清华大学信号与系统39傅立叶变换的基本性质ppt课件

1、3.7 傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质 对称性和叠加性对称性和叠加性 奇偶虚实性奇偶虚实性 尺度变换特性尺度变换特性 时移特性和频移特性时移特性和频移特性 微分和积分特性微分和积分特性 卷积定理卷积定理 Paseval定理定理一、对称性一、对称性 若已知 那么deFtftj)(21)(,)(21)(deFtftjdtetFftj)(21)()(2)(ftFFT证明：)()(tfFTF)(2)(ftFFT)(tf)(F2222)(tf)(Fc2c22c2ctt12c10000若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子)(2)(t111) (tf)(F)

2、(Fatetf)(FTjaF1)(?1)(1jtaFTF对称性aefF2)(2)(1 t 换成0, 1taf 换成1F 换成t1F二、线性叠加性）二、线性叠加性）假设那么 )()(iiFtfFTniiiniiiFatfaFT11)()(求：求：)(tf的傅立叶变换的傅立叶变换)(tf2212t)()( 2)()()(22tututututf)(2)2/()(SaSaF2三、三、 奇偶虚实性奇偶虚实性无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均成立)()(* FtfFT)()(*FtfFT)()(FtfFT)()(FtfFT时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺一、一、f(t)是实函数是实函数

3、tdttfjtdttfFsin)(cos)()()(R)(X)()(RR)()( XX)()(*FF 偶函数 奇函数实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数，而相位谱为奇函数)()()()(*FtfFTFtfFT二、二、f(t) = jg(t)是虚函数是虚函数tdttgjtdttgFcos)(sin)()()(R)(X)()( RR)()(XX)()(*FF虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数相位谱仍为奇函数)()()()(*FtfFTFtfFT 偶函数 奇函数实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数)()(tetft222)(F0)( f(t)(F0t0实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数)0()0()(te

4、tetfatat222)(jF)0(2)0(2)( f(t)0222)(F22)(F)(Fjt四、尺度变换特性 假设 那么)()(FtfFT)(1)(aFaatfFT)(1)()(01aFadxexfatfFTaaxja)(1)()(01aFadxexfatfFTaaxja时域中的压缩扩展等于频域中的扩展压缩） f(t/2)0t)2(2F20)2( tf04/4/t)2(21F244压缩扩展110等效脉宽与等效频带宽度)0()()()(FdttfdtetfFtj)( fF)0(F0ffB等效带宽等效带宽fB) 0 ()()(21)(fdffFdeFtftj)(tf) 0( f等效脉宽等效脉宽t

5、1)0().0()0().0(ffBfBFFf求下列时域函数的频谱的带宽111)(1tft1)(2tft212)(3tf4t1).0(1fBf1).0(2fBf时移不影响带宽1).0(3fBf时域重复影响频福度不影响频谱带宽五、时移特性五、时移特性假设 那么证明：)()()()(000)(0FedxexfedxexfxfFTttxtjxjtjtxj#)()(00FettfFTtj)()(FtfFT0)()(0tjeFttfFT带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性atjeaFatatfFT0)(1)(0)(1)(1/ )()(10)()(0000/ )(000aFeadxxfeaatxt

6、dxexfatatxadtetatftatfFTatjatjatxjtj若a 0,则有绝对值例：求三脉冲信号的频谱单脉冲 的频谱为则有如下三脉冲信号其频谱为)(0tf)2()(0SaEF)()()()(000TtfTtftftf)cos21)(2()cos21)()1)()(00TSaETFeeFFTjTjE22E3T2T222)(0F)(F六、频移特性 假设 那么 证明 同理)()(FtfFT)()(00 FetfFTtj)()()(000FdteetfetfFTtjtjtj)()(00FetfFTtj调幅信号的频谱载波技术）)(21cos000tjtjeet)()(21cos)(000FF

7、ttfFT)(21sin000tjtjeejt)()(21sin)(000FFjttfFT求：求：ttf0cos)(的频谱？的频谱？)(21cos000tjtjeet)(tftje021)(tftje021)(210F)(210F)()(2100FF 载波频率 0cos)(0ttfFT)()(210000FF)()(0FtfFT)(2100tjtjeetf0)(0F)(021F)(F00)(021F频移特性调幅信号都可看成乘积信号 矩形调幅 指数衰减振荡 三角调幅ttf0cos)(ttG0cos)(teat0costt0cos21求它们的频谱= ？（略）七、微分特性 假设 那么)()(FtfF

8、T)()(FjdttdfFT)()()(FjdttfdFTnnn)(tf220tdttdf)(E2E222E2E2E422)(FE24422)(dttfdtt000 三角脉冲三角脉冲 的频谱 方法一：代入定义计算如前面所述） 方法二：利用二阶导数的FT)(0)()1 ()(222tttEtf)(2)()(2)(2222tttEdttfd)4(24sin8)2(2)()(222222SaEEeeEFjjj)4(2)(2SaEFFT八、积分特性一） 假设 那么)()(FtfFT0) 0 ()(, 0ForFjFdfFTt)()(八、积分特性二） 假设 那么)()(FtfFT0)0(F)()0()(

9、)(FjFdfFTt积分特性的证明dfty)()()()(tfdttdy)()(FYjjFdfFT)()( 令 两边求导 FT 微分特性 FT 积分特性斜平信号 的频谱看成高 ，宽 的矩形脉冲 的积分)(0)0(1)0(0)(000tttf)(1)0 () 0(0)(000tttttytdfty)()(01t0t)(f)()2(1)()0()(1)()(200tjetSajFFjtyFTYF(0)不为0矩形)(Ftdfty)()(00t1t)()(tfdttdy10t0tFT)(F02t02t0t0200)2()(tjetSaFFT1)0(FFT)()2(1)() 0()(1)()(200tj

10、etSajFFjtyFTY20t用FT积分特性求阶跃的FTtdtuty)()()()()(f)(1)()(jtuFTY00t01)0(1)(FFT)()2(1200tjetSaj10t斜平信号FT3.8 时域 卷积定理 假设 那么)()(11FtfFT)()(22FtfFT)().()(*)(2121FFtftfFT例：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积)(tG)(tG)(*)(tGtG卷)(G)(G乘42)(2SaEF卷乘FTFT)4(2)(2SaEF)4(2SaE22E2E2E00)4(2SaE44223.8 频域 卷积定理 假设 那么)()(11FtfFT)()(22F

11、tfFT)(*)(21)().(2121FFtftfFT例：求余弦脉冲的频谱tcos)(tG1EE)(tf222222相乘costFTFT)(FT)(G22)(F卷积)(ttGtfcos).()()2()(SaEG)()()(tGtcos2)(1)2)cos(2)(EF乘FTFT卷2)(1)2)cos(2)(EFcos)(0ttfFT)()(2100FF)(tfFTcos0tFT0000 卷积12121利用卷积证明00求图中所示的三角调幅波信号的频谱t0cos1122t)(21cos000tjtjeetttf21)(042)(20SaEF4)(4)(4)(0202SaSaEF三角波1E)(0F)(210F)(2