专题14图形变换和类比探究类几何压轴综合问题(原卷版)备战2020年中考数学之解密压轴解答题命题规律

1、备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题14图形变换和类比探究类几何压轴综合问题【类型综述】本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材，可以对函数图象进行平移，可以对几何图形 进行平移、旋转，考查学生的数学综合应用能力.在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用.只要 抓住全等变换的特点，找到变与不变的量就可以解决问题.预计在2019年中考中仍会在压轴部分渗透变换，但是会有新情境的渗透.【方法揭秘】1 .平移的性质(1)平移前后，对应线段平行、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一直线上)或相等；(3)平移前后的图形全等，注意：平移不改变图形的形状和大小2 .旋

2、转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.3 .中心对称的性质：在成中心对称的两个图形中，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.成中心对称的两个图形全等.【典例分析】【例1】操作与证明：如图 1,把一个含45°角的直角三角板 ECF和一个正方形 ABCD摆放在一起，使三 角板的直角顶点和正方形的顶点 C重合，点E、F分别在正方形的边 CB、CD上，连接AF.取AF中点 M , EF的中点N,连接MD、MN .(1)连接AE,求证：AAEF是等腰三角形；猜想与发现：(2)在(1)的条件下，请判断 MD、

3、MN的数量关系和位置关系，得出结论.结论1 : DM、MN的数量关系是结论2: DM、MN的位置关系是一拓展与探究:(3)如图2,将图1中的直角三角板 ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.A口鼻D证明.【例2】已知：如图1, OM是/ AOB的平分线，点 C在OM上，OC=5,且点C到OA的距离为3.过点C作CDOA, CEXOB,垂足分别为 D、E,易得到结论：OD + OE等于多少；(1)把图1中的/ DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时(如图2),上述结论是否成立？并说明理由；(2)把图1中的/

4、 DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点 D时：请在图3中画出图形;OD、OE之间的数量关系，不需上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段【例3】两个三角板 ABC , DEF按如图所示的位置摆放，点 B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线 上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，/ C = /DEF=90°, /ABC=/F = 30°, AC = DE=4 cm.现固定三角板 DEF ,将三角板 ABC沿射线DE方向平移，当点 C落在边EF上时停止运动.设三 角板平移的距离为 x (cm),两个三角板重叠部分的面积为y (c

5、m2).(1)当点C落在边EF上时，x =cm；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；设边BC的中点为点M ,边DF的中点为点N,直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值.【例4】在AABC中，/ ABC=90°, AB = BC=4,点M是线段BC的中点，点 N在射线 MB上，连接 AN,平移"BN ,使点N移动到点M ,得到ADEM (点D与点A对应，点E与点B对应)，DM交AC于点P.(1)若点N是线段MB的中点，如图1.依题意补全图1;求DP的长；(2)若点N在线段MB的延长线上，射线 DM与射线AB交于点Q,若MQ = DP,求CE

6、的长.备用国【例5】如图1,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A, B,与y轴交于C,抛物线的顶点为 D,直线l过C 交x轴于E (4, 0).(1)写出D的坐标和直线l的解析式；(2) P (x, v)是线段BD上的动点(不与 B, D重合)，PFx轴于F,设四边形 OFPC的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并求 S的最大值；(31Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M,交抛物线于N,连接CN,将4CMN 沿CN翻转，M的对应点为 M .在图2中探究：是否存在点 Q,使得M恰好落在y轴上？若存在，请求 出Q的坐标；若不存在，请说明理由.宽与长的比是 在-1(约为0.6

7、18)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感.世界各国许多2著名的建筑.为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示；MN=2)第一步，在矩形纸片一端利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平.第二步，如图.把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.第三步，折出内侧矩形的对角线 AB,并把AB折到图中所示的 AD处，第四步，展平纸片，按照所得的点 D折出DE,使DEL ND,则图中就会出现黄金矩形，问题解决：(1)图中AB=(保留根号)；(2)如图，判断四边形 BADQ的形状，并说明理由；(3)请写出图中所有的黄金矩形，并选择其中

8、一个说明理由.(4)结合图.请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽.【变式训练】、单选题1 .如图，正方形ABCD中，AB 6, E为AB的中点，将 ADE沿DE翻折得到 FDE，延长EF交BC于G , FH BC ,垂足为H ,连接BF、DG .结论:BF P DE ； DFG叁 DCG ;FHB s4EAD ; GEB司；S bfg 2.6 .其中的正确的个数是（）3A. 2B. 3C. 4D. 52 .如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE± BC于点E, PF ±DC于点F,连接

9、AP并延长，交射线 BC于点H ,交射线DC于点M ,连接EF交AH于点G,当点P在 BD上运动时（不包括 B、D两点），以下结论中： MF = MC；AP=EF；AHEF；AP2=PM?PH;EF的最小值是J2 .其中正确结论有（）A . 2个B. 3个C. 4个D. 5个3 .如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为1,0，点B的坐标为0,2 ，点A在第1一二象限，直线y -x 5与x轴、2当点A落在MN上时，则m为（）y轴分别交于点N、M .将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位,A. 1B. 2C. 3D. 44 .如图，在平面直角坐标系中，A （1, 2）, B （3,

10、2）,连接AB,点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP,当AABP的周长最小时，对应的点P的坐标和AABP的最小周长分别为（）A. (1,0),2应 4B. (3,0) ,272 4C. (2 ,0),2痣D. (2,0),252,9遂接5 .如图，将小正方形 AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度 a （其中0° W “BG、DE相交于点O,再连接AO、BE、DG .王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：BG=DE；BGDE；/ DOA = / GOA ；Szadg=Saabe,其中结论正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6 .如图，点P

