完全平方数大全

1、完全平方数目录一、三二、基础性质及推论三、重要结论四、而五、特殊的完全平方数六、范例1. 例12. <23. m4. 一J 45. >56. 彳歹J 67. >78. >8七、讨诬一、定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫 平方数。1.1 例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，2、标准分解式：大于1的平方数n的标准分解式如下：21121221knP1 1 P2 2 L Pk k (1)其中k 1r

2、 P2 LPk,p1,p2,L Pk是质数，11,12,L上是自然数。2.1例如：_2_2 _22_4_2 _2_2236 23 ,10025 ,14423 ,900235 ,L二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：1、性质1:末位数只能是0,1,4,5,6,9.(此为完全平方数的必要不充分条件)证明：设n2(n N)为完全平方数，n0是n的

3、个位数，则n2的个位数与n。2的个位数相同。利用整数同余的知识有如果 n n0(mod10),那么 n2 n02(mod10)又 n0 的全体是集合 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 , n02 的全体是 0,1,4,9,16,25,36,49,64,812n0的个位数全体是 0,1,4,5,6,9 。所以平方数 末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2:奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。证明奇数必为下列五种形式之一： 10a 1,10a 3,10a 5,10a 7,10a 9分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9 ;十位数

4、字为偶数3、性质3:如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之也成立证明已知，证明k为奇数。因为k的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+贼10n+6。则. k为奇数。推论1:如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是 6,那么这个数一定不 是完全平方数。推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是 6,则它的十位数字是偶数。4、性质4:偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。证明：这是因为5、性质5:奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型 在性质4的证明中，由k(k+1) 一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k) 2为8n型或8n

5、+4型的数。6、性质6:形式必为下列两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2平方后，分别得 同理可以得到：7、性质7:不是5的因数或倍数的数的平方为5k 1型，是5的因数或倍数的数 为5k型。证明：自然数被5除按余数的不同可以分为五类：5m,5m 1,5m 2, m为自然数。，-、2_，_2、(5m)5 (5m ) 5k ,(5m1)25 (5m22m) 15k 1 ,22(5m2)25 (5m24m 1)1 5k1.8、性质8:形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9.证明：自然数被8除按余数的不同可以分为八类：8m

6、,8m 1,8m 2,8m 3,8m 4,m为自然数。22(8m)16 (4m ) 16k,(8 m 1)2 16( m2 mm) 1 16k 1,(8m 2)216(m2 2m) 4 16k 4,(8 m3)216(m23m) 916k9,22(8m4)16(m4m 1)16k.除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位 数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13, 13叫做256的各位数字 和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4, 4也可以叫做256的各位数字的和。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一

7、位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得 到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被 9除的余数。卜面证明这个命题证明：设自然数n 10m am 10m 1 am1 L10 a1a0 , am , am 1 , La1，a0 是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 之一，那么n (am am 1 La1a0)(10m 1) am (10m 1 1) am19 (1L 1 am 出 1 am1 L m个1m 1个1L 99 a2 9 a111 a2 a1)是9的倍数。即n(amam 1 La1 a0)(mod9)关于完全平方数的数字和有下面的性质：9、性质9:数字之和只能是0,

8、1,4,7,9 。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k ± 1,9k ± 2,9k ± 3,9k ±4这几种形式，而除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：10、性质10: a bc2 (c是自然数)为完全平方数的充分必要条件是 b为完全平方数。证明 充分性：设b为完全平方数，则有b n2, b1是那么a bc2 D2C2 (Dc)2是 完全平方数。必要性：若a为完全平方数，则有a ai2,则有a；是c2的倍数，从而a1是c的倍数，222 222设ai kc,则有a ai (kc) k c bc ,推出b k是元全平方数。11、性质11：如果质数p能

9、整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方 数。证明 由题设可知，a有质因数p,但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方 为1,而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见 a不是完 全平方数。性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。 即若则k 一定不是整数。13、性质13: 一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是 n有奇数个正因数 (包括1和n本身)。2L2l2k证明一：设完全平方数n A P2L Pk，由初等数论知识得，n的正因数的个数 (n) (2li 1)(212 1)L (2lk 1)是奇数。反之，自然数n pJp/L pjk的正因数的个数

