高等数学8-4多元复合函数的求导法则ppt课件

1、8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则引例引例32,lnarctan ,sin(21)?uvzeut vtdzdt设求?dzdt求1 1、中间变量是一元函数的情形、中间变量是一元函数的情形zuvt证证),()(tttu 则则);()(tttv ，获获得得增增量量设设tt zuvt1 1、中间变量是一元函数的情形、中间变量是一元函数的情形由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0

2、dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数. .dtdzdtdzeytxyxzt:;1,sin,.1222求求已已知知例例 2222222222222)1(sin)1(2cossin)2cos(1)2(costtttteteettyetxyxeyxytyxxdtdyyzdtdxxzdtdz 解解： 2(,ln ),.dzzf xxfdx设设可可微微，求求2 、中间变量是多元函数的情形、中间变量是

3、多元函数的情形 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .?zzxy求uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在点都在点

4、),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，复合的偏导数，复合函数函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对应点在对应点),(yx两个偏导数存在，且可用下列公式计算两个偏导数存在，且可用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu zuvxy 22() ,.xyzzzxyxy设设求求22.(,),.xyzzzf xyexy例例3 3 设设求求zuvxy解解),(,22vuf

5、zevyxuxy 则则设设 xzxvvfxuuf yefxfxy 212212fyexfxy yzyvvfyuuf xefyfxy 21)2(212fxeyfxy 222(sin,ln(),),.xyzzzfx yxyexy设设求求 2( , , ),xzwf x y zyew设设求求 的的偏偏导导数数),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的

6、区别区别类似区别类似zuxyxy3 、中间变量既含函数又含自变量的情形、中间变量既含函数又含自变量的情形.( , ) ,( , ),.zzzf x vvx yxy 例例4 4 设设求求vzxxy解解 xzxvvfxf yzyvvf (),wf xxyxyzw设设求求 的的偏偏导导数数 ( ,),wf x xy xyzw设设求求 的的偏偏导导数数例5.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2yu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfy

7、zzf2222zyxezyxsin2yx cos2解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvttz (sincos ),yzfxyx求求z z的的偏偏导导数数 1,(sincos )zfxy求求z z的的偏偏导导数数为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例7. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxw),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy那么zxw2111 f22221211)

8、(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 22 222(,),xd zzf exdx求求 2(),xyzzf exyx y求求特殊地：特殊地：( ) ,( , )( ),( )zf uuu x yzuzufufuxxyy 则则例例8y 2 22 2z zz z设设z z= =f f( (x x+ +x x y y ) ), ,且且f f( (u u) )可可微微，求求与与 x x解解2222(),zf xx yuxx y 在在中中令令则则由由复复合合函函数数求求偏偏导导的的链链式式法法则则得得 ux 2 22 22 2z z= =f f ( (u u) )= =( (

9、1 1+ +2 2x xy y ) )f f ( (x x+ +x x y y ) )x xuyy 2 22 22 2z z= =f f ( (u u) )= =2 2x x y yf f ( (x x+ +x x y y ) )例例9( ,) ,f x xy xyz 设设Q Q且且f f存存在在一一阶阶连连续续偏偏导导数数，求求函函数数Q Q的的全全部部偏偏导导数数。解解,ux vxy wxyz 设设则则( , ,)f u v w Q Q于是于是Qx fdufvfwuxvxwxQy Qz 3fxy 32fxzfx 321fyzf yf ywwfyvvfyuuf zwwfzvvfzuuf 例例

10、10( ),.yzzzxyxFxyxyzxxy 设设其其中中F F可可微微 试试证证：解解,yux 设设则则 xz yz于是于是( )( )( )zzxyx yF uuF uy xF uxy ( )yxyxFxyxyzx )()()()()(2uFuuFyxyuFxuFy)(1)(uFyxuFxx 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间的函数或中间变量变量 的函数，它的全微分

11、形式是的函数，它的全微分形式是一样的一样的.zvu、vu、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 2(,ln ),.dzzf xxfdx设设可可微微，求求利用全微分形式不变性再解利用全微分形式不变性再解 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解: :) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos(

12、)sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy例例2 求函数的偏导数和全微分求函数的偏导数和全微分xyxzyxxzarctan)2()2ln()1( yxxyzyxxyxxzdyyxxdxyxxyxyxdydxxdxyxyxyxdxdxyxyxxddxyxdz222)2ln(222)2ln(2)2)2ln(2)2()2ln()2ln()2ln()1( 解解222222222222222arctan)(arctanarctan)()(11arctanarctanarctan)2(yxxyzyxxyxyxzdyyxxdxyxx

13、yxyxydxxdyyxxxdxxyxydxyxdxxyxyxddxxydz 解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题思考题解答思考题解答不不相相同同.而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvuxdxd

14、uufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 练习题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 知求.),(22xyyxf解解: 由由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设由题设23)32( (2019考研考研)解答提示解答提示:P31 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)