水力压裂时岩石破裂压力数值计算

1、第28卷 增2 岩石力学与工程学报 Vol.28 Supp.2 2009年9月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept.，2009水力压裂时岩石破裂压力数值计算任 岚1，赵金洲1，胡永全1，冉乙钧2(1. 西南石油大学 油气藏地质及开发工程国家重点实验室，四川 成都 610500；2. 西南油气田公司 勘探开发研究院，四川 成都 610000)摘要：以多孔介质流体渗流与岩石应力应变耦合理论为基础，推导水力压裂时岩石破裂压力数值计算方程，提出一种全新的岩石破裂压力计算方法。该方法考虑岩石变形与流体渗流的全耦合作用，采用有限元法

2、数值计算技术，能模拟计算流体向地层渗滤情况下井眼周围地层有效应力的时空分布，因此，该方法不但能求得岩石的破裂压力，还能同时求得岩石的破裂时间。建立的破裂压力数值计算理论克服传统破裂压力解析计算方法的许多不足，如无法精确计算井眼周围孔隙压力的升高导致应力集中加剧对破裂压力的影响，无法计算地层破裂的确切时间等问题。该计算理论的建立，实现岩石破裂压力数值计算的突破和计算精度的提高，为水力压裂时岩石破裂压力的计算找到了新的理论和方法。关键词：岩石力学；水力压裂；岩石破裂压力；数值计算；多孔介质中图分类号：TU 45 文献标识码：A 文章编号：10006915(2009)增2341706NUMERICA

3、L CALCULATION OF ROCK BREAKDOWN PRESSUREDURING HYDRAULIC FRACTURING PROCESSREN Lan1，ZHAO Jinzhou1，HU Yongquan1，RAN Yijun2(1. State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University，Chengdu，Sichuan 610500，China；2. Institute of Exploration and Development，

4、Southwest Oil and Gas Company，Chengdu，Sichuan 610000，China)Abstract：Based on the coupling theory of fluid seepage and rock stress-strain in porous media，the numerical calculation equation for rock breakdown pressure during hydraulic fracturing process is deduced，and a new calculation method is propo

5、sed. The method considers fully the coupling effect of rock deformation and fluid seepage. Numerical calculation technique of finite element method is used，and it can simulate the distribution of effective stress around well bore with time and space under injection of fluid into the formation. There

6、fore，not only rock breakdown pressure can be calculated，but also rock breakdown time can be obtained. The theory of breakdown pressure numerical calculation overcomes many disadvantages of conventional analytic calculation method on breakdown pressure. For example，conventional analytic calculation m

7、ethod cant calculate accurately the breakdown pressure for the rise of fluid pressure which leads to aggravation of stress around well bore，exact rock breakdown time，and so on. The buildup of the calculation theory realizes breakthrough of numerical calculation of rock breakdown pressure and improve

8、ment of calculation accuracy，and a new theory and method are found for rock breakdown pressure of fracturing process.Key words：rock mechanics；hydraulic fracturing；rock breakdown pressure；numerical calculation；porous media 收稿日期：20081024；修回日期：20090118作者简介：任 岚(1979)，男，2003年毕业于西南石油大学石油工程系采油工程专业，现为博士研究生，

9、主要从事油气田增产技术及理论方面的研究工作。E-mail：ren-ren 3418 岩石力学与工程学报 2009年1 引 言对于压裂井来说，压前的岩石破裂压力预测对成功进行压裂作业具有重要的帮助。而传统的破裂压力求解基本都采用解析求解的方法17pMudMc=ttd (2) txy应用Gauss-Green公式，式(2)可变为，这些方MctpMkxpd+d+ xtxµ法无法模拟计算由于注入流体的渗流与岩石应力应变的耦合作用对岩石破裂压力的影响，为此，本文考虑影响岩石破裂压力的各种因素，包括井筒周围应力分布、地层岩石的物理性质、注入流体向地层的渗流以及流体渗流与地层应力的耦合作用8该方法

