完整版汇编《因动点产生的面积问题》含答案.doc

1、汇编因动点产生的面积问题含答案例1如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上， 以点C为顶点的抛物线经过 点A,点P是抛物线上 A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF _L BC于点F .点 D、E 的坐标分别为（0,6）、（- 4,0）,联结 PD、PE、DE .（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而 猜想：对于任意一点P, PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使 PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使aPDE的周长最小

2、的点 P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出 PDE周长最小时“好点”的坐标.图1备用图5如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上 A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF _L BC于点F .点D、E 的坐标分别为（0,6）、（- 4, 0）,联结PD、PE、DE .（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而 猜想：对于任意一点P, PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使 PDE的面积为整

3、数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使aPDE的周长最小的点 P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出 PDE周长最小时“好点”的坐标.图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“ 15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S 随P变化的图像，可以体验到，“使aPDE的面积为整数”的点P共有11个.思路点拨1 .第（2）题通过计算进行说理.设点 P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长.2 .第（3）题用第（2）题的结论，把 PDE的周长最小值转化为求 PE+PF的最小值.满分解答（1）抛物线的解析式为y lx 2 8.8（2）小明的判断正确，对于

4、任意一点P, PD PF=2.说理如下：设点P的坐标为（X, 1X28），那么PF =yF yp= .88而 FD 2= x 2 + （ 1 x 2 8 6）2 x 2 + C1 x2 2） 2 （2 x2 2） 2 ,所以 FD =x ? 2 .8888因此PD PF= 2为定值.（3） “好点”共有11个.在aPDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD + PE的最小值.而 PD + PE= F+ 2）+ PE= F + PE） +2,因此当 P、E、F 三点共线时， PDE 的周 长最小（如图2） .此时EF x轴，点P的横坐标为一4.所以 PDE周长最小时，“好点” P的坐标为（

5、一4, 6）.图2图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图 3,联结 0P,那么 S PDE = S POD +Sa POE Sadoe .因为 S POD =1. ( Xp ) 一23x ， S poe= 1 1 t 一2yp 1 x 2 16 , S DOE = 12,所以一 4S pde = 3x -lx2 16 12= lx23x4=l(x6)2 13 .444因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-6.如图4,当一8Wx0时，4WSW13.所以面积的值为整数的个数为10.当S =12时，方程 （x 6）21 3 12的两个解一8, 一 4都在一8W x

6、WO范围内.4所以“使APDE的面积为整数”的“好点” P共有11个.图4例2如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y= ax?+ bx 3 ( aW 0)与x轴交于A ( 2, 0)、BG,0)两点，与y轴交于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点A出发，在线段 AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒 1个单位长度的速度向点 C运动.其中一个点到达终点 时，另一个点也停止运动.当 PBQ存在时，求运动多少秒时a PBQ的面积最大，最大面 积是多少？(3)当aPBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K,使Sacbk ： Sapbq= 5 ：2

7、,求点K的坐标.汇编因动点产生的面积问题含答案如图1,在平面直角坐标系中，抛物线 y= ax251010+ bx- 3 ( aW 0)与x轴交于A (- 2, 0)、B (4, 0) 两点，与y轴交于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点A出发，在线段 AB上以每秒3个单位长度的速度向点 B运动，同时点 Q从点B出发，在线段BC上以每秒 1个单位长度的速度向点 C运动.其中一个点到达终点 时，另一个点也停止运动.当 PBQ存在时，求运动多少秒时a PBQ的面积最大，最大面 积是多少？(3)当aPEQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点 K,使Sacbk : Sapbq= 5 : 2

8、,求点K的坐标.动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P从A向B运动，可以体验到，当 P运动到AB的中点时， PBQ的面积最大.双击按钮“ PBQ面积最大”,再拖动点K在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5.思路点拨1. APBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值.2. APBQ与APBC是同高三角形，APBC与ACBK是同底三角形，把aCBK与PBQ 的比转化为ACBK与aPBC的比.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(2,0)、B0, 0)两点，所以y=a& + 2)&-4).所以-8a = -3.解得a8所以抛物线的解析

