。的投影，等于力对该轴的矩。MZ(F)()(FMzFyFFMxxzxO)()(FMxFzFFMxxzxyO)()(FMyFxFFMzxyzO力对力对O O点矩矢点矩矢oM大小大小222)()()()(FMFMFMFMzyxo方向方向)()(),Mcos(FMFMioxo)()(),Mcos(FMFMjoyo)()(),Mcos(FMFMkoZoF例例4-34-3已知：已知：, alF求：求：FMFMFMzyx,cosalFFMxcosFlFMysinalFF

7、Mz解：把力解：把力分解如图分解如图F也可用解析式也可用解析式:cos0sinFFFFFzyx0)(zalylxxyzzxyyzxyFxFFMxFzFFMzFyFFM)()()(4 43 3 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（2 2） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （3 3） 方向：力偶在作用面内的转动方向；方向：力偶在作用面内的转动方向；2121FFFF力偶矩矢力偶矩矢 rBA右手螺旋法则右手螺旋法则FrMBA2 2、力偶的性质、力偶的性质力偶矩

8、矢力偶矩矢（2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。改变而改变。(1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。)()(),(FrFrFMFMFFMBAoooFrMBA因因FFFrFrrFFMBABAO)(),(（3 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用

9、效果不变。臂的长短，对刚体的作用效果不变。(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111),(FrFFMBA(4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。作用效果不变。211FFF332FFF=定位矢量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量( (平行移动平行移动) )自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量滑移矢量3 3力偶系的

10、合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件=M为合力偶矩矢，等于各分为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。力偶矩矢的矢量和。nnnFrMFrMFrM ,222111如同右图如同右图iRFF有有iMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦称为空间力偶系的平衡方程。称为空间力偶系的平衡方程。有有MMixcosMMiycosMMizcos0ixM0iyM0izMxyzMiMMizziyyixxMMMMMM,222)()()(iziyixMMMM空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 0M简写为简写为 （41111）0,

11、0, 0zyxMMM例例4-44-4已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5 5个孔，每个孔所受个孔，每个孔所受切削力偶矩均为切削力偶矩均为8080N Nm。解：把力偶用解：把力偶用力偶矩矢表示，力偶矩矢表示，平行移到点平行移到点A A 。mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影轴上的投影 。zyx,zyxMMM,圆盘面圆盘面O1垂直于垂直于z轴，轴，求求: :轴承轴承A,B处的约束力。处的约束力。例例4-54-5已知：已知：F

12、1=3N，F2=5N，构件自重不计。构件自重不计。两盘面上作用有力偶，两盘面上作用有力偶，圆盘面圆盘面O2垂直于垂直于x轴，轴，AB =800mm,两圆盘半径均为两圆盘半径均为200mm，解：取整体，受力图如图解：取整体，受力图如图b b所示。所示。解得解得由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程:0 xM08004002mmmmAzFF:0zM08004001mmmmAxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF4 44 4 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化( (用力的平移定理用力的平移定理) )一

13、空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系。一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系。FFi其中，其中， ，)(iOiFMM称为空间力偶系的主矩称为空间力偶系的主矩称为力系的主矢称为力系的主矢空间力偶系的合力偶的力偶矩空间力偶系的合力偶的力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力kFjFiFFFiziyixiR)(FMMMOiOkFMjFMiFMMzyxO)()()(表示各力对表示各力对 x，y,z轴的矩轴的矩。式中，式中，)(),(),(FMFMFMzyx有效推进力有效推进力飞机向前飞行飞机向前飞行RxF有效升力

14、有效升力飞机上升飞机上升RyF侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移RzF滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OxM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OyM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头OzM1 1）合力合力最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为2 2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）合力作用点过简化中心。合力作用点过简化中心。当当 , ,最后结果为一个合力。最后结果为一个合力。0, 0ORMF当当 时，时，ORORMFMF, 0, 0ROFMd合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的合力矩定理：合

15、力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的 矢量和。矢量和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。（2 2）合力偶）合力偶力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心)()(FMFMFdMORORO当当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。中心无关。0, 0ORMF（3 3）力螺旋）力螺旋当当 时时RORFMF, 0, 0OM力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为（4 4）平衡）平衡当当 成角成角 且且 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时ORORMFMF, 0, 0,ORMF, ROFMd

16、sin当当 时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系0, 0ORMF4 45 5 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。主矩分别为零。1.1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例（4 41313）0zF0)(FMx0)(FMy（4 41212）0, 0, 0zyxFFF0)(, 0)(, 0)(FMFMFMzyx例例4-4-7 7已知：已知：