10、采用有限元数值计算技术121411kypkxpMkypMnnyd+ d=+xyyxyµµµMud (3) txy式中：为边界，nx和ny分别是曲面外法线矢量在x和y方向的分量。对于非流动边界和定压边界，边界积分可以从方程中消除。采用有限差分法对包含时间项部分进行离散，假设孔隙度和渗透率在每个时间步没有很大的变化，式(3)可变为ii1i1i1ppMctd+ti等，推导出了一种全新的岩石破裂压力计算方法。进行模拟计算，首先给出了模型的假设条件，然后推导了流体渗流和岩石应力应变的全耦合破裂压力计算方程，最后对本模型进行了验证计算。2 数值计算模型的假设条件(1) 水平地

11、层中心1口垂直井；(2) 孔隙弹性介质地层通过整个井眼高度(裸眼完井)与注入流体相连通；(3) 流体向地层的流动通过在井壁设置的边界条件进行模拟，井底压力增加率为常数；(4) 流体渗流与地层应力应变相互耦合；(5) 井筒注入流体在地层的渗滤为非稳态渗流。Mxkµi1xi1pxiMd+ ykpµi1yd=ii1yuiui1Md (4) ixyt式中：“i”和“i1”分别表示目前和上一时刻。采用Galerkin法15，163 岩石破裂压力计算模型的建立3.1 地层渗流方程的有限元格式假设条件为：储层为变形多孔介质，地层饱和为单相微可压缩流体，流体等温渗流，考虑岩石变形对渗流的影

12、响，则渗流方程11的二维表达式为，式(4)可推导为ii1(i1cti1NrTNr)dPP+tii1i1kxiNrTNrkyNrTNr d+Pi1µi1xxyyµkxpkyppuc+=(1) txµxyµytxyt式中：kx和ky分别为x和y方向的渗透率，µ为流体黏度，p为流体压力，为孔隙度，ct为综合压缩系数，t为时间，为Biot弹性系数，u为位移向量。对式(1)两边乘以试验函数M，对整个求解区域进行积分14，可得UiUi1NaNaT=0 (5a) Nrdixyt其中，PT=p1p2"pn (5b) NrT=N1N2"Nn

13、(5c) NNa=100N1N20""0(5d) NnkxpkypMd+ +xxyyµµUT=ux1uy1ux2"uyn (5e)式中：n为有限元节点数；Ni(i = 1，2，"，n)为第28卷 增2 任 岚，等. 水力压裂时岩石破裂压力数值计算 3419 基函数。对式(5)进行排列，可得H(PiPi1)+tiLPiQ(UiUi1)=0 (6a) 其中，neneneMT=M1M2使用Gauss-Green公式，式(11)可变为H=H，L=L，Q=Q (6b)eeee=1e=1e=1(SM)TDeSuid(SM)Tpid=He=e(i1

14、cti1NrTNr)d (6c)i1kxNrTNrkNrTNr+i1L=ed (6d) µi1xµxyyei1y其中，(MTJTi)d (12a)nxJT=00nyny(12b) nxQe=NaTNa+Nreyxd (6e) 式中：nx和ny分别是曲面外法线矢量在x和y方向的分量。采用Galerkin法15，16式中：ne为有限元单元数。对式(6a)的求解变量P和U以及常数项进行整理，可得，式(12a)可推导为(SNa)TDeSNadUi+)(H+tiL)PiQUi=f1 (7)其中，TNaNaNrdPi= xyf1=HPi1QUi1对于上面各式中的所有积分，都能通过使用T

15、Ti(NaJ)d (13)Gauss-Lagrandre积分计算方法进行数值计算。 3.2 地层应力平衡方程的有限元格式平面有效应力与应变本构方程11将式(13)表达成简化形式为可以表示为KUi+QTPi=f2 (14a)其中，nene平面有效应力与位移的关系方程，其表达式为=DSu (8a)K=K，f2=f2e (14b)ee=1e=1xS=0y0+2G，D=yx+2G00 (8b) GKe=e(SNa)TDeSNad (14c)TTif2e=e(NaJ)d (14d)同理，对于上面各式中的所有积分，都能使用Gauss-Lagandre积分计算方法进行数值计算。 3.3 全耦合破裂压力计算模

