定积分在实际问题中的应用

1、第二节 定积分在实际问题中的应用Application of Definite Integral教学目的：熟练掌握求解平面图形的面积方法 ，并能灵活、恰当地选择积分变量；会求平行截面面积已知的立体的体积，并能求解旋转体的体积；能够解决物理应用中变力作 功、液体压力方面的问题.内 容：定积分几何应用；定积分在物理中的应用.教学重点：求解平面图形的面积；求旋转体的体积.教学又t点：运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积教学方法：精讲:定积分的几何应用；多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积教学内容：、定积分的几何应用1.平面图形的面积设函数y fi(x), yf2(x)均在区间a,b上连续，

2、且fi(x)f2(x),x a,b,现计算由yf(x), y fz(x), x a,x b所围成的平面图形的面积.分析求解如下：(1)如图6-3所示,该图形对应变量x的变化区间为a,b,且所求平面图形的面积S对区间a,b具有可加性.(2)在区间a,b内任取一小区间x,x dx,其所对应的小曲边梯形的面积，可用以dx为底，f(x) f2(x)为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为dS f1(x) f2(x)dx(3)所求图形的面积bSf2(x)f2(x)dxaV y =图6-3【例1】求曲线y ex,直线x 0,x 1及y 0所围成的平面图形的面积.解 对应变量x

3、的变化区间为0,1,在0,1内任取一小区间x,x dx,其所对应小窄xx条的面积用以dx为底，以f(x) g(x) e 0 e为高的矩形的面积近似代替，即面积微元dS exdx于是所求面积S0 exdx ex 0 e 1Word资料【例2】求曲线yx2及y 2 x2所围成的平面图形的面积求出交点坐标为(1,(1) 1,1)，积分变量x的变化区间为1,1,面积微元dSf (x) g(x)dxdS(22(12x2xx2)dx )dx于是所求面积2.x )dx112(1x2)dx1(10 若平面图形是由连续曲线x (y),x(y),(y)(y), y c, y d所围成的，其面积应如何表达呢？分析求

4、解如下：S对区间c,d具有可加性.(1)对应变量y的变化区间为c,d,且所求面积(2)在y的变化区间c,d内任取一小区间y,y dy,其所对应的小曲边梯形的面积可用以(y)(y)为长，以dy为宽的矩形面积近似代替，即面积微元为dS (y) (y)dy于是所求面积dS (y) (y)dyc【例3】求曲线x2 ,一y，直线y x2所围成的平面图形的面积解得交点坐标为(21.1) 和(4,2)，则对应变量y的变化区间为1,2,此时(y)2,、2 _ (y) y，则面积微兀dS (y(y)2(y)dy)dy21(y2 yy )dy于是所求面积2S dS11 22y12y 3y92【例4】求由yx2及y

5、 x所围成的平面图形的面积解为了确定积分变量的变化范围，首先求交点的坐标.y方法得交点(0,0),(1,1). x2 .一 x面积微兀选x为积分变量，则对应x的变化区间为0,1此时f(x) x, g(x)dS f(x)g(x)dx(x)dx1S 0(xx2 )dx1 3-x3方法二选y为积分变量，对应y的变化区间为dS (y)0,1,此时(y)(y)dy (7.y, (y) y)dyy则面积微元y)dy2 32 23y1 2 2y2 13 2注:由此例可知，积分变量的选取不是唯一的 问题的难易程度也会不同.16，但在有些问题中，积分变量选择的不同，求解2 x 【例5】求椭圆一f a2 1的面积

6、.b2解 椭圆关于x轴，y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的4倍，即S 4s4 ° ydx利用椭圆的参数方程acostbsint应用定积分的换元法,dxasintdt，且当 x0时,t -,x a时,t 0,于是20S 4 _bsint(2acost)dt4ab2 tdt4ab21 cos2t ,2出4ab1 sin2t42 ab02.空间立体的体积(1)平行截面面积为已知的立体的体积设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知则这个立体的体积可用微元法求解.不失一般性，不妨取定轴为x轴，垂直于x轴的各个截面面积为关于x的连续函数S(x),x的变化区间为a,b.该立体体积 V对

7、区间a,b具有可加性.取x为积分变量，在a,b内任取一小区间 x,x dx，其所对应的小薄片的体积用底面积为S(x)，高为dx的柱体的体积近似代替，即体积微元为dV S( x) dx于是所求立体的体积bV S(x)a【例6】一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积.解 取该平面与底面圆的交线为x轴建立直角坐标系，则底面圆的方程为x2 y2 R2,半圆的方程即为y R2x2.在x轴的变化区间R,R内任取一点x,过x作垂直于x轴的截面，截得一直角三角形 其底长为y,高度为ytan ，故其面积1 S(x) - y y tan21 2一 y tan21

8、22-(R x )tan于是体积RRtanR2(R2x2)dxx2)dxV RS(x)dx1R 2tan (R2R121 3 R-tan (R x -x ) 23 R2 R3 tan3(2)旋转体的体积类型1：求由连续曲线 y f(x)，直线x a,x b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转 周而成立体的体积.轴的平面，截面是半径为f(x)的圆，其面积为过任意一点x a,b作垂直于2S(x) f (x)，于是所求旋转体的体积ba S(x)dx-2f (x)dx【例7】求由y x2及x 1,y 0所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成立体的体积2 一一解 积分变量x轴的变化区间为0,1,此处f (x)