11、是等边三角形外一点，把 BP绕点B顺时针旋转60。到BP ,已知/APB=150。,PA:PC 2:3 ,则 PB: PA的值是（）A. y/2 : 1B. 2 : 1C.小：2D. 73 ： 1二、填空题7 .如图，在菱形 ABCD中，AB = 2, / BAD =60。，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P,则DP的长是8 .如图，在平面直角坐标系中，直线l：y 2x 8与坐标轴分别交于 A, B两点，点C在x正半轴上，且OC=OB.点P为线段AB （不含端点）上一动点，将线段 OP绕点。顺时针旋转90彳导线段OQ,连接CQ,则线段CQ

12、的最小值为90 , AB 10, BC 6,在线段AB上取一点D ,作DFAB交AC于点F ,现将 ADF沿DF折叠，使点 A落在线段DB上，对应点记为 A1 ； AD的中点E的对应点记为Ej若 &FA1 : EBF ,则AD10 .如图，四边形 ABCD是矩形，AD=5, AB= 16 ,点E在CD边上，DE = 2,连接BE, F是BE边上的3一点，过点 F作FGXAB于G,连接DG ,将 "DG沿DG翻折的APDG，设EF = x,当P落在4EBC内部时（包括边界），x的取值范围是D EA G 3 311 .如图，将函数 y (x 0)的图象沿y轴向下平移3个单位后父x

13、轴于点C ,若点d是平移后函数图 x象上一点，且BCD的面积是3,已知点B( 2,0),则点D的坐标.12 .如图，有一条折线 AB1A2B2A3B3A4B4,它是由过A 0,0 , Bi 2,2 , A 4,0组成的折线依次平移4, 8, 12,个单位得到的，直线 y kx 2与此折线恰有2n(n 1,且为整数)个交点，则k的值为用81&必XA24*4A 5X三、解答题13 .如图，直线：y=-43x+4与x轴、y轴分别别交于点 M、点N,等边那BC的高为3,边BC在x轴 3上，将 那BC沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到AA1B1C1,当点B1与原点。重合时，解答下列(1)点

14、A1的坐标为.(2)求AAiBiCi的边AiCi所在直线的解析式；(3)若以p、A、Ci、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标.E.AC与BD相交于点O.(i)将射线BD绕B点顺时针旋转,14 .如图i,在 "BC中，AB=BC=5 , AC=6, AABC沿BC方向向右平移得 ADCE, A、C对应点分别是 D、且与DC, DE分别相交于F, G, CH / BG交DE于H ,当DF=CF时,求DG的长；(2)如图2,将直线BD绕点O逆时针旋转，与线段 AD , BC分别相交于点 Q, P设OQ=x ,四边形ABPQ 的周长为y,求y与x之间的函数关系式，并求 y的最小

15、值.(3)在(2)中PQ的旋转过程中，AAOQ是否构成等腰三角形？若能构成等腰三角形，求出此时PQ的长？若不能，请说明理由.15 .在平面直角坐标系中，O为原点，点A (6,0),点B在y轴的正半轴上，ABO 30 .矩形CODE的顶点 D, E, C分别在 OA, AB , OB上，OD=2.图图(I )如图，求点 E的坐标；(n)将矩形 CODE沿x轴向右平移，得到矩形 CODE，点C, O, D, E的对应点分别为C,O,D,E.设OO t,矩形CODE与MBO重叠部分的面积为S.如图，当矩形 CODE与 MBO重叠部分为五边形时，C E , E D分别与AB相交于点M , F,试用含有

16、t的式子表示S,并直接写出t的取值范围；当J3筱岭5J3时，求t的取值范围(直接写出结果即可).16 .如图，将矩形 OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B (8, 6),点D是射线AO上的一点，把 ABAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A .(1)若点A'落在矩形的对角线 OB上时，OA的长=;(2)若点A'落在边AB的垂直平分线上时，求点 D的坐标；(3)若点A'落在边AO的垂直平分线上时，求点 D的坐标(直接写出结果即可).y*伙 /大Y .0DAx17 .在 RtAABC 中，/ ACB=90°, /BAC=60°,

17、 BC=2y/3 , D 是 AB 的中点，直线 BM/AC, E 是边 CA 延 长线上一点，将 AEDC沿CD翻折得到任DC ,射线DE '交直线BM于点F .(1)如图1,当点E与点F重合时，求证：四边形 ABE C为平行四边形；(2)如图2,延长ED交线段BF于点G.设BG=x, GF=y,求y与x的函数关系式；若ADFG的面积为3出，求AE的长.18 .如图，若直线l ： y= 2x+4交x轴于点A、交y轴于点B,将BOB绕点O逆时针旋转90°得到"OD .过点 A, B, D 的抛物线 h ： y=ax2+bx+4 .(1)求抛物线h的表达式；(2)若与

18、y轴平行的直线 m以1秒钟一个单位长的速度从 y轴向左平移，交线段 CD于点M、交抛物线h 于点N,求线段MN的最大值；(3)如图，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限的上一动点(不与点 D、B重合)，连接PE,以PE为边作图示一侧的正方形 PEFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.19 .已知，正方形 ABCD的边长为4,点E是对角线BD延长线上一点，AE=BD .将AABE绕点A顺时针旋转a度(0°<“< 360。)得到bA E；点B、E的对应点分别为 B'、E'.(1)如图1,当“ 二30时，求证：B C=DE(2)连接B' R DE ,当B E=DEM,请用图2求a的值；(3)如图3,点P为AB的中点，点Q为线段B'吐任意一点，试探究，在此旋转过