9、式为y 3- (x 2)(x 4)-3x2 Qx 3 .884(2)如图2,过点Q作QH轴，垂足为 H .在 RtABCO 中，0B=4, 0C = 3,所以 BC=5, shB =J.53在 RtABQH 中，BQ = t,所以 QH = BQ sinB= t_5_所以 Spbq= 1139294因为0住2,所以当t= 1时，的面积最大，最大面积是10lolo当 Sacbk : Sa pbq =5 ： 2 时，Sa pbc : Sacbk = 2 :lo因为APBC与ACBK是同底三角形，所以对应高的比为如图4,过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于2 : loK,因为点K在BC的下方，所以

10、点D在点B的右侧，点D力K么 PB : DB = 2 ： lo 的坐标为(1,0).2(3)当 PBQ的面积最大时，1,此时P是AB的中点，P Q, 0) , BQ =如图3,因为 PBC与 PBQ是同苛三角形， S pbc ： S pbq = BC : BQ = 5 ：11过点K作KE, x轴于E.设点3/74).k的坐标为“(x 2)(x83_ (X 2)(x 4)由巴导8 DE B0_9 2解得x=l,或x = 3.所以点K的坐标为(1,2Z)或(3, la) .8P图3考点伸展第(3)题也可以这样思考:9由 SmBK : Sa pbq = 52, Sapbq =_ ,得 S109CBK

11、 =-4如图5,过点K作x轴的垂线交BC于F .设点K的坐标为由于点F在直线BC： y33所以KF = (_ x 3)(于483x433上.所以点F的坐标为&3)3 (X83.X43- x 3) 4所以 Sa cbk =_4. CBK被KF分割为ACKF和4,他们的高的和为0B94(0X2 -3-X) 解得 X=l,或 x=3.8例3如图1,已知抛物线y 1X2 bxc（b、c是常数，且cVO）与x轴交于A、B 2两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为（-1,0）.（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC,过点A作直线AEZBC,与抛物

12、线交于点E.点D是x轴上一点，坐标为0）,当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC .设aPBC的面积为S.求S的取值范围；若APBC的面积S为正整数，则这样的a PBC共有个.图1如图1,已知抛物线 y Lx2 bx c （b、c是常数，且eV 0）与X轴交于A、B两点 2（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为（-1,0）.（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC,过点A作直线AEZBC,与抛物线交于点 E.点D是x轴上一点，坐标为0）,当C、D、E三点在同

13、一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC.设 PBC的面积为S.求S的取值范围；若PBC的面积S为正整数，则这样的 PBC共有个.图1动感体验请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到,EHA与 COB保持相似点击按钮“ C、D、E三点共线”，此时EHDsacOD.拖动 点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与 COB保持相似点击按钮“ C、D、E三点共线”，此时EHDsacOD.拖动点P从A经过C到

14、达B ，数一数面积的正整数值共有11个.思路点拨1 .用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现 0B=20C.2 .当 C、D、E 三点共线时， EHAA COB, EHD COD .3 .求APBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方.4 .求得了 S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值, 再数一数个数.注意排除点 A、C、B三个时刻的值.满分解答1(1) b= C ，点B的横坐标为一1 1_ (x l)(x 2c)，设E&, _(x l)(x 2c).2221 (2)由 y 1X2 6 _ )x c过点E作EH，x轴于H.由于 0B=