9、 x则体积1o o1 )V 0(x)dx0xdx【例8】连接坐标原点 O及点P(h,r)的直线，直线x h及x轴围成一个直角三角形 求将它绕x轴旋转一周而成的圆锥体的体积.解积分变量x的变化区间为0,h,此处r 一，f(x)为直线OP的方程y -x，于是体2dx2 r 声2rh2hx2dx02r h3类型2:求由连续曲线x(y),直线y周而成的立体的体积 (c d ).c,yd及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转过任意_2S(y)一点y c,d,作垂直于y轴的平面，截面是半径为(y)的圆，其面积为 (y)，于是所求旋转体的体积dV c S(y)dy2(y)dy._.3【例9】求由y x , y 8

10、及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积.解 积分变量y的变化区间为0,8,此处x (y) 药.于是体积(3 y )dy2y3dy3 i 5y896052 x 【例10】求椭圆一2 a2 y b21分别绕x轴、y轴旋转而成椭球体的体积.解 若椭圆绕x轴旋转，积分变量x的变化区间为a,a,此处.b -22-八y f (x) - ； a x，于是体积 a2.x dxb2 ab2 aa / 2(aa2 .,x )dx4 ab23若椭圆绕y轴旋转，积分变量y的变化区间为体积b,b,此处 x(y) aJby2，于b -Vyb2 a b22a432bjb2 y2 dyb 2 b(b2b2ya2

11、by2)dy1 3-y 3yb .-2一:a a二、定积分在物理中的应用1.变力所做的功如果一个物体在恒力 F的作用下，沿力F的方向移动距离s,则力F对物体所做的功是 W F S.如果一个物体在变力 F (x)的作用下作直线运动，不妨设其沿Ox轴运动，那么当物体由 Ox轴上的点a移动到点b时，变力F(x)对物体所做的功是多少 ？我们仍采用微元法，所做的功 W对区间a,b具有可加性.设变力F(x)是连续变化的，分 割区间a,b,任取一小区间x,x dx,由F(x)的连续性，物体在dx这一小段路径上移动时， F(x)的变化很小，可近似看作不变的，则变力F(x)在小段路径上所做的功可近似看作恒力 做

12、功问题，于是得到功的微元为dW F(x)dx将微元从a到b积分 得到整个区间上力所做的功bW F(x)dxa【例11】将弹簧一段固定，令一段连一个小球，放在光1t面上，点。为小球的平衡位置.若 将小球从点O拉到点M(OM s),求克服弹性力所做的功.解由物理学知道，弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比，方向指向平衡位置。，即F kx其中k是比例常数.若把小球从点 O(x 0)拉到点M(x s),克服弹性力F ,所用力f的大小与F相等，但 方向相反，即f kx,它随小球位置x的变化而变化.在x的变化区间0,s上任取一小段x,x dx,则力f所做的功的微元dW kxdx于是功sk 2W kxd

13、x s 02【例12】某空气压缩机 淇活塞的面积为 S,在等温压缩的过程中，活塞由X处压缩到x2 处，求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功.解 由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压弓虽p与体积V的乘积为常数k,即pV k由已知体积V是活塞面积S与任一点位置x的乘积，即V Sx,因此 k k p 一 V Sx于是气体作用于活塞上的力F pS S k Sx xk 活塞作用力f F -，则力f所做的功的微元k dW dx x于是所求功 x2 k Wdxxi xk ln x x2k In 土【例13】一圆柱形的贮水桶高为 全部吸出需做多少功.x25米，底圆半径为3米,桶内盛满了水.试问要把桶内的水

14、0,5具有可加性 应用微元法，在0,5上 _2=3 dx 9 dx.x,因此需做功的近似值，即功的微元为9 xdx解 取深度x为积分变量，则所求功 W对区间 任取一小区间x,x dx,则所对应的小薄层的质量将这一薄层水吸出桶外时，需提升的距离近似为dW x 9 dx于是所求功5W 9 xdx05 225023.46 106J2x9233225将 9,8 103N/m，HW 980022.液体压力现有面积为S的平板，水平置于密度为，深度为h的液体中，则平板一侧所受的压力F pS h S(p为水深为h处的压强值)若将平板垂直放于该液体中，对应不同的液体深度，压强值也不同，那么平板所受压力应 如何求

15、解呢？设平板边缘曲线方程为y f(x)，(a x b)，则所求压力F对区间具有可加性，现用微元法来求解.在a，b上任取一小区间x，x dx，其对应的小横条上各点液面深度均近似看成x，且液体对它的压力近似看成长为f(x)、宽为dx的小矩形所受的压力，即压力微元为dF x f (x)dx于是所求压力 b F x f (x)dx a【例14】有一底面半径为1米，高为2米的圆柱形贮水桶，里面盛满水.求水对桶壁的压力解 积分变量x的变化区间为0,2,在其上任取一小区间x,x dx,高为dx的小圆柱面所受压力的近似值，即压力微元为x 2 1dx 22 xxdx 229.8 1 03 3.92xdx240104NdF于是所求压力为2F 20将 9,8 103N/m3 代入F 4【例15】有一半径R 3米的圆形溢水洞，试求水位为3米时作用在闸板上的压力解 如果水位为3米，积分变量x的变化区间为0, R,在其上任取一小区间x,x dx, 所对应的小窄条上所受压力近似值，即压力微元dW x 2 ydxx 2 R2 x2dx2 x R2 x2dx于是所求压