常微分方程21

1、常微分方程习题 2.11. dy 2 xy ,并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解 .dx 解：对原式进行变量分离得1 2 21 dy 2xdx , 两边同时积分得：ln y x c, 即 y c ex 把 x 0, y 1代入得y2c 1, 故它的特解为y ex 。22. y dx (x 1)dy 0, 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解 . 解：对原式进行变量分离得：111 dx 12 dy,当y 0时，两边同时积分得； ln x 1 y当y 0时显然也是原方程的解 。当 x 0,y 1时，代入式子得1x111 c,即 y y1c ln x 1 c 1, 故特解是y 1 ln

2、1 x 。2 dy 1 y dx xy x y解：原式可化为：22dy y 1 3 显然 y 0, 故分离变量得y 2 dy 1 3 dxdx y x x3y 1 y2x x3两边积分得1 ln1 y21ln x ln1ln c(c 0),即(1 y2)(1 x2) c x22 2 2故原方程的解为( 1 y )(1 x ) cx4：(1 x)ydx (1 y)xdy 0解：由 y 0或x 0是方程的解，当 xy 0时，变量分离 1 xdx 1 ydy 0 xy 两边积分 ln x x ln y y c,即 ln xy x y c, 故原方程的解为 ln xy x y c; y 0;x 0.5

3、:(y x)dy ( y x)dx 0解：dy y x,令 y u,y ux,dy u xdudx y x x dx dx则u xduu1,变量分离，得：u21 du1dxdxu1u21x12两边积分得： arctgu ln(1 u ) ln x c。dy 2 26：x dx y x y 解：令 y u,y ux,dy u x du ,则原方程化为： x dx dx22du x (1 u ) ,分离变量得： 1 ,分离变量得： 1 u2dxdusgnx 1 dx x两边积分得：arcsin u sgn x ln x c 代回原来变量，得 arcsin y sgn x ln xx22另外，y x

4、2也是方程的解。7： tgydx ctgxdy 0 解：变量分离，得： ctgydy tgxdx 两边积分得：ln sin yln cos x c.8: dy eydx y解：变量分离，得 y 2 dy 1 e cy3e9 : x(ln x ln y)dy ydx 0解：方程可变为： ln y dy y dx 0xx令u y ,则有：1 dxlnu d lnux x 1 ln u 代回原变量得： cy 1 ln y 。x10：dy ex ydx解：变量分离 e dy e dx 两边积分 ey ex cdy x ydx e解：变量分离， e dy e dx 两边积分得： ey ex c11.dy

5、dx2(x y)解：令 x y t ,则 dy dt 1dx dx原方程可变为： dt 12 1dx 2变量分离得：12 dt dx, 两边积分 arctgt x c t1代回变量得：arctg ( x y) x c12 dy2dx ( x y)2令 x y t，则 dy dt 1，原方程可变为 dt 12 1dx dx dx t 2 t2变量分离 2t dt dx，两边积分 t arctgt x c，代回变量 t 2 1x y arctg ( x y) x c13. dy 2x y 1dx x 2 y 111 解：方程组 2x y 1 0,x 2y 1 0;的解为 x,y3311dY 2 X

6、 Y令x X , y Y ,则有'33dX X 2Y2 令 Y U ，则方程可化为： X dU 2 2U 2U1 2UX dX 变量分离14, dy x y 5 dx x y 2解：令x y 5 t,则dy 1 dt ,dx dx原方程化为：1 dt t ,变量分离 (t 7)dt 7dx dx t 712 两边积分 1 t2 7t 7x c 2t12代回变量 ( x y 5) 7(x y 5) 7x c.15dy 2 2(x 1) 2 (4y 1) 2 8xy 1 dx解：方程化为 dy x2 2x 1 16y2 8y 1 8xy 1 (x 4y 1) 2 2 dx令1 x 4y u

