线性代数CH行列式ppt课件

1、LOGO序序 言言0平时成绩共计平时成绩共计30%） 0 1、 考勤考勤10%）0 2、 作业作业20%）0期末理论考试期末理论考试70%）0 一、研究对象一、研究对象三、核心方法三、核心方法二、研究工具二、研究工具以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结构、线性变换的形式构、线性变换的形式.线性代数线性代数研究对象与逻辑结构概述研究对象与逻辑结构概述利用矩阵理论利用矩阵理论, 求解线性方程组求解线性方程组.通过初等通过初等(线性线性)变换，将方程组化为最简形式的同解变换，将方程组化为最简形式的同解方程组求解方程组求解.四、课程特点四、课程特点公

2、式多，式子大，符号繁，但规律性强。内容比较抽象。公式多，式子大，符号繁，但规律性强。内容比较抽象。五、逻辑结构五、逻辑结构线性代数线性代数研究对象与逻辑结构概述研究对象与逻辑结构概述线性线性方程组方程组矩阵矩阵理论理论行列式行列式Cramer法则法则矩阵对角化矩阵对角化二次型的化简二次型的化简线性线性变换变换初等变换初等变换 在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数多的未知量，并且未知量

3、的个数与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等.-1 0 1 2 3 4 xy-11234(唯(唯一一解解) )13yxyx(1)二元一次方程组二元一次方程组6223yxyx13yxyx无穷多组解无穷多组解无解无解 x + y z = 5 2x -3y +z = 3 -5x+2y - 2z= 0记作记作12312312352335220 xxxxxxxxx 三元一次方程组三元一次方程组例例10043214321xxxxxxxx10021321321xxxxxxxx显然，此方程组无解显然，此方程组无解. . 例例2显然，此方程组有无穷多解显然，此方程组有无穷多解. . a11x1+a12

4、x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2am1x1+am2x2+ +amnxn=bm 例例3nm个方程式n个未知数的线性方程式系统mnmnmmmnnnnnnbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa332211333332321312232322212111313212111mnmmmnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA321333323122322211131211mbbbb21nxxxx21bAx 以矩阵方式表示为我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形.在讨论这一类

5、线性方程组时，我在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具.第一章第一章 行列式行列式n内容提要内容提要n1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式n2 n 2 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 n3 3 行列式的性质行列式的性质n4 4 行列式按行列展开行列式按行列展开n5 5 克莱姆法则克莱姆法则行列式的概念行列式的概念. .行列式的性质及计算行列式的性质及计算. . 线性方程组的求解线性方程组的求解. . 行列式是线性代行列式是线性代数的一种工具！数的一种工具！学习行列式主要学习行列式主要就是要能计算行列就是要能计算行列式的值式的值.1 1 二阶与三阶行列

6、式二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式. .一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式一元一次方程一元一次方程 ax = b 当当 a0 时，时，bax1 10 x2x22x3x22121二元二元 （三元线性方程组（三元线性方程组例例 解二元线性方程组解二元线性方程组14x71 得得于是于是2x1 6x2 42x72 类似地，可得类似地，可得于是于是一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222

7、a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 求解公式为求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 二元线性方程组二元线性方程组 分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定. .分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而

8、得. .122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 此公式有什么特点？此公式有什么特点？11122122aaaa记号记号 11122122aaaa数表数表 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减四个数分成两对相乘再相减”.记：记： 2112221122211211aaaaaaaa称上式的左边为二阶行列式，右边的式子为称上式的左边为二阶行列式，右边的式子为二阶行列式的展开式二阶行列式的展开式 。其中，其中， 称为元素称为元素.(1,2;1,2)ijija i 为行标，表明元素位于第为行标，表明元

9、素位于第i 行；行； j 为列标，表明元素位于第为列标，表明元素位于第j 列列.二阶行列式的计算二阶行列式的计算 11122122aaaa11221221a aa a主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 例如例如29245) 3(8515831行列式的计算结果是一个数。行列式的计算结果是一个数。注意：注意：例例1：设：设231D 问当问当 （1为何值时，为何值时，D = 0 （2为何值时，为何值时，D0解：解：23D (1) 0 3或或 时，D=0(2) 0 3或或 时，D 0其求解公