15、20C,当 AE 如 C 时，AH=2EH.所以 x 1 (x 1)&2c).因此 x 1 2c .所以 E (1 2c,1 c).CO当C、D、E三点在同一直线上时，上 所以1 cDH DO2c 1 2整理，得2c3c2=0.解得c = -2或cJ (舍去).2所以抛物线的解析式为 y 1X2 _ x 2 .(3)当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F.1直线BC的解析式为y _ x 2 2/ 1 J1设 P(h,_ni- _m 2),那么 F g , _ m 2) , FP Hl 2 2nl.2222一 1所以 pbc= Spbf+Sa pcf= FP (xb xc ) 2FP m

16、 2 4m2)24 .2因此当P在BC下方时，PBC的最大值为 4.当P在BC上方时，因为ABC = 5,所以SZXPBC 0)交于点BQ, 1).过点 Xmym、丁e 一P(p, p 1) (p 1)作x轴的平行线分别交曲线 y &0)和y & 0)交于点B(2, 1).过点P (p, p 1)。Xmm1)作X轴的平行线分别交曲线 y &0)和y &0)于乂、N两点.XX(1)求m的值及直线1的解析式；(2)若点P在直线y=2上，求证： PMBA PNA；(3)是否存在实数p,使得SaamN =4SaaMP?若存在，请求出所有满足条件的P的值； 若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文

17、件名“ 11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过(0, 2)点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形； AMN和 AMP是两 个同高的三角形，M N = 4M P存在两种情况.思路点拨1 .第(2)题准确画图，点的位置关系尽在图形中.2 .第(3)题把Saayn = 4s amp转化为MN = 4M P ,按照点M与线段NP的位置关系分 两种情况讨论.满分解答(1)因为点B2, 1)在双曲线y 上上，所以m = 2.设直线1的解析式为y kx b , Xk代入点A(l, 0)和点BC，1),得 b 0,解得 k 1,所以直线1的解析式为y X 1.2k b 1. b

18、1.(2)由点P(p,p 1)1)的坐标可知，点P在直线y x 1上x轴的上方.如图 2,当y= 2时，点P的坐标为(3, 2).此时点M的坐标为(1, 2),点N的坐标为(-1, 2).由P(3, 2)、M (1, 2)、B2, 1)三点的位置关系，可知 PMB为等腰直角三角形.由P(3, 2)、N(- 1, 2)、A(l, 0)三点的位置关系，可知4PNA为等腰直角三角形.所以PMB PNA.图2图3图43 3） AMN和aAMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上.当 S aam = 4S am p 时，M N = 4M P .如图3,当M在NP上时，x_2_2_2X x=

19、4 &PXM）.因止匕 Y （ Y ）4 （X 1） y八八A得x1尸3或X2如图 4 ,222-（-）4 -XXX五（此时点P在x轴下方，舍去）.此时p 1.22当M 在NP 的延长线上时，xmxn=4&x- xp）.因此（x 1）解得X 14或X .I（此时点p在*轴下方，舍去）.此 22考点伸展在本题情景下， AM N能否成为直角三角形？情形一，如图5, Z AMN =90 ,此时点M的坐标为（1, 2）,点P的坐标为（3, 2）.情形二，如图6, Z M AN =90 ,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.不存在NANM =90的情况.例7如图1,四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分

20、别为 (3,0), (0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线y 1X b交折线0AB于点E.2(1)记aODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段0A上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 0通小述1，试探究四边形OiAiBiCi与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部 分的面积；若改变，请说明理由.如图1,四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0), (0,1).点口是线段BC上 的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线y 1X b交折线0AB于点E.2(1)记aODE的面积为S,求S与b的函数关系式

21、；(2)当点E在线段0A上时，若矩形0 ABC关于直线DE的对称图形为四边形OiAiBiCi,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部 分的面积；若改变，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察 S随b变化的函数图象，可以体验到，E在0A上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而 减小.双击按钮“第(3)题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到， E在0A上时，重 叠部分的形状是菱形，面积不变.双击按钮“第(2)题”可以切换.思路点拨1 .数形结合，用b表示线段0E、CD、AE、BE的长.2 .求 ODE的面积，要分两种情况.当