7、，则关于 x求导得1 4dy du，所以 1 du u2 9， dx dx 4 dx 41 2 2 8分离变量 2 du dx，两边积分得 arctg (x y) 6x c，是4u2 9 3 3 3 原方程的解。6216 dyy 2x16 dx 2xy5 x2 y2解：dy(2y3)2 32x22dy33(y3)3222x2，令y3u，则原方程化为dxy2 (2xy3 x 2dx 2xy3x222du 3u 2 6x 2dx 2 xu x 23u2x2这是齐次方程，令2u du dz 3z 6 dz z，则z x ，所以 z xdx dx6 0，得 z 3或 zx当z2当z26 0时，变量分离

8、2dz z z 6 x，dx 2z 1y3 3x或y 32x是方程的解。(1)2z 1 dx 2是(1)方程的解。2z 1 1 ， 2 dzdx ，2x3x或y3z z d y3 3x)7 (y 3 2x)3 x5 c，又因为 y3 的解为 (y3 3x)7 (y3 2x)3两边积分的（ z 3）7 （z 2）35x c,即（x15c2x包含在通解中当 c 0时。故原方程2x3 3xy x22dy22解：原方程化为 ddyx xy(32xx22 23yy22 11) dx2x2 3y2 1dx3x2 2y2令 y2 u,;x2 v;则 du 2v 3u 1dv 3v 2u 1(1)2v 3u

9、1 方程组 3v 2u 10的解为（1， 1）；令Z v 1，Y u01，则有2z 3y 0，3z 2y 0，dy 2 3 y，从而方程（ 1）化为 dyzdz 3 2 y z则有dy tdzz dt ，所以 t zdt dz dz2 3t ，3 2tdt zdz22 2t 2 ，3 2t(2)17. dy 2 323 dx 3x2 y 2y3 y当2 2t 2 0时，即 t1，是方程 （2）的解。 得 y 2 x2 2或 y2x 2是原方程的解当22t20时，分离变量得2322tt2 dt1zdz两边积分的y2x2(y2x22)5c另外y2x22，或 y2x2，包含在其通解中，故原方程的解为

10、y2x2（y2x22）5cx dy18.证明方程f (xy)经变换 xy u可化为变量分离方程， 并由此求解下列方程y dx221).y(1 x y )dx xdy22(2).x dy 2 x2y2(2). y dx 2 x2 y2证明：因 为xy u,关于x求导导得y x dy dy,所以x dy du y dx dx dx dxdu得：1 du 1 f(u), du u (f(u) 1) 1 (uf(u) u) y dx dx y(f(u) 1) x x故此方程 为此方程 为变程。解(1):当x 0或y 0是原方程的解，当 xy 0s时，方程化 为x dy 1 x2 y du 13 dx令

11、xy u,则方程化 为du 1(2u u ),变量分离得：dx x2两边同时积分得： u2u2 2 2 故原方程的解 为 原 2 y2xy4cx2,即 2 y2x2 y 22 cx ,x 0.2cx2 ,y 0也包含在此通解中。2 u 21 4u2 u) 22x 2 u 222c，解 (2)令 xy u，则原方程化为 du 1(u dx x 2 uy x yx分离变量得 24uu du11 dx，两边积分得 lnx这也就是方程的解。2u u x19. 已知 f(x) f(x)dt 1,x 0, 试求函数 f (x)的一般表达式 . 0y 1 y'解：设 f(x)=y, 则原方程化为 f

12、(x)dt 1 两边求导得 yy2 y'0y把ydydx;dxy31dy;两边积分得 x c 21 y12;所以y12x c12x代入 cf (x)dt 10y1 dt 2x c; ( 2x c c) 2x c得c 0,所以y2t c 2x20.求具有性质 x(t+s)=1x(tx)(t)xx(ss)的函数 x(t),已知 x'0()存在解：令t=s=0 x(0)= x(10) x(x0()0) =1 2x(x0()0x)(0) 若x(0) 0 得x2 =-1矛盾所以 x(0)=0. x'(ltim)=x(t t) x(t) limx( t)(1 x2 (t) t1 x(t)x( t)x