10、式为其求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 1 2212 2111 22122111 21 21211 221221baa bxa aa aa bbaxa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 2112221122211211aaaaaaaa112222baba= D1D =111212abab= D2于是，当于是，当D0D0时，方程组的解为时，方程组的解为1212,.DDxxDD 22211211aaaaD; 2221211ababD 2211112babaD 例例1.2 1.2 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 1212232121xxxx解解 因为因为

11、 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD 222137DxD 二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引进记号引进记号称为三阶行列式称为三阶行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法

12、则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！三阶行列式的计算可用下面的对角线法则三阶行列式的计算可用下面的对角线法则333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa 312312aaa 322113aaa 312213aaa 332112aaa .322311aaa 注意注意: 2. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号。元素的乘积冠以负号。1. 三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项,每一项都是位于不每一项都是位于不同行同行,不同列的三个元素的乘积。不同列的三个元素的乘积。12-4-221-34-2D 例例2 2 计

13、算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 0a0b0c0d0D = 0= ?对于三元线性方程组对于三元线性方程组 333323212123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 记记,3332323222131211aabaabaabD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :,11DDx ,22DDx .33DDx ,3333123221131112abaabaabaD .

14、3323122221112113baabaabaaD 例例3 3 解线性方程组解线性方程组12312312322,231,0.xxxxxxxxx 由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为故方程组的解为:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx j = 1, 2, , n11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xaxba xa xaxbaxa

15、xaxb ，时，当DDxDjj 0111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa n阶行列式阶行列式其中其中DjDj为将为将D D的第的第 j j 列换为常数项后得到的行列式列换为常数项后得到的行列式. .n元一次方程组元一次方程组系数系数行列式行列式方程组的解方程组的解:Cramer法则法则猜测猜测: 2 n 2 n 阶行列式的定义阶行列式的定义问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素个元素的全排列的全排列. n 个不同元素的

16、所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法.一、全排列及其逆序数所有所有6种不同的排法中，只有一种排法种不同的排法中，只有一种排法123中的数字是按从小到大的自然中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“顺序顺序”，而是而是“逆序逆序”. 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法。种不同的排法。1

17、23，132，213，231，312，321对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序就称这两个元素组成一个逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？思考题：还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.定义定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆

18、序数排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 . .1 2ni ii1 2()ni ii 奇排列：逆序数为奇数的排列奇排列：逆序数为奇数的排列. .偶排列：逆序数为偶数的排列偶排列：逆序数为偶数的排列. .例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为3。1010故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法 则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为12n设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大

19、为标准次序. 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;12np pp1p1p1 2p2p2 npnpn 3 4 2 143 2 1从而得从而得 (3421)=5.5练习：求排列练习：求排列 32541 32541 的逆序数的逆序数. .答：答：(32541)=6.例例4 4 计算下列排列的逆序数，并讨论奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论奇偶性. .217986354解解453689712544310010

20、 18 此排列为偶排列此排列为偶排列.54 0100134 ( (1)21) n n(1)(2)1nn1(1)2n n说明说明: : 一般说来一般说来, ,在在n n个数码的全排列中，奇偶排列个数码的全排列中，奇偶排列各占一半各占一半. .(12)n 0思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 偶排列偶排列111lmnaabbcb ca二、对换二、对换定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的方法叫做对换素不动，这种作出新排列的方法叫做对换将相邻两个元素对换，叫做相邻对换将相

21、邻两个元素对换，叫做相邻对换例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. .11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabb 11lmbaaabbrrr 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. ., a b当当 时，时， ， ， . . ab 当当 时，时， ， ， . . ab 因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性. . 1aar bbr aar 1bbr 1r 1r 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabb

22、11lmbaaabbrrr nmlccbbbaaa111ab次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111ba,111nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。偶性。ab（2考虑一般情形考虑一般情形三阶行列式的定义三阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 1.1.概

23、念的引入概念的引入规律：规律：三阶行列式共有三阶行列式共有6 6项，即项，即3!3!项项每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1 1、2 2、3 3的某个排列的某个排列. .123123pppaaa123p p p三、n阶行列式的定义例如，例如，322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 211312 322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 333231232221131211a