16、型前面分别建立了渗流方程的有限元方程和岩石应力平衡方程的有限元方程，式(7)，(14)是最终的求解方程，对它们的求解，可以合并成一个线性方程组进行同时求解，得到了流体注入地层的渗流与地层岩石应力应变的全耦合破裂压力计算方程，方程如下：式中：为地层有效应力向量，S为算子。根据Terzaghi有效应力准则，平面应力与孔隙压力的关系方程为ST+p=0 (9)将式(8a)带入式(9)可得平面应力耦合方程为STDSu+p=0 (10)对应力耦合平衡方程式(10)两边同时乘以试验函数M，对整个求解区域进行积分14，可得H+tLQTQPif1i= (15) KUf2其中，MT(STDSu+p)d=0 (11

17、)3.4 有限元计算模型的求解前面推导了破裂压力耦合计算的有限元计算方 3420 岩石力学与工程学报 2009年程，应用面向对象的有限元编程思想，在Visual Basic环境中开发编制了相应的计算程序，其程序有限元计算框如图1所示。4.2 模拟计算的初始条件与边界条件(1) 初始条件p压力分布。t=0=pi (16)式中：pi为原始地层孔隙压力，即压裂前孔隙流体(2) 边界条件(见表1)。表1 模型计算的边界条件Table 1 Boundary condition of model calculation边界 外边界渗流方程 应力平衡方程内边界渗流方程孔隙压力井底压力(随时间变化)孔隙压力

18、位移封闭边界(无流体流动) 井底压力(随时间变化)方程 应力平衡方程求解变量 位移边界类型确定 就地应力4.3 模拟计算的基本数据模拟计算的基本数据见表2。表2 模型计算的基本数据 Table 2 Basic datas of model calculation岩石弹性岩石泊模量/MPa松比渗透率/µm 1×103图1 有限元计算框图Fig.1 Calculation flowchart of finite element4 破裂压力模型验证计算4.1 破裂压力计算的程序网络图基于最小张应力破坏准则和前面的有限元计算方法，编制了压裂井破裂压力计算程序，图2是模拟计算的程序计

19、算网络图。油藏综合孔隙度 压缩系数/MPa油藏流体黏度/(m·Pa·s)Biot系数22×104 0.25初始油藏压力/MPa0.2 1.45×103 1 0.89井径 井控半径 /m/m井底压力 上升率1最大水最小水平平主应力/MPa主应力/MPa岩石抗张强度/(MPa·min)/MPa24 41 34.5 0.1 500 10 54.4 模拟计算结果分析根据以上边界条件和基本数据，采用了全耦合岩石破裂压力计算模型进行了模拟计算。由于地层渗透率各向同性，流体渗流的孔隙压力沿径向是对称分布的，图3给出了从起泵到地层破裂整个过程中孔隙流体压力沿径

20、向的分布图(只给出了井距为0.5 m的范围)，从图3中可以看出，当地层破裂时，在0.2，0.3，0.4 m井距处，孔隙压力分别上升到28.665，24.700，24.100 MPa，相比初始孔隙压力，在井筒周围一定的区域范围内，最终地层破裂时刻的孔隙压力有较大的增加。因此，考虑流体渗滤对破裂压力的影响是非常的必要。图4给出了井眼壁面(1/4对称单元)的有效周向应力随时间的变化。从图4中可以看出，初始时刻，在最大主应力方向(水平方向)的有效周向应力最小，为18.6 MPa；在最小主应力方向(垂直方向)的图2 程序计算网络图Fig.2 Network chart of program calcul

21、ation第28卷 增2 任 岚，等. 水力压裂时岩石破裂压力数值计算 3421孔隙压力/MPapb=3hH+Tpi (17) pb= 43.5 MPa (18)式中：h为最小水平主应力(MPa)，H为最大水平主应力(MPa)，T为岩石抗张强度(MPa)。Haimson-Fairhurst的渗透性地层破裂压力计算公式3由于计算的破裂压力偏小，作为验证计算的井距离/m图3 孔隙压力随时间和位置的变化 Fig.3 Porous fluid pressure with time and position下限，根据该公式计算地层的破裂压力为3H+T2pi(19) pb=h2(1)当岩石只有本体变形时，

22、有=有效周向应力/MPa(12)(20)2(1)式中：为地层孔隙度(无因次)，为岩石泊松比。根据前面的数据，可以得到=0.066 7pb=34.45 MPa从以上模型对比计算结果可以看出，通过数值计算的岩石破裂压力值在2个解析求解的破裂压力有效周向应力/MPa值上下限之间，证实了模型计算的正确性；而考虑流体注入地层的渗流与地层岩石应力应变全耦合的数值计算结果更偏向于渗透性地层的破裂压力，这是由于两者都考虑了流体的渗流效应，这与模型假设情况是相吻合的，进一步证实了模型的合理性。图4 极坐标表示的井眼壁面有效周向应力随时间和位置的变化(1/4对称单元)Fig.4 Effective circumf

