椭圆的标准方程（新人教A版）

1、如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆一一椭圆的形成过程椭圆的形成过程行星运行的轨道我们的太阳系二二平面内平面内到到两两个个定点定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点，焦点，1 .椭圆定义椭圆定义：注意注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方椭圆定义中容易遗漏的四处地方： （1） 必须在平面内必须在平面内;（2）两个定点）两个定点-两点间距离确定两点间距离确定;（3）定长）定长-

2、轨迹上任意点到两定点距离和确定轨迹上任意点到两定点距离和确定.两焦点间的距离叫做椭圆的两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用焦距（一般用2c表示）表示）。(4)|MF1|+|MF2|F1F2|MF2F1探究探究:感悟:(1)若|MF1|+|MF2|F1F2|,M点轨迹为椭圆.(1)已知已知A(-3,0),B(3,0),M点到点到A,B两点的两点的距离和为距离和为10,则则M点的轨迹是什么点的轨迹是什么?(2)已知已知A(-3,0),B(3,0),M点到点到A,B两点的距两点的距离和为离和为6,则则M点的轨迹是什么点的轨迹是什么?(3)已知已知A(-3,0),B(3,0),M点到点到A,B两点的距

3、两点的距离和为离和为5,则则M点的轨迹是什么点的轨迹是什么?椭圆椭圆线段线段AB不存在不存在 (3)若|MF1|+|MF2|0)，M与与F1和和F2的距的距离的离的和等于正常数和等于正常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的坐标分别的坐标分别 是是( c,0)、(c,0) .由椭圆的定义得：由椭圆的定义得：aMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxMFycxMF代入坐标代入坐标aycxycx2)()(2222（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）222222bayaxb则上式变为),0(222bbca设,0,2222cacaca即由椭圆定义可知由椭圆定义可知222)(y

4、cxacxa即：2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca整理得：2222222)()(44)(ycxycxaaycx 移项，再平方移项，再平方).0(12222babyaxaycxycx2)()(2222得：两边同除以22ba椭圆的标准方程椭圆的标准方程它表示：它表示： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴 焦点坐标为焦点坐标为F1（-C，0）、）、F2（C，0） c2= a2 - b2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程) 0(12222babyaxF1F2M0 xy思考：当椭圆的焦点在思考：当椭圆的焦点在y轴上时轴上

5、时,它的标准方程是它的标准方程是怎样的呢怎样的呢椭圆的标准方程椭圆的标准方程)0(12222babxay它表示它表示: 椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴 焦点是焦点是F1（0，-c）、）、 F2（0，c） c2= a2 - b2 xMF1F2yaxcyxcy2)()(2222) 0( 12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(22221 12 2yoFF

6、Mx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1. 2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭

7、圆 项分母较大项分母较大.3.3.椭圆标准方程的再认识：椭圆标准方程的再认识：11625)1(22yx答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）1169144)2(22yx答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（）和（0，5）11)3(2222mymx答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。 例题精析例题精析1162522yx例例2、填空：、填空：已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点

8、坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则F2CD的周长为的周长为_543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD变式：变式： 若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1）.14491622yx116922yx15422yx1、已知椭圆的方程为：、已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：，焦点坐标为：_焦距等于焦距等于_;曲线上一点曲线上一点P到焦点到焦点F1的距离为的距离为3，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距的距离等于离等于_，则，则F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、(0,1)252 5

9、32 52F1F2OxyP例例3椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 讲评例题讲评例题1 12 2yoFFMx.解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 12222babyax192522yx解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：解题感悟：求椭圆标准方程的步骤： 定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定量：求定量：求a, b的值的值.例例4：若方程：若方程4x2+kx2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在y轴上轴上的椭圆，求的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。1141142222kyxkyx得解：由方程表示的曲线是焦点