圆与方程知识点总结典型例题

1、.圆与方程1. 圆的标准方程： 以点 C(a,b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程是( x a) 2 ( y b) 2 r 2 .特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是： x 2y 2 r 2 .2. 点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r ：a.点在圆内d r ；b.点在圆上d=r ；c.点在圆外d r(2). 给定点 M ( x0 ,y0 )及圆 C : ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 .M在圆C内( x0a) 2( y0b )2r 2M在圆C上（ x0 a) 2 ( y 0 b)2 r 2M在圆C外( x0a) 2( y0b )2r 2（ 3）涉

2、及最值： 圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值PB minBNBCrPB maxBMBCr圆内一点 A ，圆上一动点P ，讨论 PA 的最值PA minANrACPA maxAMrAC思考：过此 A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F0 .(1)当D2 E2 4F0 时，方程表示一个圆， 其中圆心 CD ,E ，半径 rD2 E2 4F.222;.(2)当 D 2E 24F0时，方程表示一个点D ,E .22(3)当 D 2E24F0时，方程不表示任何图形 .注 ： 方 程 Ax 2BxyCy 2Dx Ey F0表示圆的充要条件是： B

3、0且A C0 且D 2E2 4AF0 .4. 直线与圆的位置关系：直线 AxBy C0 与圆 ( xa) 2( y b)2r 2圆心到直线的距离dAaBb CA2B 21） dr直线与圆相离无交点；2） dr直线与圆相切只有一个交点 ；3） dr直线与圆相交有两个交点 ；弦长 |AB| =2 r 2d2rdd=rrdAxByC0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组y 2求解，通过解x2DxEy F 0的个数来判断：（ 1）当0时，直线与圆有2 个交点，直线与圆相交；（ 2）当0时，直线与圆只有1 个交点，直线与圆相切；（ 3）当0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1

4、）设两圆 C1 : (xa1 ) 2( yb1 )2r12 与圆 C 2 : (xa2 ) 2( yb2 )2r2 2 ，圆心距 d(a1 a2 )2(b1b2 )2dr1r2外离4条公切线 ；dr1r2外切3条公切线 ；r1r2dr1 r2相交2条公切线 ；;.dr1r2内切1条公切线 ；0dr1 r2内含无公切线 ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆221： xy D1 x E1 y F1 0 ，C圆 C2 ： x2y2D 2 x E2 y F20 ，则D1 D2xE1 E2 y F1F2 0 为两相交圆公共弦方程 .补充说明：若 C1 与 C2 相切，则表示其中一条公切线方程

5、；若 C1 与 C2 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆 C1 ： x2y2D1 xE1 yF10 和 C 2 ： x2y2D 2xE2 yF20 交点的圆系方程为 x2y2D1xE1yF1x2y 2D2 xE2 yF20 （1）补充：上述圆系不包括C2 ；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）过 直 线 A xB y C 0 与 圆 x2y2Dx Ey F 0 交 点 的 圆 系 方 程 为x2y2DxEy FAx By C06. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线 ： k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即;.y

6、1 y 0k( x1x0 )by1 k(a x1 )RR21求解 k，得到切线方程【一定两解】例 1.经过点 P(1 ， 2) 点作圆 ( x+1) 2+( y2) 2=4 的切线，则切线方程为。(2) 过圆上一点的切线 方程：圆 ( xa) 2+( yb) 2=r 2，圆上一点为 ( x0，y0) ，则过此点的切线方程为 ( x0a)( xa) +( y0b)( yb) = r 2特别地，过圆x 2 y 2 r 2 上一点 P (x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x y 0 y r 2.例 2. 经过点P( 4，8) 点作圆 ( x+7)2+( y+8)2=9 的切线， 则切线方

7、程为。7切点弦(1) 过 C：( x a)2( yb) 2r 2 外一点 P( x0 , y0 ) 作 C的两条切线， 切点分别为 A、B ，则切点弦 AB 所在直线方程为：( x0a)( x a) ( y0 b)( y b)r 28. 切线长：222若圆的方程为( x a)，则过圆外一点00( y b) = rP( x , y ) 的 切 线 长 为d= ( x0 a) 2 + ( y0b) 2r 2 9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求