23、erential stress of well wall with time and position by polar coordinates(1/4 symmetric unit)有效周向应力最大，为46.2 MPa。随着井底注入压力的升高，在81 s的时候在最大主应力方向的有效周向应力首先达到5.0 MPa，这时候等于岩石的抗张强度(张应力为负)，根据水力压裂中广泛使用的最大张应力破坏准则，岩石将在最大主应力方向破裂，形成裂缝，这时候在最小主应力方向的有效周向应力为22.6 MPa。因此，破裂时间为井壁上最小的有效周向应力达到岩石抗张强度的时间，地层破裂压力等于破裂时间乘以井底压力上升率

24、再加上井底初始压力，即5 结 论(1) 文章考虑了岩石变形与流体渗流的全耦合作用，采用有限元法数值计算技术，分别推导了流体渗流方程和地层应力应变方程的有限元格式，并建立了流体注入地层的渗流与岩石应力应变全耦合的岩石破裂压力计算模型，模型能模拟计算流体向地层渗流情况下井眼周围地层应力的时空分布，该方法不但能求得岩石的破裂压力，还能同时得到岩石的破裂时间。81 s1.35min Tb(60 s/min)pb= 24 MPa+10 MPa/min×1.35 min = 37.5 MPa(2) 建立的破裂压力数值计算理论克服了传统破裂压力解析计算方法的许多不足，如无法计算井眼周围孔隙压力的升

25、高导致应力集中加剧对破裂压力的影响，无法计算地层破裂的确切时间等问题。该计算理论的建立，实现了岩石破裂压力数值计算的突破和计算精度的提高，为水力压裂时岩石破裂压力的计算找到了新的理论和方法。4.5 模拟计算与解析计算对比验证Hubbert-Willis非渗透性地层破裂压力计算公式1由于计算的破裂压力偏大，作为验证计算的上限，根据该公式可计算地层的破裂压力为 3422 岩石力学与工程学报 2009年(3) 数值模型与解析验证模型的对比研究表明，通过数值计算的岩石破裂压力位于2个极限破裂压力之间，证实了模型计算的正确性，而考虑流体注入地层的渗流与地层岩石应力应变全耦合的数值计算结果更偏向于渗透性地

26、层的破裂压力，这是由于两者都考虑了流体的渗流效应，这与模型假设情况是相吻合的，进一步证实了模型的合理性。9and field case studyJ. Oil and Gas Science and Technology，2002，57(5)：471483.刘建军，刘先贵，胡雅礽，等. 低渗透储层流固耦合渗流规律的研究J. 岩石力学与工程学报，2002，21(1)：8892.(LIU Jiangjun，LIU Xiangui，HU Yareng，et al. Study of fluid-solid coupling flow in low permeable oil reservoirJ.

27、Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2002，21(1)：8892.(in Chinese)10 范学平，李秀生，张士诚，等. 低渗透气藏整体压裂流固耦合渗流数学模拟J. 石油勘探与开发，2000，27(1)：7679.(FAN Xueping，LI Xiusheng，ZHANG Shicheng，et al. Mathematical参考文献(References)：1王鸿勋，张 琪. 采油工艺原理(修订本)M. 北京：石油工业出版社，1989.(WANG Hongxun，ZHANG Qi. Theory of oil prod

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32、ertical perforated wellsJ. Drilling and Production Technology，2008，31(2)：3638.(in Chinese)8 LONGUEMARE P，MAINGUY M，LEMOUNIER P，et al.Geomechanics in reservoir simulation：overview of coupling methodssimulation of coupled fluid and solid flow behavior for full low permeability gas reservoir fracturingJ. Petroleum Exploration and Development，2000，27(1)：7679.(in Chinese)11 李培超，孔详言，卢德唐. 饱和多孔介质流固耦合渗流的数学模型J. 水动力学研究与进展，2003，18(4)：419425.(LI Peichao，KONG Xiangyan，LU Detang. Mathematical modeling of flow in saturated por