10、(n) (t1 1)。1)L (tk 1)是奇数，则t1,t2,L上均为偶数。从而n p：p2t2L Pktk p1211P22l2L p1k是完全平方数。证明二：设完全平方数 n a2,那么每个小于a的正因数a1 ,都有一个大于a的正因数与之对应，这样的正因数就有偶数个，最后还有 1个正因数a ,从而n有奇数个正因数。三、重要结论1 .个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。由性质1得到。2 .个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。由性质2得到。3 .个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。由性质3得到4 .形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；5 .形如4n+

11、2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；6 .形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；7 .形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；8 .数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数9 .四平方和定理:每个正整数均可表示为 4个整数的平方和10 .完全平方数的因数个数一定是奇数。11、如果m,n自然数，且m n是10的倍数，那么m2的个位数与的n2个位数相同。或者更一般的有：如果m,n自然数，且m n是10k的倍数，那么m2的末尾k位数与2的n的末尾k位数相同。或者如下书写：如果 m n 0(mod10k),那么 m2 n2(mod10k

12、)证明1 (由整数同余式的性质立即可以得到)证明 2：已知 m 10k n,那么 m2 n2 (10k n)2 n2 10k(10k 2n)是 10k 的倍数,从而m2的末尾k位数与的n2的末尾k位数相同。四、平方式和完全平方数的区别完全平方式分两种：1、完全平方和公式(a b)2 a2 2ab b2, (a b)2 a2 2ab b22、完全平方差公式22a b (a b)(a b)区别：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数。五、特殊的完全平方数1、雷劈数，或名卡布列克数定义为：若正整数X(在n进位下)的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X,那么X就是(n进位下的)卡布列克数

13、。例如 55A2=3025,而 30+25=55印度数学家卡普列加(Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986)在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半： 一半上写 着30,另一半写着25。这时，卡布列克忽然发现 30+25=55, 55A2=3025,把劈 成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。 按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”。卡氏数可以指平方后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。求法人们容易找到其他的数也具有这样的性

14、质。例如，易知2025具有该性质：20+25=45, 45A2=2025。求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。以下是两种最简单的 办法(以两位数十两位数为例)：方法一设该数的前两位为x,后两位为y,根据定义，有(x + y)A2 = 100x + y即 xA2 + 2(y - 50)x + yA2 - y = 0。该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数，而y本身也必须是平方数 的尾数，故可求得y等于1或25,从而求得四个结果2025, 3025, 9801和0001(舍去)。方法二同样设该数的前两位为x,后两位为V。于是有(x + y)A2 = 100x

15、+ y = x + y + 99x(x + y)(x + y - 1) = 99x从而看出x + y与x + y - 1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数(当然依照位数不同，也可能是别的因数)，从而找出候补者44, 55和99。下略。用以上方法，亦可找到其他位数的雷劈数，如7777A2 = 60481729; 6048 + 1729=7777。目前最小的雷劈数是81简单性质一般而言，考察雷劈数时，一般不考虑分割后的一部分全部为 0的情况(如10+0)。亦不考虑由0开始的数字(如0+1) o最小的奇雷劈数是9A2 = 81 。最小的雷劈偶数是100:10+0=10 102=100如果MA2是

16、雷劈数，那么(10.0 - M)A2 也是雷劈数.证明：设MA2是雷劈数，可以分割成x和y两部分，且M=x+y y为n位数，则MA2=10An*x+y (雷劈数定理)然而(10An-M)A2=10A(2n)-2M*10An+MA2=10A(2n)-2M*10An+10An*x+y=10A(2n)-2M*10An+10An*(M-y)+y=10An*(10An-M-y)+y同样满足雷劈数方程。在二进制下，所有的完全数都是卡布列克数(同雷劈数)。雷劈数表以下用x|y表示一个平方数N可以分割为x和y两部分，(x + yr2 = N。y 是一位数：10x + y = (x + y)A2N=0|0, 1