24、aaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 当当 是偶排列时，对应的项取正号；是偶排列时，对应的项取正号； 当当 是奇排列时，对应的项取负号是奇排列时，对应的项取负号. . 123p p p123p p p所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 123123123()123( 1)p p ppppp p paaa 其中其中 表示对表示对1 1、2 2、3 3的所有排列求和的所有排列求和. . 123p p p 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律. .下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推

25、广到一般的情形. . 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a三、三、n 阶行列式的定义阶行列式的定义 n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项 每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积 每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. 当当 是偶排列时，对应的项取正号；是偶排列时，对应的项取正号； 当当 是奇排列时，对应的项取负号

26、是奇排列时，对应的项取负号. 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnp ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 简记作简记作 ，其中其中 为行列式为行列式D D的的(i, j)(i, j)元元det()ijaija思考题：思考题： 成立吗？成立吗？答：符号答：符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，那么若理解成绝对值，那么 ；若理解成一阶行列式，那么若理解成一阶行列式，那么 . .11 1 11 11 注意：当注意：当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意

27、不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 11 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项. . 2311aa例：例：计算行列式计算行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 解：解：112213344000000000

28、000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)a a a a 14233341a a a a (4321)0123 3 46.2 其中其中 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a 14233341a a a a 12,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四个结论：四个结论：(1) (1) 对角行列式对角行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1

29、)212,11( 1)n nnnna aa nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）nnaaa2211 1 2121 2()12( 1) nnni iiiii ni iia aa1 11 212 12 2212nnnnn naaaaaaaaa3 3 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质111212212212,

30、 nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. . TDD若记若记 ，那么，那么 . .det(), det()TijijDaDb ijjiba 记记性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 . .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 121212()12( 1)nnnp ppTppnpp ppDbbb 证明证明根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有若记若记 ，那么，那么det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijjibai jn 1121221()2( 1)

31、nnnppp ppp ppp naaa D 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立凡是对行成立的对列也同样成立. .性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 . .TDD 性质性质2 2 互换行列式的两行列）互换行列式的两行列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推论推论 如果行列式有两行列完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行列完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两

32、行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . . DD 0D 备注：交换第备注：交换第 行列和第行列和第 行列），记作行列），记作 . .ji()ijijrr cc验证验证性质性质3 3 行列式的某一行列中所有的元素都乘行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一个倍数以同一个倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我们以三阶行列式为例我们以三阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 备注：第备注：第 行列乘以行

33、列乘以 ，记作，记作 . .ki()iirk ck 1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk 推论推论 行列式的某一行列中所有元素的公因子行列式的某一行列中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面备注：第备注：第 行列提出公因子行列提出公因子 ，记作，记作 . .ki

34、()iirk ck 212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa 验证验证我们以我们以4 4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 4 行列式中如果有两行列元素成比例，行列式中如果有两行列元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零性质性质5 5 若行列式的某一列行的元素都是两数若行列式的某一列行的元素都是两数之和之和, ,如：如：121222221113212331332323aaDaaabababaa 那么那么111311132

35、123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa 121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppp p pppp p pabaa 123123131312312223()()131322( 1)( 1)p p pp p pppppp p pppp p paaaaab 111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa验证验证我们以三阶行列式为例我们以三阶行列式为例. . 性质性质6 6 把行列式的某一列行的各元素乘以

36、同一个倍把行列式的某一列行的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列数然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变那么那么1.DD 验证验证122211132123313323,aaDaaaaaaa 我们以三阶行列式为例我们以三阶行列式为例. . 记记 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行列加到第行列加到第 行列上，记作行列上，记作 . .ki().ijijrkr ckc j1112131113212223212331323331323331331aaaaaDaaaaaaaaaka

37、kakaa 行列式的计算n方法一：利用性质化成上下三角行列式。方法一：利用性质化成上下三角行列式。n方法二：利用性质化简、降阶。方法二：利用性质化简、降阶。上三角行列式上三角行列式: : 非零元素在主对角线及其上方。非零元素在主对角线及其上方。 nnnnaaaaaa22211211非零元素在主对角线及其下方。非零元素在主对角线及其下方。下三角行列式下三角行列式: : 上三角上三角 行列式行列式nnnnaaaaaa21222111下三角下三角 行列式行列式OO例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式