17、P=8kN, ,101kNP各尺寸如图各尺寸如图求：求： A、B、D 处约束力处约束力解：研究对象：小车解：研究对象：小车受力：受力：,1DBAFFFPP列平衡方程列平衡方程:0zF :0FMx :0FMy01DBAFFFPP022 . 12 . 01DFPP06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP结果：结果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF0.2m例例4-4-8 8已知：已知：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如图各尺寸如图求：求：21,FF及及A、B处约束力处约束力解：研究对象，解：研究对象， 曲轴曲轴受力：受力：BzBxAzAxF

18、FFFFFF,21列平衡方程列平衡方程:0 xF:0yF060sin30sin21BxAxFFFF00 :0zF060cos30cos21BzAzFFFFF :0FMx040020020060cos20030cos21BzFFFF :0FMy0221FFDRF :0FMz040020060sin20030sin21BxFFF结果：结果：,6000,300021NNFF,9397,1004NNAzAxFF,1799,3348NNBzBxFF例例4-4-9 9已知：已知：,25. 4NxF,8 . 6 NyF,17NzF,36. 0FFr,50mmRmm30r各尺寸如图各尺寸如图求：求：（2 2）

19、A、B处约束力处约束力（3 3）O 处约束力处约束力FFr,(1)(1)例例4-4-1010已知：已知：F、P及各尺寸及各尺寸 求：求：各杆内力各杆内力解：研究对象，长方板解：研究对象，长方板受力图如图受力图如图 列平衡方程列平衡方程 :0FMAB :0FMAE :0FMAC :0FMEF026PaaF26PF05F022216bbaaFPaaF04F01F :0FMFG022bFPbFbPF5 . 12 :0FMBC045cos232bFPbbFPF2234 46 6 重重 心心1 1 计算重心坐标的公式计算重心坐标的公式对对y轴用合力矩定理轴用合力矩定理对对x轴用合力矩定理轴用合力矩定理i

20、innCxPxPxPxPxP2211有有PxPxiiCiinnCyPyPyPyPyP2211有有PyPyiiC再对再对x轴用合力矩定理轴用合力矩定理则计算重心坐标的公式为则计算重心坐标的公式为对均质物体，均质板状物体，有对均质物体，均质板状物体，有称为重心或形心公式称为重心或形心公式VxdVVxVxViicVydVVyVyViicVzdVVzVzViicnncPzPzPzPz 2211AxdAAxAxAiicAydAAyAyAiicAzdAAzAzAiicPzPziiC（4 41414）PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,例例4-11试求图示扇形面积的重心。试求图示扇形面积的重心。解：

21、利用对称性，取坐标系如图示，可知解：利用对称性，取坐标系如图示，可知0Cx取小扇形微小面积如图取小扇形微小面积如图dRdA2212221RdRdAA因此因此2221cos2sin323CRR dydARyAR半圆半圆34RyC例例4-124-12求：其重心坐标求：其重心坐标已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z字型薄板尺寸如图所示。字型薄板尺寸如图所示。解解: :厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定，则则用虚线分割如图，用虚线分割如图，为三个小矩形，为三个小矩形，其面积与坐标分别为其面积与坐标分别为只求重心的只求重心的x,y坐标即可。坐标即可。mm151xmm451y21300mmAmm

22、52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC例例4-134-13解：用负面积法，解：用负面积法， 为三部分组成，为三部分组成，求：其重心坐标。求：其重心坐标。已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的mmmmmm13,17,100brR得得mm01.40321332211AAAyAyAyAyC由由AyAyiiC小半圆（半径为小半圆（半径为 ）面积为）面积为 , ,br 2A设大半圆面积为设大半圆面积为 ，1A小圆（半径为小圆（半径为 ）面积为）面积为

23、，为负值。，为负值。r3A由对称性，有由对称性，有0Cx而而232221,2)(,2rAbrARA0,3)(4,34321ybryRy2 2 确定重心的悬挂法与称重法确定重心的悬挂法与称重法（1 1） 悬挂法悬挂法图图a a中左右两部分的重量是否一定相等？中左右两部分的重量是否一定相等？（2 2） 称重法称重法若汽车左右不对称，如若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）何测出重心距左（或右）轮的距离？轮的距离？则则lFxPC1lPFxC1有有lPFxC2整理后，得整理后，得22121HlHPFFrzC例例4-84-8已知：已知：,25. 4NxF,8 . 6 NyF,17NzF,36. 0FFr,50mmRmm30r各尺寸如图各尺寸如图求：求：（2 2）A、B处约束力处约束力（3 3）O 处约束力处约束力FFr,(1)(1) 0zF 0yF 0 xF0 xAxBxFFFF0yByFF0zAzBzFFFF 0FMx 0FMy 0FMz03887676488zBzFFF0rFRFz0388307648876xyBxFFFF解：研究对象解：研究对象1 1：主轴及工件，受力图如图：主轴及工件，受力图如图又：又：,36. 0FFr结果：结果：,2 .10