17、0|0, 0|1,8|1有意义的数只有9A2 = 81 。y 是两位数：100x + y = (x + y)A20A2 = 0|00, 100A2 = 100|0045A2 = 20|25, 55A2 = 303599A2 = 98|01,i2 = 0|01其中有意义的数是 45A2=2025, 55A2=3025 o0|0.0, 0|0.1, 10.0|0.0这三种属于平凡解，下略。根据上节的性质，雷劈数必然成对存在；但 9.98|0.01 是比较特殊的一类,与其成对的0|0.1属于平凡解。y 是三位数：1000x + y = (x + y)A2297A2 = 88|209703A2 = 4

18、94|209999A2 = 998|001y 是四位数：10000x + y = (x + y)A22223A2 = 494|17297777A2 = 6048|17292728A2 = 744|19847272A2 = 5288|19844950A2 = 2450|25005050A2 = 2550|25009999A2 = 9998|0001y 是五位数：100000x + y = (x + y)A295121A2 = 90480|046414879A2 = 238|0464182656A2 = 68320|1433617344A2 = 3008|1433677778A2 = 60494|

19、1728422222A2 = 4938|1728499999A2 = 99998|00001y 是六位数：1000000x + y = (x + y2994708A2 = 989444|005264, 5292A2 = 28|005264961038A2 = 923594|037444, 38962A2 = 1518|037444857143A2 = 734694|122449, 142857A2 = 20408|122449851851A2 = 725650|126201, 148149A2 = 21948|126201818181A2 = 669420|148761, 181819A2 =

20、 33058|148761812890A2 = 660790|152100, 187110A2 = 35010|152100791505A2 = 626480|165025, 208495A2 = 43470|165025681318A2 = 464194|217124, 318682A2 = 101558|217124670033A2 = 448944|221089, 329967A2 = 108878|221089648648A2 = 420744|227904, 351352A2 = 123448|227904643357A2 = 413908|229449, 356643A2 = 12

21、7194|229449609687A2 = 371718|237969, 390313A2 = 152344|237969538461A2 = 289940|248521,461539A2 = 213018|248521533170A2 = 284270|248900, 466830A2 = 217930|248900500500A2 = 250500|250000, 499500A2 = 249500|250000999999A2 = 999998|0000012、对称的完全平方数例如(1) 121 112,484 222 , 676 242(2) 10201 1012,12321 1112

22、, 40804 2022,44944 2122(3) 1002001 10012,4008004 20022, L3、完全平方数与自反数例如： 22(1) 144 12 ,441 21 ,(2) 169 132,961312,(3) 12544 1122,44521 2112,(4) 12769 1132,967213112,_2_. 14884 122 ,221 48841,L4、由0,1,2,3,4 五个连续自然数组成的五位平方数23104 1522,320411792六、范例1、例1一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。解：设此自然数为x,依题意可得 2 ,.、x-45=

23、m (1)x+44=n2 (m,n为自然数)-可得:因为 n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。代入得。故所求的自然数是 1981。2、例2求证：四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛 题)。解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.这时，432(n 1)n(n 1)(n 2) 1 n 2n n 2n 1 (1)易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为得 ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1,解得 a=d=e=b=1,c=f=-1故(1)可被分解为因为n与n+1是

24、连续两个整数，故n(n+1)为偶数，所以n(n+1)-1为奇数，即 (n-1)n(n+1)(n+2)+1 为一个奇数的平方。3、例3求证:11,111,1111 ,11111这申数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞 赛题)。解：易知该用数中若存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方。当该用数中存在末尾为1的数的平方时，则其中n、k为正整数。但 易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。当该用数中存在末尾为1的数的平方时，则其中n、k为正整数。但易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。4、例4用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为6003|600 . .3|A此数有3的因数，故9|A。但9|600，矛盾。故不可能有完全平方数。5、例5试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字 也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。解：设该四位数为1000a+100a+10b+b则1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11 (100a+b)故100a+b必须被11整除=>a+b被11整除，又因为(a+b) <18所以 a+b=11,带入上式得 四位数=11x (