38、常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值ijrkr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr

39、 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 2计算计算 28106107511641253D考虑考虑: : 化为三角形行列式前怎样变形可简化过程化为三角形行列式前怎样变形可简化过程解解: :28106107511641253D6810250714161325141cc 16810250711110325112rr 12040022201110325113rr 142rr 2232rr 0400000011103251

40、0例例3 3计算计算 6740151821256039D解解: :分析分析: :求行列式的值时求行列式的值时,本着化繁为简的原则本着化繁为简的原则,有公因式时先提公因式。有公因式时先提公因式。D31r21cc 67041581215220313 3 )2(142cc 123cc 2712415111211200013242cc 23cc 225124216111001200013 ) 6/21(34)6/21(cc 2/951240611100120001381例例4 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111

41、 D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 1(1) ().nanb a b 例例5 设设 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明 证明证明1111110;kkkkkpDpppp对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 1Dijrkr 1D设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式

42、2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp设为设为对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故21211102001xxxDxxx (1)(4321) a14a23a32a41=2x4知知计计算算,111222333abcabcaabc111222333acbacbbacb112233123112233222333aaaaaaDbbbcbcbcb1122331

43、23123222aa aa aabbbcccD 112233123123222aa aa aabbbccc112233123123222333aa aa aabbbbbb2ab123123123aaabbbccc123123123222aaabbbccc111222333abcabcabc1112223332acbacbacb ( (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位, , 凡是对行成立的性质对列也同样成凡是对行成立的性质对列也同样成立立).). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义; (2); (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从

44、而算利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值得行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6 6个性质个性质4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .例如例如 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 称为元素称为元素 的代数余子式的代数余子式 1ijijijAM i

45、ja在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的余子式，记作的余子式，记作 . ijijMijaija结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式. .例如例如9248734167023915 94874131523 M 2332231MA .23M 注：注：以及其所在行、列的所有元素均无关。以及其所在行、列的所有元素均无关。元素

46、元素 的余子式及代数余子式与元素的余子式及代数余子式与元素 自身自身ijaija11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa 引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 ijijDa A iijaija21222121100

47、nnnnnaaaaaaaD 即有即有1111.Da M 又又 1 11111111,AMM 从而从而1111.Da A 下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,ija 再证一般情形，设再证一般情形，设 1111100jnnnjnnijaaaaDaaa 用互换相邻两行和相邻两列，把用互换相邻两行和相邻两列，把 aij 调到左上角，得行列式调到左上角，得行列式11111111111 11111111 1111111110000j,j,jni,ji,i,ji,ji,ni,ji,i,ji,ji,nnjnn,jn,jnnijDaaaaaaaaa

48、aaaaaaaaaaaa 利用前面的结果，得利用前面的结果，得ijij1MaD 于是于是1ji11j1iDDD11)()()()( 所以引理成立所以引理成立.ijjiijMa1)( ijijAa 11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa我们以我们以4 4阶行列式为例阶行列式为例. . 2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa 12111213142122232441424334442000( 1)rraaaaaaaaaaaaa 1112131421222324414243434(3 14)0

49、00( 1)aaaaaaaaaaaaa 思考题：能否以思考题：能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？13rr231234234414243444142434411121212223314111213142421222324000( 1)000rrrraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 思考题：能否以思考题：能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？133434411112142314111434441421222324212223221323414444000( 1)000rraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 答：不能答：不能. .13rr

50、二、行列式按行列展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行列的各元素行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 或11221 2jjjjnjnjDa Aa Aa Aj, ,n 证 因为nn2n1nin2i1in11211aaaa000a000aaaaD 椐引理，就得到椐引理，就得到nn2n1ninn11211nn2n1n2in11211nn2n1n1in11211aaaa00aaaaaa0a0aaaaaa00aaaa .n,2 ,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 类似地可得类似

51、地可得.n,2 ,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 861504312例：将按第一行展开111112121313Da Aa Aa A 1 11 21 3054540681213811116 124405168 1 11 21 3054540111681816124 ? 例例3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法21211Dxx 21()ijijxx 例例 证明范德蒙德证明范德蒙德(Van

