高等数学--51不定积分的概念与性质ppt课件

1、信息学院信息学院 罗捍东罗捍东信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例 xxcossin )0(1ln xxx如如果果在在区区间间( (a, ,b b) )内内， 定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ， 那么函数那么函数)(xF就称为就称为)(xf 导函数为导函数为)(xf，信息学院信息学院 罗捍东罗捍东原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间( (a, ,b b) )内内连连续续， 简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin x

2、Cxcossin （C为任意常数）为任意常数）那那么么在在区区间间( (a, ,b b) )内内存存在在可可导导函函数数)(xF， 使使得得)()(xfxF . . (2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？信息学院信息学院 罗捍东罗捍东关于原函数的定理：关于原函数的定理：（1假设假设 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2假设假设 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf那么那么( )( )G xF xC证证)()()()(xFxGxFxG0)()( xfxf( )( )G xF x

3、C（C为任意常数）为任意常数）（C为任意常数）为任意常数）( )( )G xF xC信息学院信息学院 罗捍东罗捍东积分常数积分常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量则则称称 F(x)C 为为)(xf在在区区间间( (a, ,b b) )内内的的 不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. .在区间在区间(a,b)内，内，F(x)是函数是函数f(x)的一个原函数，的一个原函数，信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例1 1：求：求.5dxx 解：解：,656xx .665Cxdxx 解：解：例例2 2：求：求.112

4、 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx信息学院信息学院 罗捍东罗捍东不定积分的几何意义不定积分的几何意义 y = F(x )是函数是函数(x)的一个原函数的一个原函数, 称称 y = F(x) 的图形是的图形是(x)的一条积分曲线的一条积分曲线;而而 是是(x)的原函数一般表达式的原函数一般表达式, 所以它所以它对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是其特点是:( )f x dx (1)积分曲线族中任意一条曲积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条线可由其中某一条(如如y=F(x)沿沿y轴平行移动轴平行移动|c|个

5、单位而得到个单位而得到. (如图如图)当当c0时时, 向上移动向上移动; 当当c0时时,向下移动向下移动.oxyxy=F(x)c信息学院信息学院 罗捍东罗捍东oxyxy=F(x)( ( )( )( ) F xCF xf x(2) 即横坐标相同点处即横坐标相同点处, 每条积分曲线每条积分曲线上相应点的切线斜率相等上相应点的切线斜率相等, 都为都为(x) .从而相应点的切线相互平行从而相应点的切线相互平行.注意注意:当需要从积分曲线族中求出当需要从积分曲线族中求出过点过点 的一条积分曲线时的一条积分曲线时,则只须把则只须把 代入代入y = F(x) + C中解出中解出C即可即可.00(,)xy00

6、(,)xy信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例3 3：设曲线通过点：设曲线通过点1 1，2 2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. .解：解： 设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.22( ),f xxdxxC由曲线通过点由曲线通过点1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy信息学院信息学院 罗捍东罗捍东由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd

7、,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的.信息学院信息学院 罗捍东罗捍东实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 信息学院信息学院 罗捍东罗捍东基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx3( )ln|;dxxCx 说明：说明： , 0 x,ln Cx

8、xdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx信息学院信息学院 罗捍东罗捍东 xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx 2(8)secxdx;tanCx 2(9)cscxdx;cotCx (5)xe dx ;Cex (4)xa dx ;lnCaax 信息学院信息学院 罗捍东罗捍东 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx 21(13)arctan1dxxCx21(12)arcsin1dxxCxarccos;xC arccot;xC 信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例4 4：求积分：求积分.

9、2dxxx 解：解：dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式根据积分公式2）Cxdxx 11 信息学院信息学院 罗捍东罗捍东 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证：证：( )( )f x dxg x dx ( )( )f x dxg x dx ).()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况） dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例5 5：求积分：求积分解：解：.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dx

10、xdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例6 6：求积分：求积分解：解：.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例7 7：求积分：求积分解：解：42.1xdxx31arctan.3xxxC44221 1.11xxdxdxxx 221(1).1xdxx 信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例8 8：求积分：求积分解：解：22tansin2xxdx22tansin2xxdx21(sec1)(1 cos )

11、2xdxx dx11tansin22xxxxc11tansin22xxxc信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例9 9：求积分：求积分解：解：.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.信息学院信息学院 罗捍东罗捍东解：解：,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy例例10：已知函数：已知函数y=f(x)在点在点(x，f(x)的切线的切线斜率为斜率为 ，且过点，且过点0，5），），求此曲线。求此曲线。xxsinsec2 信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例11：已知某产品的产量：已知某产品的产量Q是时间是时间t的函数，的函数，其变化率的关系为其变化率的关系为Q/(t)2t10，求此产品的，求此产品的产量函数产量函数Q(t) ？解：解：因为因为Q (t)是其变化率的原函数，依题意有是其变化率的原函数，依题意有2( )( )(210)10Q tQ t dttd