第六节微积分基本定理

1、第六节第六节 微积分基本定理微积分基本定理一、问题的提出一、问题的提出二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出一、问

2、题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中 对一般的函数f(x), 如果F(x)是f(x)的一个原函数，是否有( )( )( ) baf x dtF bF a？ xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如果上限如果上限x在区间在区间,ba上任意变动，则上任意变动，则对于每一个取定的对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，定积分有一个对应值，所以它在值，所以它在,ba上定义了一个函数，上定义了一个函数， 二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数)(xf,bax,ba 设函数设函数

3、 在区间在区间 上连续，并且设上连续，并且设 为为 上的一点，上的一点，abxyo积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x定理定理)(xf,ba如果如果 在在 上连续，上连续， 则积分上限的则积分上限的函数函数 在在 上上 具有导数，具有导数，dttfxxa )()(,ba)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 且它的导数且它的导数是是 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx

4、)(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x)(lim fx )(xf 推论（原函数存在定理）推论（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续， 则积分上限的函上连续， 则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. . 推论的重要意义：推论的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.例例1 1,11)()1(0 xdtttxF设设解解).(xF 求求)(xF .11

5、xx )(xF )(12sin22 xx12sin22 xx解解,12sin)()2(20 xdttxF设设).(xF 求求一般地有一般地有则则有有若若,)()()(dttfxFxa )()()(dd)()(xxfdttfxxFxa 定理定理 2 2（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿三、牛顿

6、莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式dxxfba )(微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.)()

7、(aFbF 例例1 1 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解例例2 2 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12例例3 3 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 213102023312131 xxx31

8、382138 注注:1. 1. 分段函数求定积分分段函数求定积分: : 利用区间可加性利用区间可加性, ,用分段点把积分区用分段点把积分区间分成若干段间分成若干段, ,变成若干个积分变成若干个积分. .2. 2. 若被积函数为绝对值函数若被积函数为绝对值函数, , 应先去掉应先去掉绝对值化为分段函数绝对值化为分段函数. .3. 3. 若被积函数为偶次根式若被积函数为偶次根式, , 化为绝对值化为绝对值函数再去掉绝对值化为分段函数函数再去掉绝对值化为分段函数. .例例4 4 求求 .121 dxx解解1)( xxf,211111 xxxx 2111)1()1(dxxdxx原式原式.25 2121

9、122121 xxxx212 例例5 5 求求 .sinsin03 dxxx解解 02cossindxxx原式原式 0cossindxxx220)cos(sincossindxxxxdxx 2232023)(sin32)(sin32 xx)32(32 34 例例6 6 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例7 7 计计算算曲曲线线xysin 在在, 0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积. 解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 解解 面积面

10、积 20d|sin|xxA 0cos2x . 4 0dsin2xx由定理由定理2，一般地有如下结论：，一般地有如下结论：)()()()(xaxafxbxbf证证则的一个原函数，是设 )()( tftF)()()()()(xaFxbFdttfxbxa)()()()()(xaFdxdxbFdxddttfdxdxbxa所以命题成立！)()()(ddxbxadttfx例例1 1,11)()1(0 xdtttxF设设).(xF 求求)(xF )(12sin22 xx12sin22 xx解解 (2),12sin)()2(20 xdttxF设设).(xF 求求例例2 2,)1ln()(1122 xdttxF

11、设设解解).(xF 求求)(xF )12()12(1ln2 xx)12(1ln22 x例例4 4,1)(cossin2 xxdtttxF设设解解).(xF 求求)(xF )(sinsin1sin)(coscos1cos22 xxxxxxxxxxxxsin1sincoscos1cossin22 xxxxxxsin1sincos1cossincos例例5 5.dsindd)1(20 xtttt求求. )d)(dd)2(0 xttxfx求求)d)(dd0 xttfxx原式原式. )(d)(0 xxfttfx . )d)()(dd)3()(0 xttfxgx 求求 )()(dd)(0 xdttfxgx

12、 原式原式例例6 (1)6 (1)求求.coslim020 xdttxx 解解00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.xdttxx 020coslim1coslim20 xx 20coslimxx 1 (2)(2)求求2021)(arctanlimxdttxx 解解2021)(arctanlimxdttxx 221)(arctanlimxxxx 42 (这是这是 型不定式型不定式) 例例7 (1)7 (1)求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex

13、 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. (2) (2)求求.sintanlimtan0sin00 xxxdttdtt解解00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.xxxdttdtttan0sin00sintanlimxxxxx20sec)sin(tancos)tan(sinlimxxxtansinlim0 xxx0lim1 )sin(tan)tan(sinlim0 xxx例例8 8,0cos100 xeytdttdte设设解解.ddxy求求

14、得得求导求导方程两边对方程两边对,x0)1cos( xxyeeyeyxxeey )1cos(例例9 9,)(, ), 0)()1(02xdttfCxfxx 且且若若).2(f求求解解得得求导求导方程两边对方程两边对,x1)()1(322 xxxxf1)32()(232 xxxxf即即,1 x令令51)2( f得得例例 1010 设设)(xf在在),(内连续，且内连续，且0)( xf.证明函数证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0(内为单调增内为单调增加函数加函数. 证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()

15、()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.例例 1 11 1 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，且且1)( xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一个个解解. 证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数.,

16、 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一个解上只有一个解.令令, 1 , 0)(CxF 则则故故0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上至至少少有有一一个个解解. . 例例1212.4arccosarcsin,20:22)(cos0)(sin0 xxdttdttx有设证明证明证明,arccosarcsin)(22)(cos0)(sin0 xxdttdttxF令令)sin(cos2cossin2)(xxxxxxxF 则则0 .4)( xF 210210arccosarcsin)4(dttdttF 由由

17、 210arccosarcsindttt 2102dt 4 ,)(CxF 3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？思考题解答思考题解答dttfxa )(与与du

18、ufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，练练 习习 题题（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1I= =_

19、 , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 设设)(xf为连续函数，证明