九年级数学二次函数的图像和性质

1、 22.1.2 二次函数二次函数的图象和性质的图象和性质2axy 一般地一般地, ,形如形如的函数的函数, ,叫做二次函数叫做二次函数. .其中其中, ,是是x x自变量自变量, ,a,b,ca,b,c分别是分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. .y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)二次函数二次函数: : 在下列函数中，哪些是二次函数？在下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x+5; (2)y=(x+3)2-5x; (3)y=(2x-1)2-4x2.x x -3-3 -2 -2

2、 -1 -10 01 12 23 3y y解解:(1) :(1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2 2用描点法画二次函数用描点法画二次函数 y = x2 的图象的图象 你还记得用描你还记得用描点法画函数图像的点法画函数图像的一般步骤一般步骤? ?列表时应列表时应注意注意什么问题？什么问题？ 列表列表描点描点连线连线描点时应以哪些数描点时应以哪些数值作为点的坐标？值作为点的坐标？连线时应注意连线时应注意什么问题？什么问题？ 二次函数二次函数 y = x2的图

3、象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线抛物线 y = x2 ，二次函数二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形，的图象是轴对称图形，一般地，二次函数一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a0）的图象叫做的图象叫做抛物线抛物线y = ax2 + bx + c1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5抛物线抛物线 与它的对称轴的交点与它的对称轴的交点（0 0，0 0）叫做抛物线）叫做抛物线 的顶点的顶点它

4、是抛物线它是抛物线 的的最低点最低点2xy2xy 2xy 实际上实际上, , 二次函数的图象都是二次函数的图象都是抛物线抛物线，对称轴是对称轴是y y轴轴2xy 这条抛物线是轴对称这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，图形吗？如果是，对称轴是什么？对称轴是什么？抛物线与对称轴抛物线与对称轴有交点吗？有交点吗？x x -4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1. 1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= = x2 2和和y=2=2x2 2的图象的图象解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3)

5、连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.51 12 22yx212yx22yxxy=2xy=2x2 28-2-1.5-1-0.500.511.524.520.500.524.58函数函数 的图象与函数的图象与函数 y=x2 的图象相比，的图象相比，有什么共同点和不同点？有什么共同点和不同点？222,21xyxy22246448212yx22yx2yx相同点相同点：开口：向上，：开口：向上， 顶点：原点（顶点：原点（0,0）最低点最低点 对称轴：对称轴： y 轴轴增减性

6、：增减性：y 轴左侧，轴左侧，y随随x增大而减小增大而减小 y 轴右侧，轴右侧，y随随x增大而增大增大而增大不同点不同点：a 值越大，抛物线的开值越大，抛物线的开口越小口越小探究探究 画出函数画出函数 的图象的图象2222,21,xyxyxyx1y解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=x x2 2y=y=x x2 2y=y=2x2x2 21 12 2-2.25-0.25-0.25-2.25-2-2-.-.-.-.- -. .- -. .- -

7、. .-.-4. 5-4. 5-1-2-30123-1-2-3-4-52xy221xy 22xy x1y-1-2-30123-1-2-3-4-5 函数函数y=x2 2, ,y=2 2x2 2的图象与函数的图象与函数y=x2 2( (图中蓝线图形图中蓝线图形) )的图象相比的图象相比, ,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点? ?1 12 2不同点不同点: : 开口大小不同开口大小不同; ;a a越小，越小，221xy 2xy22xy 抛物线的开口越小抛物线的开口越小相同点相同点：开口：向上，：开口：向上， 顶点：原点（顶点：原点（0,0）最高点最高点 对称轴：对称轴： y 轴轴增减性：增减

8、性：y 轴左侧，轴左侧，y随随x增大而增大增大而增大 y 轴右侧，轴右侧，y随随x增大而减小增大而减小对比抛物线，对比抛物线，y=x2和和y=x2.它它们关于们关于x轴对称吗？轴对称吗？一般地，抛物线一般地，抛物线y=ax2和和y=ax2呢？呢？在同一坐标系内在同一坐标系内,抛物线抛物线 与与抛物线抛物线 是关于是关于x轴对称的轴对称的.2axy 2axy 2xy2xyy=ax2 (a0)a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。当当x0 x

9、0时，时，y y随着随着x x的增大而的增大而增大增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。抛物线的开口就越小抛物线的开口就越小. |a|越小越小, 抛物线的开口就越大抛物线的开口就越大.1 1、函数、函数y=4xy=4x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴是对称轴是 y轴轴 , ,顶点顶点是是 ; 2 2、函数、函数y=y=3x3x2 2的图象的开的图象的开口口 ,对称轴对称轴是是 ,顶点是顶点是 _ _ 向上向上向下向下y轴轴 (0,0)(0,0)耐心填一填耐心填一填;4 4、函数、函数y= y= 0.2x0.2x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴是对

10、称轴是_, ,顶点是顶点是 ; ; 3、函数函数y= xy= x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴对称轴是是 , ,顶点是顶点是 ; ; 向上向上3(0,0)y轴轴向下向下(0,0)y轴轴5、抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），方（除顶点外）， 当当 x

11、 0 时，时，y随着随着x的的 ； 当当 x 0 时，时，y随着随着x的的 ， 当当 x = 0 时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ， 当当 x 0 时，时，y0，点，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、 241xy y1、 y2、y3的大小关系是的大小关系是 。(m+3，y3)在抛物线在抛物线 上，则上，则9 9、已知、已知 y =(m+1)x y =(m+1)x 是二次函数是二次函数, ,且其图象开口且其图象开口向上向上, ,求求m m的值和函数解析式的值和函数解析式mm2 2+m+m解解: : 依题意有依题意有: :m+10 m+10 mm2 2+m=2 +m=2 解得解得:m:m1 1= =2, m2, m2 2=1 =1 由得由得:m:m1 1 m=1 m=1 此时此时, ,二次函数为二次函数为: y=2x: y=2x2 2. .