8、法例. 已知圆 C1： x2 + y2 2x =0 和圆 C2： x2 + y2 +4 y =0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为 A、 B，试求出它们的公共弦 AB的方程及公共弦长。;.一、求圆的方程例1(06重庆卷文 ) 以点 (2,1)为圆心且与直线3x4 y5 0 相切的圆的方程为 ()(A) (x2) 2( y1) 23(B) ( x2) 2( y 1)23(C) ( x 2)2( y 1) 29(D) (x2)2( y 1) 29二、位置关系问题例 2(06安徽卷文 ) 直线 xy1 与圆 x 2y 22ay0 (a0) 没有公共点，则 a 的取值范围是 ()(A) (0,

9、21)(B) (21,21)(C) (21,21)(D) (0,21)三、切线问题例3(06重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆x2y 24 x 2 y50 相切的直线方程为 ()1 x1 x2(A)y3x 或 y(B) y3x 或 y33(C) y3x 或 y1 x(D) y3x 或 y1 x33四、弦长问题例4(06天津卷理 )设直线 axy30 与圆 ( x1) 2( y2)24 相交于 A、 B 两点，且弦 AB的长为 23，则 a.五、夹角问题例 5 (06 全国卷一文 )从圆 x22xy 22 y 1 0 外一点 P(3,2) 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 ()133(D)

10、 0(A)(B)(C)252六、圆心角问题例 6 (06 全国卷二 )过点 (1,2 ) 的直线 l 将圆 (x 2) 2y 24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k.;.七、最值问题例 7 (06 湖南卷文 ) 圆 x2y24x4 y100 上的点到直线 x y 140 的最大距离与最小距离的差是 ()(A) 30(B) 18(C)6 2(D) 52八、综合问题例 8(06湖南卷理 )若圆 x2y 24x4 y10 0 上至少有三个不同的点到直线l : ax by0的距离为22 ，则直线 l 的斜率 k 取值范围 _圆的方程1.方程 x2 +y22（t+3）x+2（1

11、4t2）y+16t4 +9=0（tR）表示圆方程，则t 的取值范围是111A. 1<t<B.1<t<C.<t<1D .1<t<27272. 一圆与 y 轴相切，圆心在直线x3y=0 上，且直线y=x 截圆所得弦长为27 ，求此圆的方程 .3.方程 x 2 y2 Dx Ey F 0（ D2 E2 4F 0）表示的曲线关于x+y=0 成轴对称图形，则（）A.D+E=0B.B. D+F=0C.E+F=0D. D+E+F=04.（2004 年全国， 8）在坐标平面内，与点 A（ 1，2）距离为1，且与点 B （3，1）距离为2 的直线共有（）A.1 条B

12、.2 条C.3 条D.4 条5. （2005 年黄冈市调研题）圆x2+y2+x 6y+3=0 上两点 P、 Q 关于直线 kx y+4=0 对称，则k=_.6.（2004 年全国卷， 16）设 P 为圆 x2+y2 =1 上的动点，则点 P 到直线 3x 4y10=0 的 距离的最小值为 _.7.已知实数 x、 y 满足方程 x2+y2 4x+1=0. 求（ 1） y 的最大值和最小值； （ 2）y x 的最小值；x（3）x2+y2 的最大值和最小值.;.经过两已知圆的交点的圆系例1求经过两已知圆： x2y 24x 6 0 和 x2y 24y 6 0 的交点且圆心的横坐标为 3的圆的方程。例 2设圆方程为：(4)x 2(4) y 2(24) x(1240) y481640其中4求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系例1：求由下列条件所决定圆x 2 y2 4 的圆的切线方程；(1) 经过点 P(3,1) ，(2) 经过点 Q(3,0) ，(3) 斜率为1;.直线和圆1自 点 （ 3 ， 3 ） 发 出 的 光 线L射 到x轴 上 ， 被x轴 反 射 ， 其 反 射 线 所 在 直 线 与 圆x2y 24x4 y