52、dermonde)(Vandermonde)行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (1)所以所以n=2时时(1)式成立式成立.21xx2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：1x按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有1()ixx 213112()()(

53、)()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行列的元素与另一行列的对行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 111213212223AAaaa A 212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我们以我们以3 3阶行列式为例阶行列式为例. . 1112131111121213132122233132

54、33aaaa Aa Aa Aaaaaaa把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，那么行的对应元素，那么 0. 定理定理3 行列式等于它的任一行列的各元素与其对应行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即 11221,2,iiiiinina Aa Aa AD in 推论推论 行列式任一行列的元素与另一行列的对行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 1122,0,niinijjjDija Aa Aa Aij 1122,0,

55、ijijinjnDija Aa Aa Aij 综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得例例 设设 , , 的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用3521110513132413D D( , )i jijMijA11121314AAAA 及及11213141.MMMM111213142122232411111212131314143132333441424344aaaaaaaaa Aa Aa Aa Aaaaaaaaa 125202100 解解111213141111105134311321AAAA 43rr 31rr 11111105

56、22021100 115222110 21cc 2502 4. 1521110513131413 105105113 43rr 1521110513130100 121105113 132rr 0. 1121344111213141MMMMAAAA 拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理1、行列式、行列式D的的k阶子式阶子式M： 任选任选D中中k行行k列，位于其交叉点元素按原来顺序列，位于其交叉点元素按原来顺序排列成的一个排列成的一个k阶行列式叫做阶行列式叫做D的一个的一个k阶子式阶子式,记为记为MnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211设3、M的代数余子式的代数余子式A：在在 N

57、之前冠以一个符号，符号由下式决定之前冠以一个符号，符号由下式决定)()(21121) 1(kkjjjiii其中其中),(21,21kkjjjiii表示表示 M 在在D中的行标和列标。中的行标和列标。2、M的余子式的余子式N： 划去划去k k行、行、k k列后，余下的元素按原来顺序排成列后，余下的元素按原来顺序排成的一个的一个n-kn-k阶行列式阶行列式, ,记为记为N N如：如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD33312321aaaaMD的一个二阶子式：44421412aaaaNM的余子式为：NAM)31()32() 1(的代数

58、余子式为：定理定理4.2拉普拉斯定理）拉普拉斯定理） 在在n阶行列式阶行列式D中，任意取定中，任意取定k行行(列列)后，由这后，由这k行行(列列)元素所组成的一切元素所组成的一切k阶子式与它的代数余子阶子式与它的代数余子式的乘积之和等于行列式式的乘积之和等于行列式D的值。的值。 例 计算 1111021220121101010120102D 解： 按按1，2行展开，不为零的二阶子式为行展开，不为零的二阶子式为 1121111221MM1111021220121101010120102D011121212111NM 的余子式0) 1(1311111NAM 的代数余子式011012021022NM

59、 的余子式0) 1(2531122NAM 的代数余子式由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理0221. 1AMAMD1.定义法定义法利用利用n阶行列式的定义计算阶行列式的定义计算;2.三角形法三角形法利用性质化为三角形行列式来利用性质化为三角形行列式来 计算；计算；3.降阶法降阶法利用行列式的按行利用行列式的按行(列列)展开展开 性质对行列式进行降阶计算；性质对行列式进行降阶计算；4. 加边法加边法(升阶法升阶法);5. 递推公式法；递推公式法；6.归纳法归纳法.112211nnnnnababDabba 1121 21( 1)nnnnnDa aab bbb 1121 21( 1)nnnna aabbb

60、b 0121122000000nnnabbbcacaDca 012112122100010()001nnnnabbbcacDa aaaca )0,(21naaa其中解：解：例例 计算行列计算行列式式箭形行列式箭形行列式从第二行开始，每一行提出从第二行开始，每一行提出对角线上的元素。对角线上的元素。012112122100010()001nnnnabbbcacDa aaaca 01111222000100()010001niiiinnnb caacaa aacaca 1201()()niiniib ca aaaa 第一行减去第一行减去biri i=2,3,n练习练习1 1nD0010301002